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2021年北京朝阳区人大附中朝阳分校东坝校区七年级下期末数学试卷
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这是一份2021年北京朝阳区人大附中朝阳分校东坝校区七年级下期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，小器一容三斛；大器一，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列计算中，正确的是
A. x34=x12B. a2⋅a3=a6C. 2a3=6a3D. a3+a3=a6
2. 已知 aA. a−2>b−2B. −2a>−2bC. a2>b2D. 3a+1>3b+1
3. 已知 x=1,y=2 是方程 x−ay=3 的一个解，那么 a 的值为
A. 1B. −1C. −3D. 3
4. 为了测算一块 600 亩试验田里新培育的杂交水稻的产量，随机对其中的 10 亩杂交水稻的产量进行了检测，在这个事件中 10 是
A. 个体B. 总体C. 总体的样本D. 样本容量
5. 为了解游客在野鸭湖国家湿地公园、松山自然保护区、玉渡山风景区和百里山水画廊这四个风景区旅游的满意率，数学小组的同学商议了几个收集数据的方案：方案一：在多家旅游公司调查 400 名导游；方案二：在野鸭湖国家湿地公园调查 400 名游客；方案三：在玉渡山风景区调查 400 名游客；方案四：在上述四个景区各调查 100 名游客．在这四个收集数据的方案中，最合理的是
A. 方案一B. 方案二C. 方案三D. 方案四
6. 不等式组 x≥−2,x<1 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.
7. 将一副三角尺按如图方式进行摆放，∠1，∠2 不一定互补的是
A. B.
C. D.
8. 下列四个多项式中，不能因式分解的是
A. ab−ab2+bB. a2+9C. a2−4b2D. 2a2+12a+18
9. 如图，直线 a∥b，三角板的直角顶点放在直线 b 上，两直角边与直线 a 相交，如果 ∠1=55∘，那么 ∠2 等于
A. 65∘B. 55∘C. 45∘D. 35∘
10. 为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班 50 名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为
A. 7 h 7 hB. 8 h 7.5 hC. 7 h 7.5 hD. 8 h 8 h
二、填空题（共8小题；共40分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．
12. 化简 x+y2+x+yx−y= ．
13. 如图 1，将边长为 a 的大正方形剪去一个边长为 b 的小正方形 a>b，将剩下的阴影部分沿图中的虚线剪开，拼接后得到图 2，这种变化可以用含字母 a，b 的等式表示为 ．
14. 在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线 AB，CD，并说出自己做法的依据．小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下：
小琛说：“我的做法的依据是内错角相等，两直线平行．”
小萱做法的依据是 ．
小冉做法的依据是 ．
15. 如图，由等圆组成的一组图中，第 1 个图由 1 个圆组成，第 2 个图由 5 个圆组成，第 3 个图由 11 个圆组成，⋯，按照这样的规律排列下去，则第 9 个图形由 个圆组成，第 n 个图形由 个圆组成．
16. 计算：6x2+4x÷2x= ．
17. 分解因式：
（1）x2+6x+9= ．
（2）m2−8m+16= ．
（3）a2−23a+19= ．
（4）36+12y+y2= ．
18. 《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何?”其大意是：今有大容器 5 个，小容器 1 个，总容量为 3 斛；大容器 1 个，小容器 5 个，总容量为 2 斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛?设大容器的容积为 x 斛，小容器的容积为 y 斛，根据题意，可列方程组为 （斛：古量器名，容量单位）．
三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：−12017+3.14−π0+2−1．
20. 解不等式 x+12>2x+23−1，并写出它的正整数解．
21. 已知：如图，∠1=∠2，求证：∠3+∠4=180∘．
22. 2017 年 3 月 1 日至 2017 年 12 月 31 日，北京延庆总工会推出“世界葡萄博览园畅游优惠活动”．活动期间，工会会员成人票优惠价每张 48 元，学生门票每张 20 元，某天共售出门票 3000 张，共收入 68400 元，这天售出成人票和学生票各多少张?
