2021年北京顺义区杨镇二中八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京顺义区杨镇二中八年级上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 若代数式 xx−4 有意义，则实数 x 的取值范围是
A. x=0B. x=4C. x≠0D. x≠4

2. 实数 9 的平方根是
A. 3B. ±3C. ±3D. 81

3. 如果把 2y2x−3y 中的 x 和 y 都扩大 5 倍，那么分式的值
A. 扩大 5 倍B. 不变C. 缩小 5 倍D. 扩大 4 倍

4. 如图，将 △ABC 放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为 1），点 A，B，C 恰好在网格图中的格点上，那么 △ABC 中 BC 边上的高是
A. 102B. 104C. 105D. 5

5. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线 AB 按箭头方向向右对折，对折后的纸片沿虚线 CD 向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是
A. B.
C. D.

6. 下列事件中，为必然事件的是
A. 明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起
B. 成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀
C. 从能被 8 整除的数中，随机抽取一个数能被 2 整除
D. 从 10 本图书中随机抽取一本是小说

7. 下面有 4 个汽车标致图案，其中是轴对称图形的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

8. 若三角形的三边长分别是 a，b，c，且 a−252+a−b−1+∣c−4∣=0，则这个三角形的周长是
A. 25+5B. 45−3C. 45+5D. 45+3

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

10. 一个不透明的盒子中装有 6 张生肖邮票，其中有 3 张“猴票”，2 张“鸡票”和 1 张“狗票”，这些邮票除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张邮票，恰好是“鸡票”的可能性为 ．

11. 已知等腰三角形的两条边长分别为 2 和 5，则它的周长为 ．

12. 小明编写了一个如下程序：输入 x→x2→ 立方根 → 倒数 → 算术平方根 →12，则 x 为 ．

13. 如图，等边 △ABC 的边长为 6，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AC 边上的中点．如果点 P 是 AD 上的动点，那么 EP+CP 的最小值为 ．

14. 如图，OP=1，过点 P 作 PP1⊥OP 且 PP1=1，根据勾股定理，得 OP1=2；再过点 P1 作 P1P2⊥OP1 且 P1P2=1，得 OP2=3；又过点 P2 作 P2P3⊥OP2 且 P2P3=1，得 OP3=2；⋯ 依此继续，得 OP2018= ，OPn= （n 为自然数，且 n>0）．

15. 227 （填“是”或“不是”）无理数．

16. 在 8，18 和 48 中，与 3 是同类二次根式的 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：12−π−30−3−8+3−2．

18. 如图，点 A，F，C，D 在同一条直线上，AB∥DE，∠B=∠E，AF=DC．求证：BC=EF．

19. 解分式方程：xx+1−1=2x3x+3．

20. 李老师在黑板上写了一道题目，计算：x−3x2−1−31−x．小宇做得最快，立刻拿给李老师看，李老师看完摇了摇头，让小宇回去认真检查．请你仔细阅读小宇的计算过程，帮助小宇改正错误．
x−3x2−1−31−x=x−3x+1x−1−3x−1⋯⋯A=x−3x+1x−1−3x+1x+1x−1⋯⋯B=x−3−3x+1⋯⋯C=−2x−6.⋯⋯D
（1）上述计算过程中，哪一步开始出现错误? ；（用字母表示）
（2）从 B 到 C 是否正确? ；若不正确，错误的原因是 ；
（3）请你写出此题完整正确的解答过程．

21. 如图：在 △ABC 中，作 AB 边的垂直平分线，交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，连接 AF．
（1）依题意画出图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）你的作图依据是 ．
（3）若 AC=3，BC=5，则 △ACF 的周长是 ．

22. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于 D 点，DE⊥AB 于点 E，当 AC=6，BC=8 时，求 DE 的长．

23. 如图 1，△ABC 和 △DEC 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，点 E 在线段 AC 上，连接 AD，BE 的延长线交 AD 于点 F．
（1）猜想线段 BE，AD 的数量关系和位置关系： （不必证明）；
（2）当点 E 为 △ABC 内部一点时，使点 D 和点 E 分别在 AC 的两侧，其它条件不变．
①请你在图 2 中补全图形；
②（1）中结论成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

24. 阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将 a+2b 化简，若你能找到两个数 m 和 n，使 m2+n2=a 且 mn=b，则 a+2b 可变为 m2+n2+2mn，即变成 m+n2，从而使得 a+2b 化简．
例如：∵5+26=3+2+26=32+22+26=3+22，
∴5+26=3+22=3+2．
请你仿照上例解下面问题：
（1）4+23；
（2）7−210．

