2021年北京西城区北京启喑实验学校七年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京西城区北京启喑实验学校七年级下期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 以下问题，不适合用全面调查的是
A. 旅客上飞机前的安检B. 学校招聘教师，对应聘人员的面试
C. 了解全校学生的课外读书时间D. 了解全国中学生的用眼卫生情况

2. 下列运算正确的是
A. a2⋅a3=a6B. ab2=a2b2C. a23=a5D. a6÷a2=a3

3. 小颖随机抽样调查本校 20 名女同学所穿运动鞋尺码，并统计如表：
尺码人数24383
学校附近的商店经理根据统计表决定本月多进尺码为 23.0 cm 的女式运动鞋，商店经理的这一决定应用的统计量是
A. 平均数B. 加权平均数C. 众数D. 中位数

4. 如图，直线 a∥b，点 B 在直线 b 上，且 AB⊥BC，∠1=55∘，则 ∠2 的度数为
A. 35∘B. 45∘C. 55∘D. 125∘

5. 如图，长为 a，宽为 b 的长方形的周长为 14，面积为 10，则 a2+b2 的值为
A. 140B. 70C. 35D. 29

6. 如图 1，将一个边长为 a 的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“”图案，如图 2 所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图 3 所示，则新长方形的周长可表示为
A. 2a−3bB. 4a−8bC. 2a−4bD. 4a−10b

7. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a−b，x−y，x+y，a+b，x2−y2，a2−b2 分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将 x2−y2a2−x2−y2b2 因式分解，结果呈现的密码信息可能是
A. 我爱美B. 宜昌游C. 爱我宜昌D. 美我宜昌

8. 下列结论中，正确的是
A. 若 a>b，则 1a<1bB. 若 a>b，则 a2>b2
C. 若 a>b，则 1−a<1−bD. 若 a>b，则 ac2>bc2

9. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余 1 尺，问木长多少尺．设木长为 x 尺，绳子长为 y 尺，则下列符合题意的方程组是
A. y=x+4.5,12y=x+1B. y=x+4.5,12y=x−1C. y=4.5−x,12y=x+1D. y=x−4.5,12y=x−1

10. 小亮的妈妈用 28 元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克 4 元，乙种水果每千克 6 元，且乙种水果比甲种水果少买了 2 千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克?设小亮妈妈买了甲种水果 x 千克，乙种水果 y 千克，则可列方程组为
A. 4x+6y=28,x=y+2B. 4y+6x=28,x=y+2C. 4x+6y=28,x=y−2D. 4y+6x=28,x=y−2

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. 分解因式：m3n−6m2n+9mn= ．

13. 北京市某一周的最高气温统计如表：
日期周一周二周三周四周五周六周日最高气温∘C31292830313031
则这组数据的平均数是 ，中位数是 ．

14. 如图，将一套直角三角板的直角顶点 A 叠放在一起，若 ∠BAE=130∘，则 ∠CAD= ．

15. 将边长为 1 的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第 1 次对折后得到的图形面积为 S1，第 2 次对折后得到的图形面积为 S2，⋯，第 n 次对折后得到的图形面积为 Sn，则 S4= ，S1+S2+S3+⋯+S2017= ．

16. 如图，∠A=70∘，O 是 AB 上一点，直线 OD 与 AB 所夹角 ∠BOD=82∘，要使 OD∥AC，直线 OD 绕点 O 按逆时针方向至少旋转 度．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 解不等式组 x−3x−1≤7,1−2−5x3
18. 计算：2x2+3y2−xy−x2−3xy．

19. 计算：3a3b2÷a2+b⋅a2b−3ab．

20. 计算：x+y2−x−2yx+y．

21. 已知 x2+4x−4=0，求代数式 3x−22−6x+1x−1 的值．

22. 某中学开展“阳光体育一小时”活动，根据学校实际情况，决定开设A：踢毽子；B：篮球；C：跳绳；D：乒乓球四种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，并将调查结果绘制成两个统计图．请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了多少名学生?
（2）请将两个统计图补全；
（3）若该中学有 1200 名学生，喜欢篮球运动项目的学生约有多少名?

23. 如图，已知 CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2．试说明 DF∥AE．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．
证明：
∵ ，
∴∠CDA=90∘，∠DAB=90∘ ．
∴∠1+∠3=90∘，∠2+∠4=90∘．
又 ∵∠1=∠2，
∴ ，
∴DF∥AE ．

24. 已知关于 x，y 的二元一次方程组 2x+y=3k−1,x+2y=−2 的解满足 x+y>2，求 k 的取值范围．

25. 如图，正方形 ABCD 和 CEFG 的边长分别为 m，n，试用 m，n 的代数式表示三角形 BDF 的面积 S．

26. 已知 x，y 为有理数，且满足 x2+y2−4x+6y+13=0，求代数式 xy2 的值．

27. 某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买 3 个足球和 2 个篮球共需 490 元，购买 2 个足球和 5 个篮球共需 730 元．
（1）求购买一个足球、一个篮球各需多少元?
（2）根据该中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共 80 个，要求购买足球和篮球的总费用不超过 7810 元．这所中学最多可以购买多少个篮球?