23. 为了创设全新的校园文化氛围，进一步组织学生开展课外阅读，让学生在丰富多彩的书海中，扩大知识源，亲近母语，提高文学素养．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型（只写一项）”的随机抽样调查，相关数据统计如下：请根据以上信息解答下列问题：
（1）该校对多少名学生进行了抽样调查?
（2）请将图 1 和图 2 补充完整；并求出扇形统计图中小说所对应的圆心角度数．
（3）已知该校共有学生 800 名，利用样本数据估计全校学生中最喜欢小说人数约为多少名?
24. 阅读下列材料：
小明同学遇到下列问题：
解方程组 2x+3y4+2x−3y3=7,2x+3y3+2x−3y2=8, 他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的 2x+3y 看作一个数，把 2x−3y 看作一个数，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令 m=2x+3y，n=2x−3y．
这时原方程组化为 m4+n3=7,m3+n2=8, 解得 m=60,n=−24.
把 m=60,n=−24 代入 m=2x+3y，n=2x−3y．
得 2x+3y=60,2x−3y=−24, 解得 x=9,y=14,
∴ 原方程组的解为 x=9,y=14.
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
（1）解方程组 x+y6+x−y10=3,x+y6−x−y10=−1;
（2）若方程组 a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2 的解是 x=3,y=2. 求方程组 56a1x+13b1y=c1,56a2x+13b2y=c2 的解．
25. （1）问题情境：如图 1，AB∥CD，∠PAB=130∘，∠PCD=120∘．求 ∠APC 度数．
小明的思路是：如图 2，过 P 作 PE∥AB，通过平行线性质，可得 ∠APC= ．
（2）问题迁移：如图 3，AD∥BC，点 P 在射线 OM 上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．
（1）当点 P 在 A，B 两点之间运动时，∠CPD，∠α，∠β 之间有何数量关系?请说明理由．
（2）如果点 P 在 A，B 两点外侧运动时（点 P 与点 A，B，O 三点不重合），请你直接写出 ∠CPD，∠α，∠β 之间的数量关系．
26. 已知 x+y=4，xy=1，求代数式 x2+1y2+1 的值．
27. 解不等式组：5x−2<3x+2,x+52≤3x. 并写出它的所有整数解．
28. 已知 y=x2+px+q，当 x=1 时，y 的值为 2；当 x=−2 时，y 的值也为 2．求 x=−3 时 y 的值．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. B【解析】把 x=1,y=2 代入方程得：1−2a=3，
解得：a=−1．
4. D【解析】为了测算一块 600 亩试验田里新培育的杂交水稻的产量，随机对其中的 10 亩杂交水稻的产量进行了检测，在这个事件中，数字 10 是样本容量．
5. D
【解析】方案一、方案二、方案三选项选择的调查对象没有代表性．
方案四在上述四个景区各调查 100 名游客，具有代表性．
6. A
7. D【解析】如图，
∵ ∠1=90∘，∠2=60∘，
∴ ∠1+∠2=150∘．
8. B【解析】A. ab−ab2+b=ba−ab+1，能因式分解，不符合题意；
B. a2+9 不能因式分解，符合题意；
C. a2−4b2=a+2ba−2b，能因式分解，不符合题意；
D. 2a2+12a+18=2a+32，能因式分解，不符合题意．
9. D
10. C
【解析】∵7 h 出现了 19 次，出现的次数最多，
∴ 所调查学生睡眠时间的众数是 7 h；
∵ 共有 50 名学生，中位数是第 25，26 个数的平均数，
∴ 所调查学生睡眠时间的中位数是 7+82=7.5h．
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. 2x2+2xy
【解析】原式=x2+2xy+y2+x2−y2=2x2+2xy.