25. 如图 1，△ABC 中，AD 是 ∠BAC 的平分线，若 AB=AC+CD，那么 ∠ACB 与 ∠ABC 有怎样的数量关系呢?
（1）通过观察、实验提出猜想：∠ACB 与 ∠ABC 的数量关系，用等式表示为： ．
（2）小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法 1：如图 2，延长 AC 到 F，使 CF=CD，连接 DF．通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到 ∠ACB 与 ∠ABC 的数量关系．
想法 2：在 AB 上取一点 E，使 AE=AC，连接 ED，通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到 ∠ACB 与 ∠ABC 的数量关系．
请你参考上面的想法，帮助小明证明猜想中 ∠ACB 与 ∠ABC 的数量关系（一种方法即可）．

26. 计算：62−3×3827−−15+∣43−4∣．

27. 11−x+11+x+21+x2+41+x4 ．

28. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1200 件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天；
信息二：乙工厂每天加工产品的数量是甲工厂每天加工产品数量的 1.5 倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品?
答案
第一部分
1. D【解析】由代数式有意义可知：x−4≠0，
∴x≠4．
2. B【解析】∵±32=9，
∴ 实数 9 的平方根是 ±3．
3. B【解析】分式 2y2x−3y 中的 x 和 y 都扩大 5 倍，得 2y×52x×5−3y×5=2y2x−3y，那么这个分式的值不变．
4. A【解析】由勾股定理得：
AC=12+22=5，AB=12+22=5，BC=12+32=10，
∵52+52=102，
即 AB2+AC2=BC2，
∴△ABC 是直角三角形，
设 BC 边上的高为 h，
则 S△ABC=12AB⋅AC=12h⋅BC，
∴h=AB⋅ACBC=5×510=102．
5. D
【解析】∵ 第三个图形是三角形，
∴ 将第三个图形展开，可得：
即可排除答案A，
∵ 再展开可知两个短边正对着，
∴ 选择答案D，排除B与C．
6. C【解析】A选项：太阳东升西落，但明天早上不一定能看到太阳，可能会阴天，故是随机事件，A错误．
B选项：成绩一直优秀的小华后天测试成绩不一定也优秀，是随机事件，故B错误．
C选项：能被 8 整除的数昰 8 的倍数，故一定是偶数，一定能被 2 整除，是必然事件，故C正确．
D选项：10 本书中随机抽取一本书是小说是随机事件，故D错误．
故选C．
7. C
8. D
第二部分
9. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
10. 13
【解析】恰好是“鸡票”的可能性为：26=13．
11. 12
【解析】当 2 为腰时，三边为 2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当 5 为腰时，三边为 5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+2=12．
12. ±8
【解析】反向递推：12 的平方 =14，14 的倒数为 4，4 的立方为 64，64 的平方根为 ±8．
13. 33
【解析】如图所示，连接 BP，
∵ 等边 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，
∴AD 是 BC 边上的高线，即 AD 垂直平分 BC，
∴PB=PC．
当 B，P，E 三点共线时，EP+CP=EP+BP=BE，此时 EP+CP 最小．
∵ 等边 △ABC 中，E 是 AC 边的中点，
在 Rt△ABE 中，BE=AB2−AE2=62−32=33，
∴EP+CP 的最小值为 33．
14. 2019，n+1
【解析】由题可知：OP1=12+12=2，
OP2=12+22=3，
OP3=12+32=4，
OP4=12+42=5，
⋯⋯
∴OP2018=12+20182=2019，
OPn=12+n2=n+1．
15. 不是
16. 48
第三部分
17. 原式=23−1+2+2−3=3+3.
18. ∵ AB∥DE，
∴ ∠A=∠D，
∵ AF=CD，
∴ AC=DF，
在 △ABC 和 △DEF 中，
∠B=∠E,∠A=∠D,AC=DF,
∴ △ABC≌△DEFAAS，
∴ BC=EF．
19. 去分母得，
3x−3x+1=2x,
解得
x=−1.5,
此时
x+1≠0,3x+3≠0,
经检验，x=−1.5 是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为 x=−1.5．
20. （1） A
