2021年北京平谷区平谷小香玉学校八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京平谷区平谷小香玉学校八年级上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若代数式 x−1 有意义，则 x 的取值范围是
A. x>1B. x≥1C. x≠1D. x≤1

2. 在 719，−49，π，2.016016016⋯，39 这五个数中，无理数有 个．
A. 1B. 2C. 3D. 4

3. 如图，Rt△ACB 中，∠ACB=90∘，∠A=15∘，AB 的垂直平分线与 AC 交于点 D，与 AB 交于点 E，连接 BD．若 AD=14，则 BC 的长为
A. 4B. 5C. 6D. 7

4. 如图 1，已知三角形纸片 ABC，AB=AC，∠C=65∘．将其折叠，如图 2，使点 A 与点 B 重合，折痕为 ED，点 E，D 分别在 AB，AC 上，那么 ∠DBC 的度数为
A. 10∘B. 15∘C. 20∘D. 25∘

5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

6. 14 的平方根是
A. 12B. −12C. ±12D. 116

7. 下列不是必然事件的是
A. 角平分线上的点到角两边的距离相等
B. 三角形任意两边之和大于第三边
C. 面积相等的两个三角形全等
D. 三角形内心到三边距离相等

8. 某村庄在进行如何避免“新型冠状病毒”感染的宣传活动中，将以下几种注意事项分别写在条幅上进行张贴，内容分别是：① 注意防寒保暖、室内通风和个人卫生；②加强体育锻炼；③保持清淡饮食；④避免到人群密集场所活动；⑤用肥皂和清水或含有酒精的洗手液洗手；⑥出门戴口罩．小明从以上 6 条宣传条幅中随机抽取一条进行张贴，恰好抽到⑤或⑥的概率是
A. 16B. 14C. 13D. 12

9. 化简 a2a−1−1−2a1−a 的结果为
A. a+1a−1B. a−1C. aD. 1

10. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形 A，B，C 的面积依次为 2，4，3，则正方形 D 的面积为
A. 9B. 8C. 27D. 45

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. 当 x 时，分式 x2−1x+1 的值为零．

13. 计算 42+8÷32 的结果是 ．

14. 如图所示，已知 ∠1=∠2，请你添加一个条件，使 △ABC≌△BAD，你的添加条件是 （填一个即可）．

15. 计算：−x3y32= ．

16. 七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图①所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图②所示），则该凸六边形的周长是 cm．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 计算：∣2−5∣−38+−12−2．

18. 中秋节期间，某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成三个面积相等的扇形，三个扇形区域里分别标有“10 元”，“20 元”，“30 元”的字样（如图）．规定：同一天内，顾客在本商场每消费满 100 元，就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券．某顾客当天消费 240 元，转了两次转盘．
（1）该顾客最多可得多少元的购物券；
（2）用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于 40 元的概率．

19. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥EF∥DC，找出图中所有与 ∠CGF 相等的角并证明．

20. 计算：62−3×3827−−15+∣43−4∣．

21. 解方程：xx−1=4x2−1+1．

22. （1）（1）问题发现
如图1，△ACB 和 △DCE 均为等边三角形，点 A 、 D 、 E 在同一直线上，连接 BE .
填空：
（1）∠AEB 的度数为 ；
（2）线段 BE 和 AD 之间的数量关系是 ．
（2）拓展探究
如图2，△ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘ ， 点 A 、 D 、 E 在同一直线上，CM 为 △DCE 中 DE 边上的高，连接 BE．请判断 ∠AEB 的度数及线段 CM 、 AE 、 BE 之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形 ABCD 中，CD=2．若点 P 满足 PD=1 ，且 ∠BPD=90∘，请直接写出点 A 到 BP 的距离．

23. 计算：48−613÷3×12．

24. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，△ABC 的高 BH，CM 交于点 P．
（1）求证：PB=PC．
（2）若 PB=5，PH=3，求 AB．

25. 新冠肺炎疫情期间，工厂需加工一种口罩 250 万个，在加工了 100 万个后，采用了新技术，使每天比原来多加工 2.5 万个，结果提前了 3 天完成任务，求工厂原来每天加工多少万个口罩?

