北师大版2021-2022学年八年级数学上册考点专项训练——《实数》热门考点整合应用（附参考答案）

这是一份北师大版2021-2022学年八年级数学上册考点专项训练——《实数》热门考点整合应用（附参考答案），共15页。试卷主要包含了下列各式一定是二次根式的是等内容，欢迎下载使用。

本章内容在中考中主要考查实数及其相关概念，二次根式及其性质，二次根式的计算与化简，多以填空题、选择题或计算题的形式出现，有时也与其他知识结合在一起综合考查．其主要考点可概括为：五个概念、四个性质、两个运算、两个技巧、两个应用、两种思想．
考点1： 五个概念
eq \a\vs4\al(概念1) 算术平方根与平方根
1．分别求出下列各数的平方根和算术平方根：
(1)0.022 5；(2)eq \f(625,9)；(3)196.
eq \a\vs4\al(概念2) 立方根
2．(1)－8的立方根是________；
(2)－0.027的立方根是________；
(3)1是________的立方根；
(4)eq \f(1,6)是________的立方根．
eq \a\vs4\al(概念3) 实 数
3．在eq \f(5,2)，eq \f(π,3)，eq \r(2)，－eq \r(\f(1,16))，3.14，0，eq \r(2)－1，eq \r(3,－9)，|eq \r(4)－1|中，
整数有________________________________________________________________________；
有理数有________________________________________________________________________；
无理数有________________________________________________________________________．
eq \a\vs4\al(概念4) 二次根式
4．下列各式一定是二次根式的是( )
A.eq \r(a) B.eq \r(x3＋1)C.eq \r(1－x2) D.eq \r(x2＋1)
5．已知x，y为实数，且满足eq \r(1＋x)－(y－1)eq \r(1－y)＝0，那么x2 016－y2 017的值是多少？
eq \a\vs4\al(概念5) 最简二次根式
6．二次根式4eq \r(5a)，eq \r(2a3)，eq \r(8a)，eq \r(b)，eq \r(\f(1,3))(其中a，b均大于或等于0)中，是最简二次根式的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点2： 四个性质
eq \a\vs4\al(性质1) 平方根的性质
7．已知eq \r(a－2)＋(b＋5)2＋|c＋1|＝0，那么a－b－c＝________．
8．已知一个正数的两个平方根分别是x＋3和x－1，求这个正数的立方根．
eq \a\vs4\al(性质2) 立方根的性质
9．若eq \r(3,3a－1)与eq \r(3,1－2b)互为相反数，求eq \f(a,b)的值．
eq \a\vs4\al(性质3) 实数的性质
10．实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a－π|＋|eq \r(2)－a|的结果为( )
(第10题)
A．π＋eq \r(2) B．π－eq \r(2)C.eq \r(2)－π D．π－2
11．已知a＝－eq \r(2)，b＝eq \r(3)，则化简eq \r(a2)－eq \r(b2)－|a－b|的结果为( )
A．－2eq \r(2) B．－2eq \r(3) C．0 D．2eq \r(3)
eq \a\vs4\al(性质4) 二次根式的性质
12．下列计算正确的是( )
A．－(eq \r(7))2＝－7 B.eq \r(（－5）2)＝－5
C.eq \r(24)＝4eq \r(6) D．－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(\f(9,16))))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,16)
13．若a＜0，求eq \f(1,b)eq \r(ab3)＋aeq \r(\f(b,a))的值．
14．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：eq \r(c2－4c＋4)－eq \r(\f(1,4)c2－4c＋16).
考点3： 两个运算
eq \a\vs4\al(运算1) 实数的运算
15.计算：eq \r(4)－23÷|－2|×(－7＋5)．
eq \a\vs4\al(运算2) 二次根式的运算
16．计算：
(1)(3eq \r(3)＋eq \r(32))×(eq \r(27)－4eq \r(2))；
(2)(eq \r(3)＋eq \r(2)－1)(eq \r(3)－eq \r(2)＋1)．
考点4： 两个技巧
eq \a\vs4\al(技巧1) 利用倒数法比较大小
17．比较eq \r(2 017)－eq \r(2 016)与eq \r(2 016)－eq \r(2 015)的大小．
eq \a\vs4\al(技巧2) 整体代入求值
18．已知x＝eq \r(2)－1，y＝eq \r(2)＋1，求x2＋y2的值．
19．已知a－b＝eq \r(3)＋eq \r(2)，b－c＝eq \r(3)－eq \r(2)，求2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)的值．
考点5： 两个应用
eq \a\vs4\al(应用1) 利用二次根式解决几何问题
20．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH，则线段GH的长为( )
(第20题)
A.eq \f(8\r(3),5)B．2eq \r(2)C.eq \f(14,5)D．10－5eq \r(2)
eq \a\vs4\al(应用2) 利用二次根式解决实际问题
21．如图，桌面上放着一个正四棱柱，该正四棱柱的底面边长为5 cm，侧棱长为8 cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的顶点A沿棱柱的表面爬到点C′处吃食物，那么它需要爬行的最短路程是多少？
(第21题)
考点6： 两种思想
eq \a\vs4\al(思想1) 数形结合思想
22．如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，试化简|a－b|＋eq \r(（a＋b）2).