【解析】∵x−3x2−1−31−x=x−3x+1x−1+3x−1，
∴ 从 A 开始出现错误．
（2） 否；根据分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，小宇把分母去掉了
【解析】不正确，不能去分母．
（3） 此题完整正确的解答过程如下：
x−3x2−1−31−x=x−3x+1x−1+3x−1=x−3x+1x−1+3x+1x+1x−1=x−3+3x+3x+1x−1=4xx+1x−1.
21. （1） 如图：
（2） 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
（3） 8
【解析】∵EF 是线段 AB 的垂直平分线，
∴AF=BF，
∴△ACF的周长=AC+CF+AF=AC+CF+BF=AC+BF=3+5=8.
22. ∵∠C=90∘，DE⊥AB 于点 E，
∴∠ACD=∠AED=90∘，
∵AD 平分 ∠BAC 交 BC 于 D 点，
∴∠CAD=∠EAD，
在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，
∠ACD=∠AED,∠CAD=∠EAD,AD=AD,
∴△ACD≌△AEDAAS，
∴AE=AC=6，DE=CD，
∵BC=8，由勾股定理得，
∴AB2=AC2+BC2=62+82=100，
∴AB=10，
∴BE=AB−AE=4，
设 DE=CD=x，则 BD=8−x，
在 Rt△DEB 中，由勾股定理得 x2+42=8−x2，
解得 x=3，
∴DE=3．
23. （1） BE=AD；BE⊥AD
【解析】∵△ABC 和 △DEC 都是等腰直角三角形，且 ∠ACB=∠DCE=90∘，
∴BC=AC，CE=CD，
在 △BCE 和 △ACD 中，
BC=AC,∠BCE=∠ACD,CE=CD,
∴△BCE≌△ACDSAS，
∴BE=AD，∠EBC=∠DAC，∠BEC=∠ADC，
∵∠DAC+∠ADC=90∘，
∴∠EBC+∠ADC=90∘，
∴BE⊥AD．
（2） ①如图．
②（1）中结论仍然成立．
证明：
∵△ABC 和 △DEC 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，
∴BC=AC，EC=DC，
∵∠ACB=∠DCE=90∘，
∴∠ACB−∠ACE=∠DCE−∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在 △BCE 和 △ACD 中，
BC=AC,∠BCE=∠ACD,CE=CD,
∴△BCE≌△ACDSAS，
∴BE=AD，∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠AFB=∠ACB=90∘，
∴BE⊥AD．
24. （1） ∵4+23=1+3+23=12+32+23=1+32，
∴4+23=1+32=1+3；
（2） ∵7−210=5+2−210=52+22−210=5−22，
∴7−210=5−22=5−2．
25. （1） ∠ACB=2∠ABC
（2） 想法 1：
∵AD 是 ∠BAC 的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AF=AC+CF，且 CD=CF，
∴AF=AC+CD，
又 ∵AB=AC+CD，
∴AB=AF，
又 ∵AD=AD，
在 △ABD 和 △AFD 中，
AD=AD,∠BAD=∠CAD,AB=AF,
∴△ABD≌△AFDSAS，
∴∠B=∠F，
∵CD=CF，
∴∠F=∠CDF，
又 ∵∠ACB=∠F+∠CDF，
∴∠ACB=2∠F，
∴∠ACB=2∠B．
想法 2：
∵AD 是 ∠BAC 的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
又 ∵AC=AE，AD=AD，
在 △AED 和 △ACD 中，
AD=AD,∠BAD=∠CAD,AE=AC,
∴△AED≌△ACDSAS，
∴ED=CD，∠C=∠AED，
又 ∵AB=AC+CD，AB=AE+BE，AE=AC，
∴CD=BE，
∴DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
又 ∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴∠AED=2∠B，
又 ∵∠C=∠AED，
∴∠C=2∠B．
即 ∠ACB=2∠ABC．
26. 原式=62−3×23+15+43−4=42−3+15+43−4=8−43+15+43−4=415.
27. 81−x8
【解析】题可采用逐步通分的方法，即先算 11−x+11+x ，用其结果再与 21+x2 相加，依次类推．
28. 设甲工厂每天加工 x 件新产品，则乙工厂每天加工 1.5x 件新产品．依题意，得
1200x−12001.5x=10.
解得
x=40.
经检验，x=40 是所列方程的解，且符合实际问题的意义．
当 x=40 时，1.5x=60．
答：甲、乙两个工厂每天分别能加工新产品 40 件、 60 件．