湖南省衡阳市2020届高三下学期第一次联考试题（一模）数学试题含答案

2020届高中毕业班联考（一）

理科数学

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．复数在复平面内所对应的点的坐标为，则的实部与虚部的和是（    ）

A． B．0 C． D．

3．若“，使得”为真命题，则实数的取值范围是（    ）

A．  B．

C． D．

4．已知是定义域为的偶函数，且在上单调递增，若，，，则、、的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

5．已知向量，满足：，，，则在方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．1

6．我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有5部产生与魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．二项式展开式的第二项的系数为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

8．太极图被称为“中华第一图”，从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫等标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组来表示，设点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘．某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过6万元的前提下奖励，且奖金（单位：万元）随经营利润（单位：万元）的增加二增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%．下列函数模型中，符合该点要求的是（    ）

（参考数据：）

A． B． C． D．

10．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数，总有成立，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

12．如图，矩形中，，为边的中点，将沿翻折成（平面），为线段的中点，则在翻折过程中，下列命题：

①与平面垂直的直线必与直线垂直；

②线段的长为；

③异面直线与所成角的正切值为；

④当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球表面积是．正确的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第Ⅱ卷

本卷包括必考题与选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为_________．

14．在中，边所对的角分别为．的面积满足，若，则_________．

15．已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线分别交于，两点，若第一象限的点，满足（其中为坐标原点），则________．

16．已知为整数，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

（一）必做题（共60分）

17．已知为等差数列，前项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列前项和为，证明：．

18．如图，在多面体中，，，平面平面，，，

（1）若点为的中点，证明：平面；

（2）若直线与平面所成的角为60°，求平面与平面所成的角（锐角）的余弦值．

19．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，的周长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过作与轴垂直的直线，点，试问直线与直线交点的横坐标是否为定值？请说明理由．

20．若方程有实数根，则称为函数的一个不动点．已知函数

（1）若，求证：有唯一不动点；

（2）若有两个不动点，求实数的取值范围．

21．“工资条里显红利，个税新政人民心”我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段．2019年1月1日实施的个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收人-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等．

新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下：

随机抽取某市2020名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2019年的人均月收入24000元，统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是1∶1∶1∶2；此外，他们均不符合其他专项附加扣除，新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等．

假设该市该收入层级的从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的从业者的人均月收入视为其个人月收入，根据样本估计总体的思想，解决如下问题：

（1）求在旧政策下该收入层级的从业者每月应纳的个税；

（2）设该市该收入层级的从业者2019年月缴个税为元，求的分布列和期望；

（3）根据新旧个税方案，估计从2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的从业者各月少缴纳的个税之和就超过2019年的人均月收入？

（二）选做题（共10分）

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分

22．心形线是由一个圆上的一个定点当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系中，方程表示的曲线就是一条心形线．如图，以极轴所在直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）．

（1）求曲线的极坐标方程

（2）若曲线与相交于，，三点，求线段的长．

23．已知函数的定义域为．

（1）求实数的取值范围；

（2）设为的最大值，实数满足．

试证明：．

衡阳市2020届高三第一次联考数学（理科）参考答案

1．【答案】C

【解析】依题意，，，所以，故选C．

【命题意图】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题．

2．【答案】B

【解析】，所以，所以，所以复数的实部是虚部是，故选B．

【命题意图】源于教材的基础题，本题考查复数几何意义、复数的模、共轭复数、复数除法运算以及复数实部、虚部的概念，属基础题

3．【答案】A

【解析】由题意知，使得，知，选A．

【命题意图】此题重在考查三角函数与简易逻辑的交汇、辅助角公式的应用，属于中档题．

4．【答案】B

【解析】∵，则函数为偶函数，∵函数在区间内单调递增，在该函数在区间上为减函数，∵，由换底公式得，由函数的性质可得，对数函数在上为增函数，则，指数函数为增函数，则，即，∴，因此，．

