初中数学苏科版七年级下册12.2 证明教案设计

这是一份初中数学苏科版七年级下册12.2 证明教案设计，共10页。教案主要包含了情境创设，新知探究，典例教学，课堂练习，小结与思考，布置作业等内容，欢迎下载使用。

教学目标
知识与技能
通过一些观察、操作活动获得的数学猜想，进行验证，体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理等，发展学生的推理能力．
过程与方法
经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法所得的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心理，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识．
情感、态度与价值观
通过积极参与，获取正确的数学推理方法，理解数学的严密性，并培养与他人合作的意识．
重点难点
重点
要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有理有据地进行推理．
难点
通过对一些规律的探讨和分析，养成动脑思考问题的习惯．
教学设计
一、情境创设
（课件显示)观察、思考和实验是人类发明、创造的发端，我们曾通过观察、操作、实验等探索活动，发现了许多正确的结论．所有探索活动获得的结论都正确吗？
（一)从一只透明的空玻璃杯的侧面能看到杯子下面放了一枚硬币．
（1)如果向杯中注水，猜一猜这时从杯子的侧面还能看到这枚硬币吗？
（2)试一试，你看到了硬币吗？
（3)装有半杯水的透明玻璃杯中，插入一根笔直的筷子，这时我们会看到什么现象呢？（进入水里的部分被弯折了）
二、新知探究
活动一
如图，两条线段AB与CD哪一条长一些？先猜一猜，再量一量．
（同学们动手度量，互相交流）
活动二
如图，两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个小圆，另一个大圆内有2个小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大一些？请你猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证你的猜想．（如何去验证呢？）
（设计目的：这两个情境教学实例，告诉我们数学中观察、猜想有时定正确，引导学生运用已有的知识和方法进行验证它的正确性，同时进一步培养学生数学思考的严密性及合理性）
活动三
如图（1)处，把长方形草坪中间的一条1m宽的直道改造成如图（2)中处处1m宽的“曲径”，两条小道占用草坪的面积相同吗？说说你的理由．
操作：
①用一张透明纸覆盖在图（2)上，描出小道左边草坪的边框；
②透明纸向右平移，使左右两边的草坪拼备，你发现了什么？
（发现（1)的面积等于b（a—1）；（2)的面积也等于b（a—l)．说明两条小路的面积相等）
活动四
1．当x=-5、、0、2、3时，计算代数式x2-2x+2的值，并与同学交流．
2．换几个数代入试一试，你发现了什么？你能说明理由吗？
（可利用完全平方公式将代数式x2-2x+2变为（x2-2x+1）+1=（x-1）2+1；当x为任意实数时，（x—l)2≥0，（x—l)2+1≥1，所以代数式x2-2x+2的值不小于1．)
（设计目的：通过说理，使同学们对结论不能光凭猜测，只有经过说理才能对结论确信无疑，同时说明说理的必要性)
三、典例教学
例1如图（1）是一张8cm×8cm的正方形纸片，把它剪成4块，按图（2)所示重新拼合．这4块纸片恰好能拼成一个长为13，宽为5的长方形吗？试试看，并与全班同学交流．
（说明：本例题应主要让学生自己通过分组合作共同探究，判断能否完成这样的拼图，进一步感受到仅凭观察、猜想、操作、实验是不够的，强调我们在以后的数学学习中要学会说理．)
点拨：利用图形面积去说明：由图（2）知，如果拼成的是长方形，其面积为5×（8+5)=65．而这4块的面积和是故它们不能拼成一个长方形．
例2：如图，画∠AOB，并画∠AOB的角平分线OC．
（1)将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别交于点E、F，并比较PE、PF的长度；
（2)把三角尺绕点P旋转，比较PE与PF的长度，你能得到什么结论？你的结论一定成立吗？与同学交流．
解析：本题主要是让学生能够在运动变化中找出不变化的量，通过实验和度量猜测结论．对于结论的证明在后续学习中才能完成．
答案：PE与PF相等．
四、课堂练习
教材第149页“练一练”第1、2、3题．
五、小结与思考
（一)小结：本节课你有什么收获？（指名学生回答，相互补充）
（二)思考：
有一正方体，将它各面上分别标出a、b、c、d、e、f．有甲、乙、丙三个同学站在不同角度观察结果如图，问这个正方体各个面上的字母的对面各是什么字母，即a的对面为___________，b的对面为__________，c的对面为_______________．
