2020-2021学年第7章 平面图形的认识（二）7.5 多边形的内角和与外角和教案及反思

这是一份2020-2021学年第7章 平面图形的认识（二）7.5 多边形的内角和与外角和教案及反思，共6页。教案主要包含了情境创设，三角形内角和的证明，直角三角形的内角和，课堂练习，小结等内容，欢迎下载使用。
教学目标
（1)知识与技能：
掌握“三角形内角和定理”的证明过程，并能根据这个定理解决实际问题．
（2)过程与方法：
通过学生猜想动手实验，互相交流，师生合作等活动探索三角形内角和为180度，发展学生的推理能力和语言表达能力．对比过去的探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用．逐渐由实验过渡到论证．
通过一题多解、一题多变等，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展．
（3)情感态度与价值观：
通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生的学习数学的兴趣．使学生主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流．
重点难点
重点：三角形内角和定理及推论的应用；
难点：利用三角形内角和定理及推论进行的推理．
教学设计
一、情境创设
1、三角形三个内角的和等于多少度？2．你是如何知道的？这个结论正确吗
（二)、探索活动：
1．如何证明三角形内角和等于180°？
2．你有没有办法在平面图形中把三角形的三个内角“搬”到一起？
分析：添加辅助线，实质是构造新图形，由于学生没有接触过辅助线，实际教学中学生可能采用的方法有：
（1)拼图中把一个角移动位置的活动，通过画一个角等于这个角来实现．
（2)从已有的对图形的平移、旋转的认识出发，通过角的平移、旋转把三角形的3个内角“搬”到一起．
3．你能想办法把∠A、∠B“搬”到相应的位置上吗？
二、三角形内角和的证明
证明，如图，
延长BC至D，以C为顶点，CD为一边做∠B=∠2．
则CE∥BA．（同位角相等，两直线平行)
∴ ∠A=∠1．（两直线平行，内错角相等)
∵B，C，D在一条直线上，（所作)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB
=∠1+∠2+∠ACB
=180°．
通过证明我们现在对三角形内角和等于180°不再产生怀疑了，于是得到：
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
三、直角三角形的内角和
探究一：在Rt△ABC中，如果∠C=90°，那么∠A与∠B有什么关系？
归纳：
直角三角形的两个锐角互余．
探究二：
如果一个三角形的两个角互余，你能判断这个三角形的形状吗？请你说说理由．
归纳：
有两个角互余的三角形是直角三角形．
四、课堂练习
1．如果三角形的三个内角都相等，那么每一个角的度数等于_______．
2．在△ABC中，若∠A=65°，∠B=∠C，则∠B=_______．
3．在△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则∠B=_______．
4．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠A=_______，∠B=_______， ∠C=_______．
五、小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？
1、我们通过添加辅助线，把三角形的3个内角拼成1个平角；把三角形的3个内角拼成两平行线的同旁内角，证明了三角形内角和定理及推论．
2、进一步了解了直角三角形．
3、继续感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力．
第2课时
教学目标
知识与技能：
1、探索并说出多边形的内角和与外角和公式；
2、进一步发展说理能力和简单的推理能力．
过程与方法：
经历探索多边形内角和与外角和公式的过程，实际测量，推理．
情感态度价值观：
1、通过探索过程进一步体会知识点之间的联系；
2、通过本节的学习进一步体会数学与现实生活的紧密联系．
教学重难点
重点是多边形的内角和与外角和定理．
难点是学会善于运用三角形的有关知识来研究多边形的问题，能够灵活运用多边形内角和与外角和解决相关问题．
教学设计
（一）思考
三角形的内角和等于180°．正方形、长方形的内角和都等于360°，其他四边形的内角和等于多少？
（二）探究
任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和．
再画几个四边形，量一量，算一算．你能得出什么结论？能否利用三角形内角和等于180°得出这个结论？
如图8，画出任意一个四边形的一条对角线，都能将这个四边形分为两个三角形．这样，任意一个四边形的内角和，都等于两个三角形的内角和，即360°．
图8
从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察图9，请填空：
图9
从五边形的一个顶点出发，可以引_______条对角线，它们将五边形分为_______个三角形，五边形的内角和等于180°×_________．
从六边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将六边形分为________个三角形，六边形的内角和等于180°×__________．
通过以上问题，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？
一般地，怎样求n边形的内角和呢？请填空：
从n边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将n边形分为________个三角形，n边形的内角和等于180°×______．
总结：过n边形的一个顶点可以做（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形，每个三角形内角和180°．
所以n边形内角和（n－2）×180°．
把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形内角和公式吗？
方法2：如图：10过n边形内任意一点与n边形各顶点连接，可得n个三角形，其内角和n×180°．再减去以O为顶点的周角．
即得n边形内角和n·180°－360°．
图10
得出了多边形内角和公式：n边形内角和等于（n－2）·180°．
（三）例题
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
图11
解：如图11，四边形ABCD中，
∠A＋∠C=180°．
因为∠A＋∠B＋∠C＋∠D=（4－2）×180°=360°，
所以∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C）
=360°－180°=180°．
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．
例2：如图12，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
图12
分析：考虑以下问题：
（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？
（2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？
（3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？
联系这些问题，考虑外角和的求法．
解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角，都等于180°．6个外角连同它们各自相邻的内角，共有12个角．这些角的总和等于6×180°．
这个总和就是六边形的外角和加上内角和．所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于6×180°－（6－2）×180°=2×180°=360°．
（四）探究
如果将例2中六边形换为n边形（n的值是不小于3的任意整数），可以得到同样结果吗？
思路：（用计算的方法）
设n边形的每一个内角为∠1，∠2，∠3，……，∠n，其相邻的外角分别为180°－∠1，180°－∠2，180°－∠3，……180°－∠n．外角和为（180°－∠1）＋（180°－∠2）＋……＋（180°－∠n）=n×180°－（∠1＋∠2＋∠3＋……＋∠n）=n×180°－（n－2）×180°=360°
注意：以上各推导方法体现将多边形问题转化为三角形问题来解决的基本思想．
由上面的探究可以得到：
多边形的外角和等于360°．
你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°．
如图13，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向．在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．
图13