13. a2−b2=a+ba−b
【解析】图 1 中阴影部分的面积 =a2−b2，
图 2 中阴影部分的面积 =12×2a+2ba−b=a+ba−b．
由图中阴影部分的面积不变，得 a2−b2=a+ba−b．
14. 同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行
【解析】小萱：依题意得：∠B=∠D，则 AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
小冉：依题意得：∠ACB=∠DBC，则 AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
15. 89，n2+n−1
【解析】根据图形的变化，发现第 n 个图形的最上边的一排是 1 个圆，第二排是 2 个圆，第三排是 3 个圆，⋯，第 n−1 排是 n−1 个圆，中间一层有 2n−1 个圆，上下各 n−1 层，
则第 n 个图形的圆的个数是：
21+2+3+⋯+n−1+2n−1=nn−1+2n−1=n2+n−1.
当 n=9 时，92+9−1=89．
16. 3x+2
【解析】原式=6x2÷2x+4x÷2x=3x+2.
17. x+32，m−42，a−132，6+y2
18. 5x+y=3,x+5y=2
【解析】设大容器的容积为 x 斛，小容器的容积为 y 斛，根据题意得 5x+y=3,x+5y=2.
第三部分
19. −12017+3.14−π0+2−1=−1+1+12=12.
20. 去分母得：
3x+1>22x+2−6,
去括号得：
3x+3>4x+4−6,
移项得：
3x−4x>4−6−3,
合并同类项得：
−x>−5,
系数化为 1 得：
x<5.
故不等式的正整数解有 1，2，3，4 这 4 个．
21. ∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠3+∠5=180∘，
∵∠4=∠5，
∴∠3+∠4=180∘．
22. 设这天售出成人门票 x 张，学生门票 y 张，
根据题意得：
x+y=3000,48x+20y=68400,
解得：
x=300,y=2700.
答：这天售出成人门票 300 张，学生门票 2700 张．
23. （1） 20÷10%=200（名）．
答：该校对 200 名学生进行了抽样调查．
（2）
360∘×20%=72∘．
（3） 800×20%=160（名）．
答：全校学生中最喜欢小说的人数约为 160 名．
24. （1） 令 m=x+y6，n=x−y10，
原方程组可化为 m+n=3,m−n=−1,
解得 m=1,n=2.
∴x+y6=1,x−y10=2.
解得 x=13,y=−7.
∴ 原方程组的解为 x=13,y=−7.
（2） 令 m=56x，n=13y，
原方程组可化为 a1m+b1n=c1,a2m+b2n=c2.
依题意，得 m=3,n=2.
∴56x=3,13y=2.
解得 x=185,y=6.
25. （1） 110∘
【解析】过 P 作 PE∥AB，
∵ AB∥CD，
∴ PE∥AB∥CD，
∴ ∠APE=180∘−∠A=50∘，∠CPE=180∘−∠C=60∘，
∴ ∠APC=50∘+60∘=110∘．
（2） （1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图 3，过 P 作 PE∥AD 交 CD 于 E，
∵ AD∥BC，
∴ AD∥PE∥BC，
∴ ∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴ ∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（2）∠CPD=∠β−∠α 或 ∠CPD=∠α−∠β．
【解析】（2）当 P 在 BA 延长线时，∠CPD=∠β−∠α；
理由：如图 4，过 P 作 PE∥AD 交 CN 于 E，
∵ AD∥BC，
∴ AD∥PE∥BC，
∴ ∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴ ∠CPD=∠CPE−∠DPE=∠β−∠α；
当 P 在 BO 之间时，∠CPD=∠α−∠β．
理由：如图 5，过 P 作 PE∥AD 交 CO 于 E，
∵ AD∥BC，
∴ AD∥PE∥BC，
∴ ∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴ ∠CPD=∠DPE−∠CPE=∠α−∠β．
26. x2+1y2+1=x2y2+x2+y2+1=xy2+x+y2−2xy+1．
把 x+y=4，xy=1 整体代入得 12+42−2×1+1=16，
即 x2+1y2+1=16．
27. 由 ① 得，
x<4.
