2021年北京海淀区北师大三附中南校区七年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区北师大三附中南校区七年级下期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的 5 纳米刻蚀机已获成功，5 纳米就是 0.000000005 米．数据 0.000000005 用科学记数法表示为
A. 5×10−8B. 5×10−9C. 0.5×10−8D. 50×10−9

2. 墨迹覆盖了等式“（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是
A. +B. −C. ×D. ÷

3. 三角形的三边长分别为 3，8，2a，则 a 的取值范围为
A. 1.5
4. 不等式组 x−1>3,2−2x<4 的解集是
A. x>4B. x>−1C. −1
5. 方程 kx+3y=5 有一组解 x=2,y=1, 则 k 的值是
A. −16B. 16C. 1D. −1

6. 如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是
A. ∠1=∠3B. ∠2+∠3=180∘C. ∠2+∠4<180∘D. ∠3+∠5=180∘

7. 下列调查中，适宜采用普查方式的是
A. 了解一批节能灯的使用寿命
B. 调查我校七年级一个班级每天家庭作业所需时间
C. 考察人们保护环境的意识
D. 了解成都人对圣诞节的看法

8. 某小组 5 名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是
劳动时间小时33.544.5人数1121
A. 中位数是 4，平均数是 3.75B. 众数是 4，平均数是 3.75
C. 中位数是 4，平均数是 3.8D. 众数是 2，平均数是 3.8

9. 若 x−2x+3=x2+ax+b，则 a，b 的值分别为
A. 5，−6B. 5，6C. 1，6D. 1，−6

10. 如图所示，在 △ABC 中，已知点 D，E，F 分别为边 BC，AD，CE 的中点，且 S△ABC=4 cm2，则 S阴影 等于
A. 2 cm2B. 1 cm2C. 12 cm2D. 14 cm2

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 要使分式 2xx−3 有意义，则 x 须满足的条件为 ．

12. 计算：−38−2= ．

13. 分解因式 9a−a3= ．
2x2−12x+18= ．

14. 如图，直线 a 、 b 被直线 c 所截，若满足 ，则直线 a 、 b 平行（填一个条件即可）

15. 小明带 7 元钱去买中性笔和橡皮（两种文具都买），中性笔每支 2 元，橡皮每块 1 元，那么中性笔能买 支．

16. 规定符号“⊗”的意义是 a⊗b=ab−a2+∣−b∣+1，那么 −3⊗4= ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 如图，a∥c，b∥d，∠1=30∘，求 ∠3 的度数．

18. 某班全体同学在“献爱心”活动中都捐了图书，捐书的情况如表：
每人捐的册数5101520相应的捐书的人数172242
根据表格回答下列问题：
（1）该班共有 人．
（2）全班共捐了 册图书．

19. 解不等式组：4x−5>x+1,3x−42
20. 解方程组 x−2y=1, ⋯⋯①3x−2y−y=4. ⋯⋯②

21. 解方程组 3x+4x−y=7, ⋯⋯①3y+8x−y=5. ⋯⋯②

22. 先化简，再求值．x−y2−x+2yx−2y÷12y，其中 x=2，y=−110．

23. 计算：
（1）12a2b+14ab2．
（2）x−2x+2⋅1+x2+4x+4x2−4．

24. 解答下列各题．
（1）如图①，AB∥CD，∠1=∠2，求证：AB=AC．（写出完整的证明过程）
（2）结论应用：
如图②，在 △ABC 中，BE 是 ∠ABC 的平分线，DE∥BC，交 AB 于点 D，若 AD=2，AB=5，则线段 DE 的长为 ．
（3）如图③，在 △ABC 中，∠ABC 和 ∠ACB 的平分线交于点 D，过点 D 作 EF∥BC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，若 AB=2，AC=3，则 △AEF 的周长为 ．

25. 某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共 480 台，改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共 554 台，其中甲种机器产量要比第一季度增产 10%，乙种机器产量要比第一季度增产 20%．该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台?

26. 某货运码头，有稻谷和棉花共 2680t，其中稻谷比棉花多 380t．
（1）求稻谷和棉花各是多少?
（2）现安排甲、乙两种不同规格的集装箱共 50 个，将这批稻谷和棉花运往外地．已知稻谷 35t 和棉花 15t 柯装满一个甲型集装箱；稻谷 25t 和棉花 35t 柯装满一个乙型集装箱．按此要求安排甲、乙两种集装箱的个数，有哪几种方案?

27. 计算：
（1）2m−n3m−4n；
（2）3x−23x+2−6x2+x−1．

28. （1）AB 平行于 CD．如图 a，点 P 在 AB，CD 外部时，由 AB∥CD，有 ∠B=∠BOD，又因 ∠BOD 是 △POD 的外角，故 ∠BOD=∠BPD+∠D，得 ∠BPD=∠B−∠D．如图 b，将点 P 移到 AB，CD 内部，以上结论是否成立?若不成立，则 ∠BPD，∠B，∠D 之间有何数量关系?请证明你的结论；
（2）在图 b 中，将直线 AB 绕点 B 逆时针方向旋转一定角度交直线 CD 于点 Q，如图 c，则 ∠BPD，∠B，∠D，∠BQD 之间有何数量关系?（不需证明）；
（3）根据（2）的结论求图 d 中 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数．

