2021年北京西城区育才学校七年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京西城区育才学校七年级下期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 斑叶兰被列为国家二级保护植物，它的一粒种子重约 0.0000005 克．将 0.0000005 用科学记数法表示为
A. 5×107B. 5×10−7C. 0.5×10−6D. 5×10−6

2. 若 a，b，c 三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是
A. a+b<0B. b+c<0C. b+a>0D. a+c>0

3. 下列整式的运算中，正确的是
A. a2⋅a3=a6B. a23=a6C. a3+a2=a5D. ab3=ab3

4. 下列各式不能用平方差公式法分解因式的是
A. x2−4B. −x2−y2+2xy
C. m2n2−1D. a2−4b2

5. 在一次爱心义卖活动中，某中学九年级 6 个班捐献的义卖金额（单位：元）分别为 800 ， 820 ， 930 ， 860 ， 820 ， 850 ，这组数据的众数和中位数分别是
A. 820 ， 850B. 820 ， 930C. 930 ， 835D. 820 ， 835

6. 下列语句中正确的是
A. 每个定理都有逆定理B. 每个命题都有逆命题
C. 真命题的逆命题一定是真命题D. 假命题的逆命题一定是假命题

7. 如图，直线 a，b 被直线 c 所截，∠2=60∘，要使 a∥b，只需 ∠1=
A. 60∘B. 30∘C. 120∘D. 140∘

8. 如图，射线 OD 是平角 ∠AOB 的平分线，∠COE=90∘，那么下列式子中错误的是
A. ∠AOC=∠DOEB. ∠COD=∠BOE
C. ∠AOD=∠BODD. ∠BOE=∠AOC

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 用不等式表示：“a 与 1 的差大于 −2”，得 ．

10. 已知二元一次方程 3x+y=10．
（1）用含 x 的代数式表示 y： ．
（2）用含 y 的代数式表示 x： ．
（3）写出这个方程的三个解：
① x=2,y= ; ② x=−13,y= ; ③ x= ,y=2.

11. 计算：x+1x−3= ．

12. 已知二元一次方程 2x−3y=5 有一组解为 x=m,y=1 那么 m= ．

13. （乘法公式）（1）x+12= ；（2）x−12= ．

14. 如图，若 AB∥CD，∠A=110∘，则 ∠1= ∘．

15. 方程组 x+y=5,2x+y=8 的解是 ．

16. 若一个角的补角比这个角大，则这个角是 （选填“钝角”“锐角”或“直角”）．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 若方程组 x+y=7,3x−5y=−3, 求 3x+y−3x−5y 的值．

18. 因式分解：
（1）−3a3b2c−12a2b2c2+9ab2c3．
（2）2am2−12am+18a．
（3）x−y+y2y−x．
（4）16a4−81．

19. 解方程组：
（1）x=y,x+y=6.
（2）3x+y=22,4x+y−5x−y=2.

20. 已知 a2b3=6，求 ab22ab3ab2 的值．

21. 如图，点 P 在 ∠ABC 内，点 Q，R 分别在 ∠ABC 的边 BA，BC 上，QD 平分 ∠AQP，连接 PQ，PR．若 ∠PRC=∠B，∠P=50∘，求 ∠PQD 的度数．

22. 当 x 取什么值时，代数式 5x+46 的值不小于 78−1−x3 的值，并求出 x 的最小值．

23. 解不等式组：2x−1−2. ⋯⋯② 并在数轴上表示它的解集

24. 郑老师想为希望小学四年级（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包的价格比每本词典多 8 元，用 124 元恰好可以买到 3 个书包和 2 本词典．
（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元?
（2）郑老师计划用 1000 元为全班 40 位学生每人购买一件学习用品（一个书包或一本词典）后，余下不少于 100 元且不超过 120 元的钱购买体育用品，共有哪几种购买书包和词典的方案?

25. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．
学生借阅图书的次数统计表
借阅图书的次数0次1次2次3次4次及以上人数713a103
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）a= ，b= ．
（2）该调查统计数据的中位数是 ，众数是 ．
（3）请计算扇形统计图中“3 次”所对应扇形的圆心角的度数．
（4）若该校共有 2000 名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4 次及以上”的人数．

26. 如图，已知直线 AB∥CD．
（1）在图①中，点 E 在直线 AB 上，点 F 在直线 CD 上，点 G 在直线 AB，CD 之间，若 ∠1=30∘，∠3=75∘，求 ∠2 的度数；
（2）如图②，若 FN 平分 ∠CFG，延长 GE 交 FN 于点 M，EM 平分 ∠AEN，当 ∠N+12∠FGE=54∘ 时，求 ∠AEN 的度数；
（3）如图③，FM 平分 ∠CFG，EN 平分 ∠AEG，直线 MF 与直线 NE 相交于点 H，试猜想 ∠G 与 ∠H 的数量关系，并说明理由．