由 ② 得，
x≥1.∴
原不等式组的解集为
1≤x<4.∴
原不等式组的所有整数解为 1，2，3．
28. p=1；q=0；y=6．
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列计算中，正确的是
A. x34=x12B. a2⋅a3=a6C. 2a3=6a3D. a3+a3=a6
2. 已知 a
3. 已知 x=1,y=2 是方程 x−ay=3 的一个解，那么 a 的值为
A. 1B. −1C. −3D. 3
4. 为了测算一块 600 亩试验田里新培育的杂交水稻的产量，随机对其中的 10 亩杂交水稻的产量进行了检测，在这个事件中 10 是
A. 个体B. 总体C. 总体的样本D. 样本容量
5. 为了解游客在野鸭湖国家湿地公园、松山自然保护区、玉渡山风景区和百里山水画廊这四个风景区旅游的满意率，数学小组的同学商议了几个收集数据的方案：方案一：在多家旅游公司调查 400 名导游；方案二：在野鸭湖国家湿地公园调查 400 名游客；方案三：在玉渡山风景区调查 400 名游客；方案四：在上述四个景区各调查 100 名游客．在这四个收集数据的方案中，最合理的是
A. 方案一B. 方案二C. 方案三D. 方案四
6. 不等式组 x≥−2,x<1 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.
7. 将一副三角尺按如图方式进行摆放，∠1，∠2 不一定互补的是
A. B.
C. D.
8. 下列四个多项式中，不能因式分解的是
A. ab−ab2+bB. a2+9C. a2−4b2D. 2a2+12a+18
9. 如图，直线 a∥b，三角板的直角顶点放在直线 b 上，两直角边与直线 a 相交，如果 ∠1=55∘，那么 ∠2 等于
A. 65∘B. 55∘C. 45∘D. 35∘
10. 为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班 50 名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为
A. 7 h 7 hB. 8 h 7.5 hC. 7 h 7.5 hD. 8 h 8 h
二、填空题（共8小题；共40分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．
12. 化简 x+y2+x+yx−y= ．
13. 如图 1，将边长为 a 的大正方形剪去一个边长为 b 的小正方形 a>b，将剩下的阴影部分沿图中的虚线剪开，拼接后得到图 2，这种变化可以用含字母 a，b 的等式表示为 ．
14. 在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线 AB，CD，并说出自己做法的依据．小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下：
小琛说：“我的做法的依据是内错角相等，两直线平行．”
小萱做法的依据是 ．
小冉做法的依据是 ．
15. 如图，由等圆组成的一组图中，第 1 个图由 1 个圆组成，第 2 个图由 5 个圆组成，第 3 个图由 11 个圆组成，⋯，按照这样的规律排列下去，则第 9 个图形由 个圆组成，第 n 个图形由 个圆组成．
16. 计算：6x2+4x÷2x= ．
17. 分解因式：
（1）x2+6x+9= ．
（2）m2−8m+16= ．
（3）a2−23a+19= ．
（4）36+12y+y2= ．
18. 《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何?”其大意是：今有大容器 5 个，小容器 1 个，总容量为 3 斛；大容器 1 个，小容器 5 个，总容量为 2 斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛?设大容器的容积为 x 斛，小容器的容积为 y 斛，根据题意，可列方程组为 （斛：古量器名，容量单位）．
三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：−12017+3.14−π0+2−1．
20. 解不等式 x+12>2x+23−1，并写出它的正整数解．
21. 已知：如图，∠1=∠2，求证：∠3+∠4=180∘．
22. 2017 年 3 月 1 日至 2017 年 12 月 31 日，北京延庆总工会推出“世界葡萄博览园畅游优惠活动”．活动期间，工会会员成人票优惠价每张 48 元，学生门票每张 20 元，某天共售出门票 3000 张，共收入 68400 元，这天售出成人票和学生票各多少张?
