所属成套资源:2022届中考数学专题复习——《圆》热门考点整合应用
- 专项训练4 切线的判定和性质的四种应用类型 试卷 4 次下载
- 专项训练5 圆中常见的计算题型 试卷 4 次下载
- 专项训练6 圆中常用的作辅助线的八种方法 试卷 4 次下载
- 专项训练7 圆与相似三角形的综合 试卷 8 次下载
- 专项训练8 用三角函数解与圆有关问题 试卷 2 次下载
专项训练9 圆与学科内知识的综合应用
展开
这是一份专项训练9 圆与学科内知识的综合应用,共7页。
方法指导:
圆的知识是初中数学的重点内容,也是历年中考命题的热点,在中考中常常与三角函数、相似、二次函数等结合,作为压轴题出现.
圆与三角函数的综合
1.如图,AB为⊙O的直径,直线CD切⊙O于点D,AM⊥CD于点M,BN⊥CD于点N.
(1)求证:∠ADC=∠ABD;
(2)求证:AD2=AM·AB;
(3)若AM=eq \f(18,5),sin ∠ABD=eq \f(3,5),求线段BN的长.
(第1题)
圆与相似的综合
2.如图,Rt△ABC内接于⊙O,∠ACB=90°,点P在eq \(AB,\s\up8(︵))上移动,P,C分别位于AB的异侧(P不与A,B重合),△PCD也为直角三角形,∠PCD=90°,且Rt△PCD的斜边PD经过点B,BA,PC相交于点E.
(1)当BA平分∠PBC时,求eq \f(BE,CD)的值;
(2)已知AC=1,BC=2,求△PCD面积的最大值.
(第2题)
圆与二次函数的综合
3.如图,在平面直角坐标系中,⊙A与x轴相交于C(-2,0),D(-8,0)两点,与y轴相切于点B(0,4).
(1)求经过B,C,D三点的抛物线的函数表达式.
(2)设抛物线的顶点为E,证明:直线CE与⊙A相切.
(3)在x轴下方的抛物线上,是否存在一点F,使△BDF的面积最大,最大值是多少?并求出点F的坐标.
(第3题)
参考答案
1.(1)证明:如图,连接OD.
(第1题)
∵直线CD切⊙O于点D,
∴∠CDO=90°.∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.∵OB=OD,
∴∠3=∠4.∴∠1=∠4,
即∠ADC=∠ABD.
(2)证明:∵AM⊥CD,∴∠AMD=∠ADB=90°.又∵∠1=∠4,∴△ADM∽△ABD.∴eq \f(AM,AD)=eq \f(AD,AB).∴AD2=AM·AB.
(3)解:∵sin ∠ABD=eq \f(3,5),∠ABD=∠1,∴sin ∠1=eq \f(3,5).∵AM=eq \f(18,5),∴AD=6.
∴AB=10.
∴BD=eq \r(AB2-AD2)=8.∵BN⊥CD,∴∠BND=90°.
∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°.∴∠DBN=∠1.∴sin ∠DBN=eq \f(3,5).
∴DN=eq \f(24,5).∴BN=eq \r(BD2-DN2)=eq \f(32,5).
2.解:(1)连接PA.∵BA平分∠PBC,
∴∠PBA=∠CBA=∠ACP.
∵∠ACP+∠PCB=∠BCD+∠PCB=90°,∴∠ACP=∠BCD.∴∠BCD=∠CBA=∠PBA.∴AB∥CD.
∴∠PBA=∠D.∴∠BCD=∠D.
∴BC=BD.
又∵∠PCD=90°,易证得PB=BC=BD.
又∵AB∥CD,∴PE=EC.
∴BE是△PCD的中位线.
∴eq \f(BE,CD)=eq \f(1,2).
(2)∵∠PCD=∠ACB=90°,
∠CAB=∠CPD,∴△ABC∽△PDC.
∴eq \f(PC,CD)=eq \f(AC,CB)=eq \f(1,2).∴S△PCD=eq \f(1,2)PC·CD=eq \f(1,2)PC·2PC=PC2.
∴当PC最大时,△PCD的面积最大,
即PC为⊙O的直径时,△PCD的面积最大.
∴当PC=AB=eq \r(AC2+BC2)=eq \r(5)时,△PCD的面积的最大值为(eq \r(5))2=5.
3.(1)解:设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c,
把点B(0,4),C(-2,0),D(-8,0)的坐标分别代入,得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4=c,,0=4a-2b+c,,0=64a-8b+c,))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a=\f(1,4),,b=\f(5,2),,c=4.))
∴经过B,C,D三点的抛物线的函数表达式为y=eq \f(1,4)x2+eq \f(5,2)x+4.
(2)证明:∵y=eq \f(1,4)x2+eq \f(5,2)x+4=eq \f(1,4)(x+5)2-eq \f(9,4),
∴Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-5,-\f(9,4))).
设直线CE的函数表达式为y=mx+n,
直线CE与y轴交于点G,则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0=-2m+n,,-\f(9,4)=-5m+n,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m=\f(3,4),,n=\f(3,2),))
∴直线CE的函数表达式为y=eq \f(3,4)x+eq \f(3,2).
在y=eq \f(3,4)x+eq \f(3,2)中,令x=0,则y=eq \f(3,2),
∴Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(3,2))).
如图①,连接AB,AC,AG,
则BG=OB-OG=4-eq \f(3,2)=eq \f(5,2),
CG=eq \r(OC2+OG2)=eq \r(22+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(2))=eq \f(5,2),
∴BG=CG.
在△ABG与△ACG中,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB=AC,,BG=CG,,AG=AG,))
∴△ABG≌△ACG.∴∠ACG=∠ABG.
∵⊙A与y轴相切于点B(0,4),
∴∠ABG=90°.∴∠ACG=∠ABG=90°.
∵点C在⊙A上,∴直线CE与⊙A相切.
(第3题)
(3)解:存在点F,使△BDF的面积最大.
设Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t,\f(1,4)t2+\f(5,2)t+4)),如图②,连接BD,BF,DF,
过点F作FN∥y轴交BD于点N,
设直线BD的函数表达式为y=kx+d,则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4=d,,0=-8k+d,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k=\f(1,2),,d=4.))
∴直线BD的函数表达式为y=eq \f(1,2)x+4.
∴点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t,\f(1,2)t+4)).
∴FN=eq \f(1,2)t+4-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)t2+\f(5,2)t+4))=-eq \f(1,4)t2-2t.
∴S△DBF=S△DNF+S△BNF=eq \f(1,2)OD·FN=eq \f(1,2)×8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,4)t2-2t))=-t2-8t=-(t+4)2+16.
∴当t=-4时,S△BDF最大,最大值是16.
当t=-4时,eq \f(1,4)t2+eq \f(5,2)t+4=-2,
∴F(-4,-2).
相关试卷
这是一份备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题10 截长补短模型综合应用(知识解读),共32页。试卷主要包含了复习方法,复习难点等内容,欢迎下载使用。
这是一份备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题06 半角模型综合应用(知识解读),共32页。试卷主要包含了复习方法,复习难点等内容,欢迎下载使用。
这是一份备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题05 对角互补模型综合应用(知识解读),共28页。试卷主要包含了复习方法,复习难点等内容,欢迎下载使用。