【命题意图】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题．

5．【答案】D

【解析】∵，因此在方向上的投影为．

【命题意图】本题结合向量数量积的几何运算考查向量的投影的概念，属于基础题型．

6．【答案】A

【解析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件，所以，因此，故选A．

【命题意图】本题考查了超几何分布以及对立事件的概率，旨在考查学生的分析转化题意，求解运算能力．

7．【答案】A

【解析】二项式的展开式的通项公式得．∵第二项的系数为，∴，∴，，解得．当时，则，故选A．

【命题意图】本题考查了二项式定理与微积分基本定理的应用，属于中档题．旨在考查考生的分析转化能力，逻辑推理，求解运算能力．

8．【答案】C

【解析】如图，作直线，当直线上移与圆相切时，取最大值，此时，圆心到直线的距离等于1，即，解得的最大值为：，当下移与圆相切时，取最小值，同理，即的最小值为：，所以．故选C．

【命题意图】本题考查线性规划的数据应用，考查数形结合思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．

9．【答案】D

【解析】对于函数：，当时，不合题意；

对于函数：，当时，不合题意；

对于函数：，不满足递增，不合题意；

对于函数：，满足：，增函数，

且，结合图象：

符合题意，故选D．

【命题意图】本题结合现实生活情境，考查函数模型的应用解题关键在于弄清题目给定规则，依次用四个函数逐一检验，属于中档题．

10．【答案】D

【解析】不妨设过点与双曲线的一条渐进线平行的直线方程为，与另一条渐近线的交点为，由得，即有，又因为，故选D．

【命题意图】本题涉及双曲的渐近线、离心率等基本量的计算，旨在考查学生的数形结合思想，分析转化能力．另外等价于点在以线段为直径的圆外，于是也可以由获得结论．

11．【答案】C

2∴，又存在实数，对任意实数总有成立，∴，作出函数的图象，由图可知，的最小值即为函数最大负零点的绝对值，而，于是有的最小值为，故选C．

【命题意图】本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，重在考查学生数形结合思想以及直观想象核心素养．

12．【答案】B

【解析】取的中点，的中点，连接，，，，显然平面，故①正确；

，故②错误；

即为异面直线与所成角，，故③错误；显然为三棱锥外接球球心，且，故④正确，综上，①④正确，选B．

【命题意图】本题考查翻折过程中点线面位置关系、相关角度、长度、体积的计算．旨在考查考生的直观想象、数学运算核心素养．

13．【答案】

【解析】由，有，从而．

【命题意图】题主要考查导数的几何意义、两直线的位置关系，属于容易题．

14．【答案】2

【解析】由余弦定理得：，由面积公式在的面积满足，可得，，即，再由正弦定理：，有．

【命题意图】本题主要考查了正余弦定理的合理运用，熟悉公式及化简是解题的重点，属于较为基础题．

15．【答案】8

【解析】抛物线的焦点，设，，直线方程为，，由得，于是有，根据题意有，，所以．

【命题意图】本题主要考查抛物线的简单性质，以及抛物线与直线的位置关系．解答直线与抛物线位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．

16．【答案】

【解析】解法1：由题意对任意的，不等式恒成立，则时，不等式也成立，代入得，则，这是满足题意的一个必要条件，又为整数，只需验证时，对任意的，不等式恒成立，即证，变形为对任意的恒成立，令，是，故在递减，递增，∴，∴对任意的恒成立，故满足题意．（此法参照端点效应，小题可用）

解法2：记，则，令，于是有，∴在上单减，又，，∴，使得，故有，∴，∴．

【命题意图】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，运用导数工具解决含参数不等式恒成立问题关键是探寻到一个使命题成立的必要条件，这是解决此类题的常用手段，属于难题．