(第22题)
eq \a\vs4\al(思想2) 分类讨论思想
23．已知数轴上有A，B两点，且这两点之间的距离为eq \r(2)，若点A在数轴上表示的数为3，则点B在数轴上表示的数为________．
参考答案
1．解：(1)0.022 5的平方根是±eq \r(0.022 5)＝±0.15；
0．022 5的算术平方根是eq \r(0.022 5)＝0.15.
(2)eq \f(625,9)的平方根是±eq \r(\f(625,9))＝±eq \f(25,3)；
eq \f(625,9)的算术平方根是eq \r(\f(625,9))＝eq \f(25,3).
(3)196的平方根是±eq \r(196)＝±14；
196的算术平方根是eq \r(196)＝14.
2．(1)－2 (2)－0.3 (3)1 (4)eq \f(1,216)
3．0，|eq \r(4)－1|；eq \f(5,2)，－eq \r(\f(1,16))，3.14，0，|eq \r(4)－1|；eq \f(π,3)，eq \r(2)，eq \r(2)－1，eq \r(3,－9)
4．D
5．解：由已知可得eq \r(1＋x)＋(1－y)eq \r(1－y)＝0.因为1－y≥0，所以(1－y)eq \r(1－y)≥0，由非负数的性质得1＋x＝0且1－y＝0.所以x＝－1，y＝1.所以x2 016－y2 017＝0.
6．C 解析：根据最简二次根式的定义可知，只有4eq \r(5a)，eq \r(b)这两个二次根式是最简二次根式．故选C.
7．8
8．解：因为一个正数的两个平方根分别是x＋3和x－1，
所以x＋3＋x－1＝0.解得x＝－1.
所以这个正数是(x＋3)2＝4.
所以这个正数的立方根是eq \r(3,4).
9．解：因为eq \r(3,3a－1)与eq \r(3,1－2b)互为相反数，
所以3a－1与1－2b互为相反数．
所以3a－1＝2b－1.所以3a＝2b.
又因为b≠0，所以eq \f(a,b)＝eq \f(2,3).
10．B 11.B 12.A
13．解：因为a＜0，ab3≥0，eq \f(b,a)≥0，b≠0，
所以b＜0，－a＞0，所以－b＞0.
所以eq \f(1,b)eq \r(ab3)＋aeq \r(\f(b,a))＝eq \f(1,b)eq \r(ab·b2)＋aeq \r(\f(ab,a2))＝eq \f(1,b)eq \r(ab·（－b）2)＋aeq \r(\f(ab,（－a）2))＝eq \f(1,b)·(－b)eq \r(ab)＋a·eq \f(1,－a)eq \r(ab)＝－eq \r(ab)－eq \r(ab)＝－2eq \r(ab).
方法总结：化简根号内含字母的二次根式时，一定要先弄清楚这些字母的取值范围．
14．解：根据题意得2所以eq \r(c2－4c＋4)－eq \r(\f(1,4)c2－4c＋16)
＝eq \r(（c－2）2)－eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c－4))\s\up12(2))
＝c－2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(1,2)c))
＝eq \f(3,2)c－6.
15．解：原式＝2－8÷2×(－2)＝10.
16．解：(1)(方法1：先将根号外的因数移到根号内，再计算)原式＝(eq \r(27)＋eq \r(32))×(eq \r(27)－eq \r(32))＝27－32＝－5.
(方法2：先化简，再计算)原式＝(3eq \r(3)＋4eq \r(2))×(3eq \r(3)－4eq \r(2))＝(3eq \r(3))2－(4eq \r(2))2＝27－32＝－5.