29. 问题：对于形如 x2+2ax+a2 这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成 x+a2 的形式．但对于二次三项式 x2+2ax−3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式 x2+2ax−3a2 中先加上一项 a2，使它与 x2+2ax 的和成为一个完全平方式，再减去 a2，整个式子的值不变：
x2+2ax−3a2=x2+2ax+a2−a2−3a2第一步=x+a2−2a2第二步=x+3ax−a.第三步
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这一项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
参照上述材料，回答下列问题：
（1）上述因式分解的过程中，从第一步到第二步，运用了
A．提公因式法 B．平方差公式
C．完全平方公式 D．没有运用因式分解
（2）从第二步到第三步运用了 法．
（3）类比上述方法，利用了“配方法”分解因式：a2−6a+8．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. B
4. A
5. C
6. D
7. B【解析】A、了解一批节能灯的使用寿命，具有破坏性，适合抽样调查，故A不符合题意；
B、调查我校七年级一个班级每天家庭作业所需时间的调查适合普查，故B符合题意；
C、考察人们保护环境的意识的调查范围广适合抽样调查，故C不符合题意；
D、了解成都人对圣诞节的看法调查范围广适合抽样调查，故D不符合题意．
8. C
9. D
10. B
第二部分
11. x≠3
12. 649
【解析】−38−2=1−382=1964=649．
13. a3+a3−a，2x−32
14. 答案不唯一：∠1=∠2 或 ∠3=∠2 或 ∠3+∠4=180∘
15. 1 或 2 或 3
16. −16
第三部分
17. ∵a∥c，∠1=30∘，
∴∠2=∠1=30∘，
∵b∥d，
∴∠3=∠2=30∘．
18. （1） 45
（2） 405
19. 解不等式 4x−5>x+1，得：
x>2,
解不等式 3x−42x<4,
则不等式组的解集为 220. 把①代入②，得
3×1−y=4.
解得
y=−1.
把 y=−1 代入①，得
x=−1.∴
原方程组的解为
x=−1y=−1.
21. ① − ②，得
3x−y−4x−y=2,
所以
x−y=−2, ⋯⋯③
将③代入①，得
3x+4×−2=7,
解得
x=5,
将 x=5 代入③，得
5−y=−2,
所以
y=7.
所以原方程组的解为
x=5,y=7.
22. 原式=x2−2xy+y2−x2+4y2÷12y=−2xy+5y2÷12y=−4x+10y.
当 x=2，y=−110 时，
原式=−4×2+10×−110=−9.
23. （1） 原式=2b4a2b2+a4a2b2=a+2b4a2b2.
（2） 原式=x−2x+2+x−2x+2⋅x+22x+2x−2=x−2x+2+1=x−2x+2+x+2x+2=2xx+2.
24. （1） ∵AB∥CD，
∴∠B=∠2，
又 ∵∠1=∠2，
∴∠B=∠1，
∴AB=AC．
（2） 3
【解析】∵DE∥BC，BE 是 ∠ABC 的平分线，
∴△BDE 为等腰三角形，
∵AB=5，AD=2，
∴BD=3，
又 ∵BD=DE，
∴DE=3．
（3） 5
【解析】EF∥BC，且 BD 平分 ∠ABC，CD 平分 ∠ACB，
∴△BDE 与 △CDF 为等腰三角形，
∴DE=BE，DF=FC，
∴△AEF 周长为：
AE+EF+AF=AE+BE+FC+AF=AB+AC=2+3=5.
25. 设该厂第一季度生产甲种机器 x 台，乙种机器 y 台，依题意得，
x+y=480,1+10%x+1+20%y=554,
解得，
x=220,y=260.
答：该厂第一季度生产甲种机器 220 台，乙种机器 260 台．
26. （1） 设稻谷为 xt，棉花为 yt．根据题意，可列方程
x+y=2680x−y=380 解得 x=1530y=1150
答：稻谷、棉花分别为 1530 吨、 1150 吨．
（2） 设安排甲型集装箱 x 个，乙型集装箱 50−x 个．
根据题意，可得 35x+2550−x≥153015x+3550−x≥1150
解得 28≤x≤30
又因为x为整数 ∴x=28,29,30
∴共有三种方案
方案一：安排甲型集装箱 28 个，乙型集装箱 22 个
方案二：安排甲型集装箱 29 个，乙型集装箱 21 个
方案三：安排甲型集装箱 30 个，乙型集装箱 20 个．
27. （1） 原式=2m⋅3m−2m⋅4n−3m⋅n+n⋅4n=6m2−11mn+4n2．
（2） 原式=3x2−2×3x+2×3x−4−6x2−6x+6=3x2−6x+2．
28. （1） 不成立，∠BPD=∠B+∠D．
过点 P 作 PE∥AB ，
∵AB∥CD ，
∴PE∥CD．
∴∠B=∠BPE，∠D=∠DPE．
∴∠BPD=∠B+∠D．
（2） ∠BPD>∠B+∠D
（3）
∵∠CME 为 △AME 的外角，
∴∠CME=∠A+∠E．
同理可得 ∠DNB=∠B+∠F．
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠CME+∠DNB+∠C+∠D=360∘.
29. （1） C
（2） 平方差公式
（3） a2−6a+8=a2−6a+9−9+8=a−32−12=a−3+1a−3−1=a−2a−4.