三、解答题

17．【解析】（1）设公差为，由题意得：，解得，∴．

（2）令则∴，

又∴

【命题意图】考查等差数列的基本量计算和数列的单调性，以恒成立思想为载体，旨在考查考生的知识的化归与转化能力，求解运算能力．

18．【解析】（1）证明：取的中点，连接，，∵在中，∴．

∴由平面平面，且交线为得平面．∵，分别为，的中点，

∴，且．又，，∴，且．

∴四边形为平行四边形．∴，∴平面．

（2）∵平面，，∴以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系则，，．∵平面，∴直线与平面所成角．

∴．∴，，

可取平面的法向量，设平面的法向量，

有，，则，取，则，，所以有，于是，故所求二面角的余弦值为．

【命题意图】本题背景为底面为直角三角形的棱柱切去部分结构剩下几何体，对几何体中线面垂直、线线平行判定和性质、二面角平面角求法都有具体考查．旨在考查考生的空间想象、转化、求解运算能力．

19．【解析】（1）三角形的周长为，又，，得，，故所求椭圆方程为．

（2）设，由得∴，直线的方程：，令，则有

∴与交点的横坐标为定值2．

【命题意图】着重考查解几中“可变图形中的不变性”这一核心内容考查考生的分析转化，数据处理能力．

20．【解析】（1）解：当时，由得，，令其定义为，从而有，易在时恒成立．故当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以．所以方程有唯一实数根，故有唯一不动点．

（2）解法1：有两个不动点等价于函数在上有两个不同的零点，令，则有，函数有两个零点等价于函数在上有唯一零点，即方程在上有唯一解，考虑，

因，∴在上单调递增，且，从而，∴．

解法2：先证明．令，则，．当时，，当时，从而．因此，在上单调递增，故，所以，即，有两个零点等价于有两个零点，，

易知．当时，，当时，，所以有．

下面说明当时有两个零点．取有，故．取，且，故．又，由零点存在性定理知在存在唯一，使在内存在使，综上有．

解法3：由得，，令，则，显然在上单减，在上单增，从而，令，根据题意知，在上有唯一零点．（1）当时，恒成立，无零点，不符合题意：（2）当时，令，有，由得，此时，接下来只需在上找一点，使得即可．因为，从而，即，∴，取，不妨取，有，所以在上存在唯一零点，即有两个不同实根，故．

【命题意图】本题以不动点理论背景命制试题，涉及利用导数研究函数形态，切线放缩“”、“”、同型同构、变量分离求参数等方法的应用．重在考查考生的函数思想，求解运算能力．

21．【解析】（1）旧政策下该收入层级的从业者每月应纳的个税为

（2）依据新政策，既不符合子女教育扣除也不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为

，月缴个税；

只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为

，月缴个税；

只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为

，月缴个税；

既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为

，月缴个；

所以的可能值为2190，1990，1790，1590，依题意，上述四类人群的人数之比是2∶1∶1∶1，

所以，，，，

所以的分布列为

所以．

（3）因为在新政策下该收入层级的从业者2019年月缴个税为1830，所以该收入层级的从业者每月少缴交的个税为，设经过个月，该收入层级的从业者少缴交的个税的总和就超过24000，则，因为，所以．所以经过11个月，该收入层级的从业者少缴交的个税的总和就超过2019年的月收入．

【命题意图】本道题结合“个税新政”这个话题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望、样本估计总体的统计思想，综合性程度较高，着重对学生数据分析、数学运算能力的考查．

22．【解析】（1）由（为参数），消参数化简得普通方程：，

令，即化简得，即

即得曲线的极坐标方程为．

（2）由已知，不妨设，，于是，，故．

【命题意图】本题考查了参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，利用极坐标解决长度问题，旨在考查学生应用知识能力、等价转化能力．

23．【解析】（1）由题意知，恒成立，又，所以实数的取值范围是．

（2）解法1：由（1）可知，，所以从而，

当且仅当，即时等号成立，证毕．

解法2：由权方和不等式，

解法3：由柯西不等式，

从而有，

．

【命题意图】本题考查了三角不等式、三元均值不等式的应用，重在考查考生数学建模、运算求解能力．