28. 已知：如图，点 C 在 ∠AOB 的一边 OA 上，过点 C 的直线 DE∥OB，CF 平分 ∠ACD，CG⊥CF 于 C．
（1）若 ∠O=40∘，求 ∠ECF 的度数；
（2）求证：CG 平分 ∠OCD；
（3）当 ∠O 为多少度时，CD 平分 ∠OCF，并说明理由．

29. 对有理数 x，y 定义新运算 ⊗:x⊗y=ax+by（a，b 为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算），已知 5⊗2=25，3⊗4=15，求 1⊗1 的值．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. C
4. A
5. D
【解析】∵ 长方形的周长为 14，面积为 10，
∴ ab=10，a+b=142=7，
a2+b2=a+b2−2ab=72−2×10=29．
6. B【解析】设新长方形的长为 x，宽为 y，
可得：b+x=a,3b+y=a, 解得 x=a−b,y=a−3b.
∴ 新长方形的周长为：2×x+y=4a−8b．
7. C【解析】∵ x2−y2a2−x2−y2b2=x2−y2a2−b2=x−yx+ya−ba+b，
∵ x−y，x+y，a+b，a−b 四个代数式分别对应爱、我、宜、昌，
∴ 结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”．
8. C
9. B
10. A
【解析】【解析】 设小亮妈妈买了甲种水果x kg，乙种水果y kg，根据两种水果共花去28元，乙种水果比甲种水果少买了2 kg，据此列方程组
4x+6y=28,x=y+2.
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. mnm−32
13. 30∘，30∘
14. 50∘
15. 116，1−122017
【解析】由题意知：S1=12，S2=14，S3=18，⋯，Sn=12n，
∴ S4=116，
设 S=S1+S2+S3+⋯+S2017=12+14+18+⋯+122017，
12S=14+18+⋯+122017+122018，
∴ 12S=S−12S=12−122018，
∴ S=1−122017．
16. 12
第三部分
17.
x−3x−1≤7, ⋯⋯①1−2−5x3解不等式 ①，得
x≥−2,
解不等式 ②，得
x<−12.∴
这个不等式组的解集是
−2≤x<−12.
在数轴上表示不等式组的解集，如图：
18. 原式=2x2+3y2−xy−x2+3xy=x2+3y2+2xy.
19. 原式=3ab2+a2b2−3ab2=a2b2.
20. 法一：
原式=x2+2xy+y2−x2+xy−2xy−2y2=x2+2xy+y2−x2−xy+2xy+2y2=3xy+3y2.
【解析】法二：
原式=x+yx+y−x−2y=x+yx+y−x+2y=x+y3y=3xy+3y2.
21. 原式=3x2−4x+4−6x2−1=3x2−12x+12−6x2+6=−3x2−12x+18,
∵x2+4x−4=0，
∴x2+4x=4，
原式=−3x2+4x+18=−3×4+18=6.
22. （1） 80÷40%=200（名），
∴ 本次共调查 200 名学生．
（2） 200×20%=40（名），30÷200×100%=15%，补全如图：
（3） 1200×15%=180（名），
∴ 该学校喜欢乒乓球体育项目的学生约有 180 名．
23. CD⊥DA，DA⊥AB；垂直定义；∠3=∠4；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行
24. 法一：
解该方程组，得 x=2k,y=−k−1.
∵x+y>2，
∴2k−k−1>2，
∴k>3．
【解析】法二：2x+y=3k−1, ⋯⋯①x+2y=−2. ⋯⋯②
①+② 得，3x+y=3k−3．
∴x+y=k−1，
∵x+y>2，
∴k−1>2，
∴k>3．
25. S=m2+n2−12m2+12nm+n+12nn−m=m2+n2−12m2+12mn+12n2−12mn=m2+n2−12m2+n2=m2+n2−12m2−n2=12m2.
26. 由 x2+y2−4x+6y+13=0，
所以 x−22+y+32=0，
所以 x−2=0，且 y+3=0，
所以 x=2，且 y=−3，
所以 xy2=2×−32=18．
27. （1） 设购买一个足球需要 x 元，购买一个篮球需要 y 元．
根据题意，列方程组得
3x+2y=490,2x+5y=730,
解这个方程组，得
x=90,y=110.
答：购买一个足球需要 90 元，购买一个篮球需要 110 元．
（2） 设购买 a 个篮球，则购买 80−a 个足球．
根据题意列不等式，得
110a+9080−a≤7810,
解这个不等式，得
a≤3012,∵a
为整数，
∴a 最多是 30．
答：这所中学最多可以购买 30 个篮球．
28. （1） ∵ DE∥OB，
∴ ∠O=∠ACE，
∵ ∠O=40∘，
∴ ∠ACE=40∘，
∵ ∠ACD+∠ACE=180∘，
∴ ∠ACD=140∘，
又 ∵ CF 平分 ∠ACD，
∴ ∠ACF=∠DCF=70∘，
∴ ∠ECF=110∘．
（2） ∵ CG⊥CF，
∴ ∠FCG=90∘，
∴ ∠DCF+∠DCG=90∘，
又 ∵ ∠GCO+∠GCD+∠FCA+∠FCD=180∘，
∴ ∠GCO+∠FCA=90∘，
∵ ∠ACF=∠FDC，
∴ ∠GCO=∠DCG，
即 CG 平分 ∠OCD．
（3） 结论：当 ∠O=60∘ 时，CD 平分 ∠OCF．
法一：当 ∠O=60∘ 时，
∵ DE∥OB，
∴ ∠DCO=∠O=60∘，
∴ ∠ACD=120∘，
又 ∵ CF 平分 ∠ACD，
∴ ∠DCF=60∘，
∴ ∠DCO=∠DCF，
即 CD 平分 ∠OCF．
【解析】法二：若 CD 平分 ∠OCF，
∴ ∠DCO=∠DCF，
∵ ∠ACF=∠FCD，
∴ ∠ACF=∠FCD=∠DCO，
∵ ∠ACO=180∘，
∴ ∠DCO=60∘，
∵ DE∥OB，
∴ ∠O=∠DCO，
∴ ∠O=60∘．
29. 由新定义知 5a+2b=25,3a+4b=15, 解得 a=5,b=0. 所以 1⊗1=5×1+0×1=5．