23. 为了创设全新的校园文化氛围，进一步组织学生开展课外阅读，让学生在丰富多彩的书海中，扩大知识源，亲近母语，提高文学素养．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型（只写一项）”的随机抽样调查，相关数据统计如下：请根据以上信息解答下列问题：
（1）该校对多少名学生进行了抽样调查?
（2）请将图 1 和图 2 补充完整；并求出扇形统计图中小说所对应的圆心角度数．
（3）已知该校共有学生 800 名，利用样本数据估计全校学生中最喜欢小说人数约为多少名?
24. 阅读下列材料：
小明同学遇到下列问题：
解方程组 2x+3y4+2x−3y3=7,2x+3y3+2x−3y2=8, 他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的 2x+3y 看作一个数，把 2x−3y 看作一个数，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令 m=2x+3y，n=2x−3y．
这时原方程组化为 m4+n3=7,m3+n2=8, 解得 m=60,n=−24.
把 m=60,n=−24 代入 m=2x+3y，n=2x−3y．
得 2x+3y=60,2x−3y=−24, 解得 x=9,y=14,
∴ 原方程组的解为 x=9,y=14.
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
（1）解方程组 x+y6+x−y10=3,x+y6−x−y10=−1;
（2）若方程组 a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2 的解是 x=3,y=2. 求方程组 56a1x+13b1y=c1,56a2x+13b2y=c2 的解．
25. （1）问题情境：如图 1，AB∥CD，∠PAB=130∘，∠PCD=120∘．求 ∠APC 度数．
小明的思路是：如图 2，过 P 作 PE∥AB，通过平行线性质，可得 ∠APC= ．
（2）问题迁移：如图 3，AD∥BC，点 P 在射线 OM 上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．
（1）当点 P 在 A，B 两点之间运动时，∠CPD，∠α，∠β 之间有何数量关系?请说明理由．
（2）如果点 P 在 A，B 两点外侧运动时（点 P 与点 A，B，O 三点不重合），请你直接写出 ∠CPD，∠α，∠β 之间的数量关系．
26. 已知 x+y=4，xy=1，求代数式 x2+1y2+1 的值．
27. 解不等式组：5x−2<3x+2,x+52≤3x. 并写出它的所有整数解．
28. 已知 y=x2+px+q，当 x=1 时，y 的值为 2；当 x=−2 时，y 的值也为 2．求 x=−3 时 y 的值．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. B【解析】把 x=1,y=2 代入方程得：1−2a=3，
解得：a=−1．
4. D【解析】为了测算一块 600 亩试验田里新培育的杂交水稻的产量，随机对其中的 10 亩杂交水稻的产量进行了检测，在这个事件中，数字 10 是样本容量．
5. D
【解析】方案一、方案二、方案三选项选择的调查对象没有代表性．
方案四在上述四个景区各调查 100 名游客，具有代表性．
6. A
7. D【解析】如图，
∵ ∠1=90∘，∠2=60∘，
∴ ∠1+∠2=150∘．
8. B【解析】A. ab−ab2+b=ba−ab+1，能因式分解，不符合题意；
B. a2+9 不能因式分解，符合题意；
C. a2−4b2=a+2ba−2b，能因式分解，不符合题意；
D. 2a2+12a+18=2a+32，能因式分解，不符合题意．
9. D
10. C
【解析】∵7 h 出现了 19 次，出现的次数最多，
∴ 所调查学生睡眠时间的众数是 7 h；
∵ 共有 50 名学生，中位数是第 25，26 个数的平均数，
∴ 所调查学生睡眠时间的中位数是 7+82=7.5h．
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. 2x2+2xy
【解析】原式=x2+2xy+y2+x2−y2=2x2+2xy.