26. 如图，在 △ABC 中，∠C=60∘，AB=14，AC=10．求 BC 的长．

27. 等边 △ABC 的边长为 4，D 是射线 BC 上任一点，线段 AD 绕点 D 顺时针旋转 60∘ 得到线段 DE，连接 CE．
（1）当点 D 是 BC 的中点时，如图1，判断线段 BD 与 CE 的数量关系，请直接写出结论： （不必证明）；
（2）当点 D 是 BC 边上任一点时，如图2，请用等式表示线段 AB，CE，CD 之间的数量关系，并证明；
（3）当点 D 是 BC 延长线上一点且 CD=1 时，如图3，求线段 CE 的长．
答案
第一部分
1. B【解析】由题意得，x−1≥0，解得，x≥1．
2. B【解析】π，39 是无理数．
3. D【解析】∵DE 是 AB 的垂直平分线，
∴AD=BD=14，
∴∠A=∠ABD=15∘，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=15∘+15∘=30∘，
在 Rt△BCD 中，BC=12BD=12×14=7．
4. B【解析】∵AB=AC，∠C=65∘，
∴∠ABC=∠C=65∘，
∴∠A=180∘−∠ABC−∠C=50∘，
由折叠的性质可得：AD=BD，
∴∠ABD=∠A=50∘，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=15∘．
5. A
【解析】A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
6. C
7. C
8. C【解析】从中随机抽取一条，共 6 种等可能的结果，恰好抽到⑤或⑥的结果数为 2，
所以恰好抽到⑤或⑥的概率是 26=13．
9. B
10. A
【解析】设中间正方形为 M，
∵ 正方形 A，B，C 的面积依次为 2，4，3，
∴ 由勾股定理得 A，B 的面积和等于 M 的面积，M，C 的面积和等于 D 的面积，
故 D 的面积为 2+4+3=9．
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. x=1
13. 2
14. BC=AD 或 ∠C=∠D 或 ∠ABD=∠BAC
15. x29y6；
16. 322+16
第三部分
17. 原式=5−2−2+4=5.
18. （1） 该顾客最多可得 60 元的购物券．
（2） 画树状图为：
共有 9 种等可能的结果；
该顾客所获购物券金额不低于 40 元的结果数为 6，
所以该顾客所获购物券金额不低于 40 元的概率为 69=23．
19. 因为 AB∥EF，（已知）
所以 ∠CGF=∠CAB （两直线平行，同位角相等）．
因为 AB∥CD，
所以 ∠DCA=∠CAB （两直线平行，内错角相等），
所以 ∠CGF=∠CAB=∠DCG （等量代换）．
又因为 ∠AGE 与 ∠CGF 时对顶角，
所以 ∠AGE=∠CGF （对顶角相等）．
20. 原式=62−3×23+15+43−4=42−3+15+43−4=8−43+15+43−4=415.
21.
xx−1=4x2−1+1.
方程两边都乘 x−1x+1，得
xx+1=4+x−1x+1.
解得
x=3.
检验：当 x=3 时，x−1x+1=8≠0．
故 x=3 是原方程的解．
22. （1） ① 60∘ ；② AD=BE
（2） ∵△ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCB=∠DCE−∠DCB，即 ∠ACD=∠BCE .
∴△ACD≌△BCE .
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135∘．
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135∘−45∘=90∘．
在等腰直角三角形 DCE 中，CM 为斜边 DE 上的高，
∴CM=DM=ME .
∵DE=2CM ，
∴AE=DE+AD=2CM+BE .
（3） PD=1，∠BPD=90∘，
∴BP 是以点 D 为圆心、以 1 为半径的 OD 的切线，点 P 为切点．
第一种情况：如图①，过点 A 作 AP 的垂线，交 BP 于点 Pʹ，
可证 △APD≌△APʹB，PD=PʹB=1，CD=2 .
∴BD=2，BP=3 .
∴AM=12PPʹ=12PB−BPʹ=3−12 .
第二种情况如图②，
可得 AM=12PPʹ=12PB+BPʹ=3+12
23. 48−613÷3×12=43−23÷3×12=23÷3×12=2×12=2.
24. （1） ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵BH，CM 为 △ABC 的高，
∴∠BMC=∠CHB=90∘．
∴∠ABC+∠BCM=90∘，∠ACB+∠CBH=90∘．
∴∠BCM=∠CBH．
∴PB=PC．
（2） ∵PB=PC，PB=5，
∴PC=5．
∵PH=3，∠CHB=90∘，
∴CH=4．
设 AB=x，则 AH=x−4．
在 Rt△ABH 中，
∵AH2+BH2=AB2，
∴x−42+5+32=x2．
∴x=10，即 AB=10．
25. 设原来每天加工 x 万个口罩，采用了新技术后，每天加工 x+2.5 万个口罩，
根据题意得：
100x+150x+2.5+3=250x.
整理得：
x2+2.5x−125=0.
解得：
x1=10,x2=−12.5.
经检验，x1=10，x2=−12.5 均是原方程的解，
但 x1=−12.5 不符合题意，舍去．
答：该厂原来每天加工 10 万个口罩．
26. 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
∴∠ADC=∠ADB=90∘，
又 ∵∠C=60∘，
∴∠CAD=90∘−∠C=30∘，
∴CD=12AC=5．
在 Rt△ACD 中，AD=AC2−CD2=102−52=53．
在 Rt△ABD 中，BD=AB2−AD2=11．
∴BC=BD+CD=11+5=16．
27. （1） BD=CE
（2） 线段 AB，CE，CD 之间的数量关系为：AB=CE+CD．
连接 AE .
∵AD=DE，∠1=60∘ （已知）
∴△ADE 是等边三角形（有一个角是 60∘ 的等腰三角形是等边三角形）
∴AD=AE，∠4+∠3=60∘ （等边三角形的三边相等，三个角都是 60∘ ）.
∵△ABC 是等边三角形（已知）
∴AB=AC=BC，∠2+∠3=60∘ （等边三角形的三边相等，三个角都是 60∘ ）
∴∠2=∠4 （等量减等量，差相等）.
在 △ABD 和 △ACE 中
AB=AC∠2=∠4AD=AE （已证）
∴△ABD≌△ACE SAS
∴BD=CE （全等三角形的对应边相等）.
∵AB=BC=BD+CD （已知）
∴AB=CE+CD （等量代换） .
（3） 连接 AE .
由（2），同理可证得：
△ADE 是等边三角形，
∴∠CAE=60∘+∠3 .
∵∠BAD=60∘+∠3 ，
∴∠BAD=∠CAE （等量加等量，和相等）.
在 △ABD 和 △ACE 中 AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE （已证）
∴△ABD≌△ACE SAS
∴CE=BD ，
∵BD=BC+CD=5 ，
∴CE=5 .
证法（二）
在 BA （延长线）上截取 BF=BD，连接 FD .
证法（三）
在 AC （延长线）上截取 CF=CD，连接 FD .
证法（四）
在 BC 的延长线上截取 CF=BD，连接 FE .