27. 如图①是一个长为 2m，宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中阴影部分的面积为 ；
（2）观察图②，请你写出式子 m+n2，m−n2，mn 之间的等量关系： ；
（3）若 x+y=−6，xy=2.75，则 x−y= ；
（4）实际上有许多恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示等式： ．
答案
第一部分
1. B【解析】将 0.0000005 用科学记数法表示为 5×10−7 ．
2. C【解析】根据数轴上点的位置得 −4所以 a+b<0，b+c<0，b+a<0，a+c>0．
3. B
4. B
5. D
6. B
7. A【解析】当 ∠1=∠2 时，a∥b，
∵∠2=60∘，
∴∠1=60∘．
8. D
第二部分
9. a−1>−2
10. y=10−3x，x=10−y3，4，11，83
11. x2−2x−3
【解析】x+1x−3=x2−3x+x−3=x2−2x−3．
12. 4
13. x2+2x+1，x2−2x+1
14. 70
【解析】如图，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠A=110∘．
又 ∵∠1+∠2=180∘，
∴∠1=180∘−∠2=180∘−110∘=70∘．
15. x=3,y=2
16. 锐角
第三部分
17. 原式=3x+y−3x−5y=3×7−−3=21+3=24.
18. （1） −3a3b2c−12a2b2c2+9ab2c3=−3ab2ca2+4ac−3c2．
（2） 2am2−12am+18a=2am2−6m+9=2am−32.
（3） x−y+y2y−x=x−y1−y2=x−y1+y1−y.
（4） 16a4−81=4a2+94a2−9=4a2+92a+32a−3.
19. （1）
x=y, ⋯⋯①x+y=6. ⋯⋯②
把 ① 代入 ② 得：
2y=6.
即
y=3.
把 y=3 代入 ① 得：
x=3.
则方程组的解为 x=3,y=3.
（2） 方程组整理得：
3x+y=22, ⋯⋯①−x+9y=2. ⋯⋯②①+②×3
得：
28y=28.
即
y=1.
把 y=1 代入 ② 得：
x=7.
则方程组的解为 x=7,y=1.
20. ab22ab3ab2=a6b9=a2b33=63=216.
21. 25∘
22. 由题意，得
5x+46≥78−1−x3,
去分母，得
45x+4≥21−81−x,
去括号，得
20x+16≥21−8+8x,
移项，合并同类项，得
12x≥−3.
系数化为 1，得
x≥−14.∴
当 x≥−14 时，代数式 5x+46 的值不小于 78−1−x3 的值，且 x 的最小值是 −14．
23.
2x−1−2. ⋯⋯②
由 ① 得
x<2,
由 ② 得
x>−1,
在数轴上表示如下：

所以不等式组的解集为
−124. （1） 设每个书包的价格为 x 元，则每本词典的价格为 x−8 元．
根据题意，得
3x+2x−8=124,
解得
x=28.
所以 x−8=20．
答：每个书包的价格为 28 元，每本词典的价格为 20 元．
（2） 设买书包 a 个，则购买词典 40−a 本．
根据题意，得
1000−28a+2040−a≥100,1000−28a+2040−a≤120,
解得
10≤a≤12.5.
因为 a 取正整数，所以 a 的值为 10 或 11 或 12．
所以有三种购买方案，分别是：①书包 10 个，词典 30 本；②书包 11 个，词典 29 本；③书包 12 个，词典 28 本．
25. （1） 17；20
（2） 2；2
（3） 扇形统计图中“3 次”所对应扇形的圆心角的度数为 360∘×20%=72∘．
（4） 估计该校学生在一周内借阅图书“4 次及以上”的人数为 2000×350=120 人．
26. （1） 如图所示，过 G 作 GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GH，
∴∠1=∠EGH，∠2=∠FGH．
∵∠3=∠EGH+∠FGH，
∴∠1+∠2=∠3．
∵∠1=30∘，∠3=75∘，
∴30∘+∠2=75∘，
∴∠2=45∘．
（2） ∵FN 平分 ∠CFG，EM 平分 ∠AEN，
∴ 可设 ∠AEM=∠NEM=α，∠CFN=∠GFN=β，
如图所示，过 G 作 GP∥CD，过 N 作 NQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴NQ∥AB∥CD∥PG，
∴∠QNF=∠CFN=β，∠QNE=∠AEN=2α，∠PGE=∠AEM=α，∠PGF=∠DFG=180∘−2β，
∴∠FNE=∠QNF−∠QNE=β−2α，∠FGE=∠PGE+∠PGF=α+180∘−2β，
又 ∵∠FNE+12∠FGE=54∘，
∴β−2α+12α+180∘−2β=54∘，
∴α=24∘，
∴∠AEN=2α=48∘．
（3） 猜想：∠G=2∠H．理由如下：
∵FM 平分 ∠CFG，EN 平分 ∠AEG，
∴ 可设 ∠AEN=∠NEG=α，∠CFM=∠GFM=β，
如图所示，过 H 作 HP∥CD，过 G 作 GQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴GQ∥AB∥CD∥PH，
∴∠QGE=∠AEG=2α，∠QGF=∠CFG=2β，∠PHM=∠CFM=β，∠PHN=∠AEN=α，
∴∠EGF=∠QGE−∠QGF=2α−2β，∠EHF=∠PHN−∠PHM=α−β，
∴∠EGF=2∠EHF．
27. （1） m−n2
（2） m+n2−m−n2=4mn
（3） ±5
（4） 2m+nm+n=2m2+3mn+n2．