13. a2−b2=a+ba−b
【解析】图 1 中阴影部分的面积 =a2−b2，
图 2 中阴影部分的面积 =12×2a+2ba−b=a+ba−b．
由图中阴影部分的面积不变，得 a2−b2=a+ba−b．
14. 同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行
【解析】小萱：依题意得：∠B=∠D，则 AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
小冉：依题意得：∠ACB=∠DBC，则 AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
15. 89，n2+n−1
【解析】根据图形的变化，发现第 n 个图形的最上边的一排是 1 个圆，第二排是 2 个圆，第三排是 3 个圆，⋯，第 n−1 排是 n−1 个圆，中间一层有 2n−1 个圆，上下各 n−1 层，
则第 n 个图形的圆的个数是：
21+2+3+⋯+n−1+2n−1=nn−1+2n−1=n2+n−1.
当 n=9 时，92+9−1=89．
16. 3x+2
【解析】原式=6x2÷2x+4x÷2x=3x+2.
17. x+32，m−42，a−132，6+y2
18. 5x+y=3,x+5y=2
【解析】设大容器的容积为 x 斛，小容器的容积为 y 斛，根据题意得 5x+y=3,x+5y=2.
第三部分
19. −12017+3.14−π0+2−1=−1+1+12=12.
20. 去分母得：
3x+1>22x+2−6,
去括号得：
3x+3>4x+4−6,
移项得：
3x−4x>4−6−3,
合并同类项得：
−x>−5,
系数化为 1 得：
x<5.
故不等式的正整数解有 1，2，3，4 这 4 个．
21. ∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠3+∠5=180∘，
∵∠4=∠5，
∴∠3+∠4=180∘．
22. 设这天售出成人门票 x 张，学生门票 y 张，
根据题意得：
x+y=3000,48x+20y=68400,
解得：
x=300,y=2700.
答：这天售出成人门票 300 张，学生门票 2700 张．
23. （1） 20÷10%=200（名）．
答：该校对 200 名学生进行了抽样调查．
（2）
360∘×20%=72∘．
（3） 800×20%=160（名）．
答：全校学生中最喜欢小说的人数约为 160 名．
24. （1） 令 m=x+y6，n=x−y10，
原方程组可化为 m+n=3,m−n=−1,
解得 m=1,n=2.
∴x+y6=1,x−y10=2.
解得 x=13,y=−7.
∴ 原方程组的解为 x=13,y=−7.
（2） 令 m=56x，n=13y，
原方程组可化为 a1m+b1n=c1,a2m+b2n=c2.
依题意，得 m=3,n=2.
∴56x=3,13y=2.
解得 x=185,y=6.
25. （1） 110∘
【解析】过 P 作 PE∥AB，
∵ AB∥CD，
∴ PE∥AB∥CD，
∴ ∠APE=180∘−∠A=50∘，∠CPE=180∘−∠C=60∘，
∴ ∠APC=50∘+60∘=110∘．
（2） （1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图 3，过 P 作 PE∥AD 交 CD 于 E，
∵ AD∥BC，
∴ AD∥PE∥BC，
∴ ∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴ ∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（2）∠CPD=∠β−∠α 或 ∠CPD=∠α−∠β．
【解析】（2）当 P 在 BA 延长线时，∠CPD=∠β−∠α；
理由：如图 4，过 P 作 PE∥AD 交 CN 于 E，
∵ AD∥BC，
∴ AD∥PE∥BC，
∴ ∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴ ∠CPD=∠CPE−∠DPE=∠β−∠α；
当 P 在 BO 之间时，∠CPD=∠α−∠β．
理由：如图 5，过 P 作 PE∥AD 交 CO 于 E，
∵ AD∥BC，
∴ AD∥PE∥BC，
∴ ∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴ ∠CPD=∠DPE−∠CPE=∠α−∠β．
26. x2+1y2+1=x2y2+x2+y2+1=xy2+x+y2−2xy+1．
把 x+y=4，xy=1 整体代入得 12+42−2×1+1=16，
即 x2+1y2+1=16．
27. 由 ① 得，
x<4.
由 ② 得，
x≥1.∴
原不等式组的解集为
1≤x<4.∴
原不等式组的所有整数解为 1，2，3．
28. p=1；q=0；y=6．
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