(2)原式＝[eq \r(3)＋(eq \r(2)－1)][eq \r(3)－(eq \r(2)－1)]＝(eq \r(3))2－(eq \r(2)－1)2＝3－(3－2eq \r(2))＝2eq \r(2).
17．解：eq \f(1,\r(2 017)－\r(2 016))＝
eq \f(\r(2 017)＋\r(2 016),（\r(2 017)－\r(2 016)）×（\r(2 017)＋\r(2 016)）)
＝eq \f(\r(2 017)＋\r(2 016),（\r(2 017)）2－（\r(2 016)）2)
＝eq \r(2 017)＋eq \r(2 016)，
同理可得eq \f(1,\r(2 016)－\r(2 015))＝
eq \r(2 016)＋eq \r(2 015).
而eq \r(2 017)＋eq \r(2 016)>eq \r(2 016)＋eq \r(2 015)，
所以eq \f(1,\r(2 017)－\r(2 016))>eq \f(1,\r(2 016)－\r(2 015)).
又因为eq \r(2 017)－eq \r(2 016)>0，eq \r(2 016)－eq \r(2 015)>0，
所以eq \r(2 017)－eq \r(2 016)方法总结：一般地，已知a>0，b>0，如果eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，那么ab.
18．解：因为x＋y＝(eq \r(2)－1)＋(eq \r(2)＋1)＝2eq \r(2)，xy＝(eq \r(2)－1)×(eq \r(2)＋1)＝1，所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝(2eq \r(2))2－2×1＝6.
19．解：因为a－b＝eq \r(3)＋eq \r(2)，b－c＝eq \r(3)－eq \r(2)，
所以(a－b)＋(b－c)＝(eq \r(3)＋eq \r(2))＋(eq \r(3)－eq \r(2))，即a－c＝2eq \r(3).
所以2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)＝(a2－2ab＋b2)＋(b2－2bc＋c2)＋(a2－2ac＋c2)＝(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝(eq \r(3)＋eq \r(2))2＋(eq \r(3)－eq \r(2))2＋(2eq \r(3))2＝5＋2eq \r(6)＋5－2eq \r(6)＋12＝22.
20．B 解析：如图，延长BG交CH于点E，
(第20题)
因为四边形ABCD是正方形，
所以AB＝CD.
又因为AG＝CH，BG＝DH，
所以△ABG≌△CDH(SSS)．
所以∠1＝∠5，∠2＝∠6.
因为AG＝8，BG＝6，AB＝10，
所以AG2＋BG2＝AB2.
所以△ABG是直角三角形．
所以△CDH也是直角三角形．
所以∠AGB＝∠CHD＝90°.
所以∠1＋∠2＝90°，∠5＋∠6＝90°.
又因为∠2＋∠3＝90°，
∠4＋∠5＝90°，
所以∠1＝∠3，∠4＝∠6＝∠2.
又因为AB＝BC，
所以△ABG≌△BCE(ASA)．
所以BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，
∠BEC＝∠AGB＝90°.
所以GE＝BE－BG＝8－6＝2.
HE＝CH－CE＝8－6＝2.
在Rt△GHE中，
GH＝eq \r(GE2＋HE2)＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2).
故选B.
21．解：(1)将上底面A′B′C′D′和侧面A′ABB′展开，如图①所示，连接AC′.
在Rt△ABC′中，AB＝5 cm，BC′＝BB′＋B′C′＝8＋5＝13(cm)，由勾股定理，得
AC′2＝AB2＋BC′2＝52＋132＝194，
所以AC′＝eq \r(194)cm.
(第21题)
(2)将侧面A′ABB′和侧面B′BCC′展开，如图②所示，连接AC′.
在Rt△ACC′中，AC＝AB＋BC＝5＋5＝10(cm)，CC′＝8 cm，由勾股定理，得
AC′2＝AC2＋CC′2＝102＋82＝164，
所以AC′＝eq \r(164) cm.
因为eq \r(194)>eq \r(164)＝2eq \r(41)，
所以蚂蚁需要爬行的最短路程是2eq \r(41) cm.
方法总结：在将空间图形中最短路程问题转化为平面图形来解决的同时，还必须全方位考虑各种可能情况，只有这样才能得到正确的答案．
22．解：由数轴可知b＜0＜a，且|b|＞|a|，所以a－b＞0，a＋b＜0.
所以原式＝|a－b|＋|a＋b|＝a－b＋[－(a＋b)]＝a－b－a－b＝－2b.
23．3－eq \r(2)或3＋eq \r(2)