六、布置作业
习题12．2第1、2题．
第2课时
教学目标
知识与技能
1．了解证明和定理的意义．
2．掌握证明的基本步骤和书写格式．
3．能从“同位角相等，两直线平行”、“两直线平行，同位角相等”这两个基本事实出发，证明平行线的判定定理和性质定理，并能简单地运用这些结论．
4．能够完成对文字命题的证明．
过程与方法
从“同位角相等，两直线平行”“两直线平行，同位角相等”这两个基本事实出发．证明平行线的判定定理及性质定理．
情感、态度与价值观
感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯；感受欧几里得的演绎体系对数学发展和人类文明的价值．
重点难点
重点
1．掌握什么是基本事实．
2．掌握证明的基本步骤和书写格式．
难点
1．理解基本事实的含义和公理化体系的内涵．
2．发展初步的演绎推理的能力；初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯．
教学设计
—、情境创设
1．你听说过《原本》吗？这是一本怎样的书？
（投影出示有关《原本》的一些知识）
2．我们的教材中已选用了一些真命题作为基本事实，它们是哪些？你能写出来吗？
二、新知探究
（1）（课件显示)两个基本事实
1．同位角相等，两直线平行．
2．两直线平行，同位角相等．
另外，等式的性质和不等式的性质也被作为基本实．“基本事实”是人们公认的一些真命题，它的正确性不需要征明，也称为公理．这是我们说明其他命题正确性的依据，．这样的说理过程也叫证明，经过证明的真命题称为定理．
（二)证明过程的表达．
探索命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的正确性．
1．这个命题的条件是什么？结论是什么？
2．你能根据命题的条件画出图形吗？
3．要证明a//b，就需要知遣它们能有什么联系？你能说说它们之间的联系吗？-
（设计目的：探索证明命题的步骤及思考方法，学会有条理地表达，规范证明格式)
答案：已知直线a、b、c中．，a丄c，b丄c．
求证：a//b
证明：∵a丄c（已知)，
∴∠1=90°（垂直的定义)．
∵b丄c（已知），
∴∠2=90°（垂直的定义)．
∵∠1=90°，∠2=90°（已证）
∴∠1=∠2（等量代换)．
∴a//b（同位角相等，两直线平行)．
设计目的：1．通过3个小问题的提问，引导学生逐步体会推理的思考方法．在讨论、交流中发展学生有条理的表达能力，热后教师示范推理的书写格式．
2．由于学生在前面已经对证明有所了解，所以这里有所侧重地先介绍推理的书写格式．
3．通过书写格式的规范化要求，使学生对证明的规范书写有所了解．
4．与前面学习过程的“说理过程”的最明显的特征是每一步都要写出理由．
探究结论归纳：（课件显示有关概念）
用推理的方法怔实真命题的过程叫做证明（prf．)，经过证明的真命题称为定理（therem)．
（说明：已经证明的定理也可作为以后推理的依据）
定理：垂直于同一条直线的两条直线平行．
三、典例教学
例1：证明“对顶角相等
（仿照探索命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”画出图形，并写出已知、求证，用符号语言表达，师生共同合作完成推理过程．)
已知：如图直线AB、CD相交于点O．
求证：∠1=∠2
证明：∵AB、CD相交于点O（已知），
∴∠l+∠BOD=180°（平角的定义)．
∴∠1=180°-∠B0D（等式的性质），
∠2+∠BOD=180°（平角的定义），
∠2=180°-∠BOD（等式的性质)．．
∴∠1=∠2（等量代换)．
根据本题讨论交流：证明与图形有关的命题般有哪几个步骤？
（设计说明：①组织学生讨论、交流，让学生自己认识如何有条理地表达推理过程•②在充分的交流中，引导学生从开始学习证明就意识到，证明不仅要步步有据，而且证明的依据必须是基本事实，有关概念的定义，已经证明的定理及已知条件，从中感受数学的严谨性．③这里教师要注意切不可先讲解，可以让学生先思考，让学生表述，对于出现不规范的书写及非因及果等问题，教师要耐心引导．)
定理：（课件显示定理)对顶角相等．
综合归纳如下：
（1)根据命题，画出图形（需要画的一定要画出图形，有利于说理)；
（2)根据命题，结合图形，写出已知、求证；已知部分就是已知事项（即命题的条件)，求证部分是论证的事项（即命题的结论部分)；
（3)写出证明过程．
例2．已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB//CD，MG平分∠EMB，NH平分∠END．
求证：MG∥NH．
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠EMB=∠END（两直线平行，同位角相等．)
