2022届广东省茂名市高三第一次综合测试（一模）数学试题含答案

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2022年茂名市高三级第一次综合测试
数 学 试 卷 2022.1
本试卷共6页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项: 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|-1 A． B. C. D.
2．已知为实数，且(为虚数单位)，则=（ ）
A． B. C. D．
3．下面四个命题中，其中正确的命题是（ ）
：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
：两个平面垂直，如果有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与其中一个平面垂直
：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交 线平行
：一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线就与这个平面平行
A.与 B．与 C．与 D．与
4．已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线平行，
则的值为（ ）
A. B. C. D.
5．已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
6． 已知均为大于0的实数，且，则大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
7．过三点A（0，0），B（0，2），C（2，0）的圆M与直线的位置关
系是（ ）
A.相交 B.相切 C.相交或相切 D.相切或相离
8．已知 ，，则的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动的意向进行调查，拟采用分层抽样的方法从该地区A、B、C、D四个学校中抽取一个容量为400的样本进行调查，已知A、B、C、D四校人数之比为7∶4∶3∶6，则应从B校中抽取的样本数量为80
B．6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为0.6
C．已知变量x、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得，则
D．箱子中有4个红球、2个白球共6个小球，依次不放回地抽取2个小球，记事件M={第一次取到红球}，N={第二次取到白球}，则M、N为相互独立事件
B
C
A
B1
C1
A1
D
D1
•
•
O1
O
•
E
10．如图所示，圆柱OO1内有一个棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，正方体的顶点都在圆柱上下底面的圆周上，E为BD上的动点，则下面选项正确的是（ ）
面积的最小值为
圆柱OO1的侧面积为
C．异面直线AD1与C1D所成的角为600
第10题图
D．四面体A1BC1D的外接球的表面积为
11．已知抛物线C:的焦点为，准线为，P是抛物线上第一象限的点,，直线PF与抛物线C的另一个交点为Q，则下列选项正确的是（ ）
A．点P的坐标为（4,4）
B．
C．
D．过点作抛物线的两条切线,其中为切点，则直线的方程为：
12． 已知点A是圆C:上的动点，O为坐标原点，,且
,,三点顺时针排列，下列选项正确的是( )
A.点的轨迹方程为 B.的最大距离为
C.的最大值为 D.的最大值为
三、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知双曲线的方程是,则该双曲线的离心率为
14．函数在区间上的最大值为
已知函数，若均不相等，且
，则的取值范围是
如图所示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正三角形
的边长为4，取正三角形各边的四等分点，，，作第2个正三角形，
然后再取正三角形各边的四等分点，，， 作第3个正三角形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案 .如图阴影部分，设三角形面积为，后续各阴影三角形面积依次为，，…，，….则 ，数列的前项和
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.(本题满分10分)
如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60
海里处 ,小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.
(1)求小岛A到小岛 C的距离；
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船
航行的方向.
第17题图
18.(本题满分12分)
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，E为CD的中点，
.
(1)证明： ；
(2)若三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，F为PB上一
点，且，求直线EF与平面PAE所成角的正弦值.
第18题图
19.(本题满分12分)
为了增强学生体质，茂名某中学的体育部计划开展乒乓球比赛，为了解学生对乒乓球运动的兴趣，从该校一年级学生中随机抽取了200人进行调查，男女人数相同，其中女生对乒乓球运动有兴趣的占80%，而男生有15人表示对乒乓球运动没有兴趣．
(1)完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”？
(2)为了提高同学们对比赛的参与度，比赛分两个阶段进行。第一阶段的比赛赛制采取单循环方式,每场比赛采取三局二胜制,然后由积分的多少选出进入第二阶段比赛的同学，每场积分规则如下:比赛中以取胜的同学积3分,负的同学积0分;以取胜的同学积2分,负的同学积1分.其中，小强同学和小明同学的比赛倍受关注,设每局小强同学取胜的概率为，记小强同学所得积分为, 求的分布列和期望.
附表：
20.(本题满分12分)
已知数列，满足，，且，
(1)求，的值，并证明数列是等比数列；
(2)求数列，的通项公式．
21.(本题满分12分)
已知椭圆C：的左焦点为（-1，0），且过点（1，）.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过且互相垂直的两条直线，分别交椭圆C于A、B两点和 M、N两点，求的取值范围.
22. (本题满分12分)
已知函数.
(1)若,恒成立，求的取值范围；
(2)证明：；
(3)证明：当时，有兴趣
没兴趣
合计
男
女
合计
P（K2≥k0）
0.50
0.40
0.25
0.150
0.100
0.050
k0
0.455
0.780
1.323
2.072
2.706
3.841
2022年茂名市高三级第一次综合测试参考答案
数学
一、选择题
3．解析：p2错，这条直线不在这两个平面内；p4这条直线在平面内就错了.
4．解析：：因为终边与直线平行，所以；