∵MG平分∠EMB，NH平分∠END（已知），
∴∠EMG=∠EMB，∠ENH=∠END（角平分线的定义)．
∴∠EMG=∠ENH（等量代换)．
∴MG//NH（同位角相等，两直线平行)．
四、课堂练习
教材第151页“练一练”第1、2、3题．
补充练习：尝试证明下列命题．
（1)内错角相等，两直线平行．
（2)两直线平行，同旁内角互补．
五、教学总结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
六、作业布置
习题12．2第6、7题．
第3课时
教学目标
知识与技能
1．掌握三角形内角和定理及推论并能运用其进行计算或证明．
2．进一步熟悉证明的一般步骤和基本方法．
过程与方法
从基本事实出发证实曾探索得到的三角形内角和定理及推论的结论的正确性，并能够简单应用这些结论，感受数学的严谨、结论的确定．初步形成言之有理，落笔有据的推理习惯．
情感、态度与价值观
培养学生热爱数学，对数学产生浓厚的兴趣，顽强的学习毅力、独立思考，勇于创新的精神，形成良好的个性品质，体会欧几里得的演绎体系对数学发展和人类文明的价值．
重点难点
重点
能从基本事实出发证实三角形内角和定理推论的正确性，并能简单的应用．
难点
图形变换与证明中辅助线的添加．
教学设计
[师]引导学生重温三角形三个内角的和等于180°的探索过程．
[生]用撕纸验证三角形内角和是180°．
[师]让学生小组讨论：如何证明三角形内角和为180°．
[生]论证得出以下方法：
方法一：已知：如图，△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB．则∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等），
∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等)．
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°)，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换)．
即： ∠A+∠B+∠C=180°．
方法二：证明：作BC的延长线CD，作∠ECD=∠B（同位角相等，两直线平行)．
则EC∥AB（同位角相等，两直线平行)．
∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等)．
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°)，••
∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换)．
[师]提出问题：利用下面两个图能不能证明三角形的内角和等于180°？
[生]讨论得出证明过程．
[师]问：还有其他方法吗？
[师]现在你能解释一开始的问题了吗？
[生]回答并完成解答．
[师]把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角．由此可知：一个三角形有6个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论三个外角的性质．
[师]用投影片显示下图，并问：外角∠1与图中的其他角有什么关系？并证明你的结论．
[生]讨论得出如下内容：
∠1与∠4组成一个平角．所以∠l+∠4=180°．
∠1=∠2+∠3．因为：∠1与∠4的和是180°，而∠2、∠3、∠4是△ABC的三个内角．则∠2+∠3+∠4=180°．所以∠2+∠3=180°-∠4．而∠1=180°-∠4，因此可得：∠1=∠2+∠3．
因为∠1=∠2+∠3，所以由和大于任何一个加数，可得：∠1>∠2，∠1>∠3．
[师]归纳出三角形的外角的性质：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
[师]给出推论的意义，并提出注意事项：应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思，即：“和它不相邻”的意义．
例2已知：如图，AC、BD相交于O．求证：∠A+∠B=∠C+∠D．
证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°（三角形内角和等于180°)．
∴∠A+∠B=180°-∠AOB（等式的性质)．
在△COD中，同理可得∠C+∠D=180°—∠COD．
∵∠AOB=∠COD（对顶角相等)，
∴∠A+∠B=∠C+∠D（等量代换)．
三、练习巩固
[师]出示教材第154页“练一练
[生]独立完成后互相交流．
[师]指几名学生回答，师生共同评析．
四、教学小结
[师]引导学生总结本节课的主要内容及收获．
[生]在教师的引导下概括总结．
五、布置作业习题12．2第8题．