5．解析：A.
B.
C.由，，
7．解析：方法一：由题意得，圆的方程为：，直线过定点（2，2），定点在圆上，所以圆与直线的位置关系为相交或相切，所以答案是C.
方法二：圆C的圆心（1，1），半径为，圆心到直线的距离d为
当时，，所以直线和圆相交.
当时，（当且仅当k=-1时，等号成立）， 所以直线和圆相交或相切
当时，，则，所以直线和圆相交，所以答案为C
8．解析：主要考查符号的问题。
在直角坐标系中，画出和的图像，即可得到答案。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9．解析：A.由分层抽样，应制取人数为，A正确；
B.至少取到1件次品的概率为，B正确；
C.∵回归直线必过中心点，C正确；
D.由于第一次取到球不放回，因此会对第2次取球的概率产生影响，因此M、N不是相互独立事件。故选：ABC
10．解析：A.若点E与点O重合时，的边上的高最小，所以，则A正确
第10题图
B．圆柱OO1的底面圆的半径为正方形的ABCD的对角线，母线为2，所以圆柱OO1的侧面积为，所以B错误.
C. 直线A D1//BC1, 所以为直线A D1与C1D所成的角，因为三角形BC1D为等边三角形，所以异面直线A D1与C1D所成的角为600，则C正确
D．四面体A1BC1D的外接球和正方体的外接球同一个球体，正方体的对角线为就是球的直径，所以四面体A1BC1D的外接球的表面积为，则D正确
11．A．由抛物线的定义易得，点的坐标为（4,4），则A正确
B．方法一：，则B正确
方法二：的直线方程为：，由与联立得，Q（），由两点距离公式得，则B正确
方法一：
方法二：由B得，原点O到直线的距离为，所以，所以C错误
方法三：，所以C错误
D．设，由得，，则，MA切线方程为：，即，由得，，把点代入得，
同理，即两点满足方程：，所以的方程为：，则D正确
12．【详解】如图，过O点作
则点，设点，设，则，设，
所以，，，
所以，，，
即点，
因为，
设点，可得，解得，
因为点在圆上，所以，
将代入方程可得，
整理可得，所以A是错的，
所以的最大距离为，B是对的，
设
所以的最大值为2.D是对的.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．答案：
14．答案：3
详细解答过程

15．答案：
解析：令，由图可得，，所以即，由得，，所以的取值范围是
16．答案：,
【详解】设正三角形边长为，后续各正三角形边长依次为，，…，，
由题意，
，
，
于是数列是以4为首项，为公比的等比数列
解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A
B
C
N
17.(本题满分10分)
解：(1)在中，
第17题图
,根据余弦定理得：分
分
分
所以小岛A到小岛 C的最短距离是海里分
(2)根据正弦定理得:
解得分
在中为锐角
分
由得游船应该沿北偏东的方向航行。分
答:小岛A到小岛 C的最短距离是海里;游船应该沿北偏东的方向航行分
18.(本题满分12分)
(Ⅰ)证明：
分
，E为CD的中点
分
，
分
z
B
C
E
P
A(O))
D
F
y
x
分
(Ⅱ)解：方法一：
由（1）得，以点A为原点，分别以AC、AD、AP为x、y、z轴建立空间坐标系分
三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，
CD=12，AC=分
分
由且
分
分
设平面PAE的一个法向量为
由得，，分
令
分
设直线EF与平面PAE所成的角为
分
方法二：
由（1）得，以点A为原点，分别以AC、AD、AP为x、y、z轴建立空间坐标系分
三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，
z
CD=12，AC=分
y
分
由且
分
分
取AE的中点N，连接DN，由三角形AED为等边三角形
由
分
分
设EF与平面PAE所成的角为
分
19.(本题满分12分)
解：（1）、由题意得到如下的2×2列联表，
分
分
由表格得到：
故，没有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”分
(2)分
；；
；；分
所以的分布为
分
期望分
20.(本题满分12分)
解（1）∵
∴,,分
∵，∴＝，分
∴分
∴是为首项，为公比的等比数列分
（2）由（1）知是为首项，为公比的等比数列.
∴＝，分
∴
∵
∴分
∴当时，
分
当时，也适合上式
分
∴分
21.(本题满分12分)
解：（1）由题意可得，分
又由分
所以椭圆的方程为分
当垂直轴时，,,所以.
同理：当垂直轴时,分
当、不垂直垂直轴时，设的方程为，
由
分
分
分
由与互相垂直得
分
所以
分
由
所以分
综上，的取值范围为分
22. (本题满分12分)
解：（1）恒成立
，令分
分
分
分
证明：（2）由（1）得，
分
当时，显然成立；
当时，显然成立
故，分
（3）由（2）得，，即，分
分
分
分
分
分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A
D
D
B
C
C
A
ABC
ACD
ABD
BD
有兴趣
没兴趣
合计
男
85
15
100
女
80
20
100
合计
165
35
200
0
1
2
3