2021年北京朝阳区北京测试学校八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区北京测试学校八年级上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共11小题；共55分）
1. 京剧和民间剪纸是我国的两大国粹，这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术形式之一．下列四个京剧脸谱的剪纸中，是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 使分式 1x−3 有意义的 x 的取值范围是
A. x≠3B. x>3C. x<3D. x≥3

3. 如图，如果 CD=CE，那么 ∠CED 等于
A. 75∘B. 70∘C. 65∘D. 50∘

4. 若点 A1,b 和点 Ba,−2 关于 x 轴对称，则 a+b 的值是
A. −3B. −1C. 1D. 3

5. 如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面 5 米处折断，旗杆顶部距离旗杆底部 12 米，则旗杆折断前的高度是
A. 5 米B. 12 米C. 17 米D. 18 米

6. 如图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，则 x 的值是
A. 30∘B. 45∘C. 50∘D. 85∘

7. 妫河生态走廊西段的骑游线路环湖而建，如图是利用平面直角坐标系画出的沿途景点的大致分布示意图，它分别以正东、正北方向为 x 轴、 y 轴的正方向，如果表示枫林园的点的坐标为 6,1，表示伏象园的点的坐标为 1,−2，那么这个平面直角坐标系的原点所在位置是
A. 静心园B. 半山湖C. 雅荷园D. 远航码头

8. 某通讯公司的 4G 上网套餐每月上网费用 y（单位：元）与上网流量 x（单位：兆（M））的函数关系图象如图所示，则该公司用户月上网流量超过 500 兆后每兆流量的费用为
A. 1 元B. 0.59 元C. 0.3 元D. 0.29 元

9. 如图，OP 平分 ∠AOB，∠AOP=15∘，PC∥OA，PD⊥OA 于点 D，PC=6，那么 PD 等于
A. 3B. 6C. 8D. 10

10. 若实数 a=11 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是
A. B.
C. D.

11. 9 的平方根为
A. 3B. −3C. ±3D. ±3

二、填空题（共7小题；共35分）
12. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

13. 若直角三角形的两边长分别为 3 和 5，则第三边的长是 ．

14. 若正比例函数 y=mx 的函数值随 x 的增大而减少，则 m 的取值范围是 ．

15. 如图，AC=AD，请你添加一个适当的条件 ．使得 △ABC≌△ABD．（只需填一个答案即可）

16. 若实数 x，y 满足 x−2+y−32=0，则代数式 yx 的值是 ．

17. 如图，△ABC 中，AC=7，BC=4，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，那么 △BCE 的周长为 ．

18. 阅读下面材料：下面是“作角的平分线”的尺规作图过程．
尺规作图：
已知：∠AOB．
求作：射线 OC，使它平分 ∠AOB．
如图，作法如下：
（1）以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OA 于 E，交 OB 于 D；
（2）分别以点 D，E 为圆心，以大于 12DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点 C；
（3）作射线 OC．则射线 OC 就是所求作的射线．
请回答：该作图的依据是 ．

三、解答题（共11小题；共143分）
19. 计算：
（1）8+∣2−1∣−22+1；
（2）3+22−18÷3．

20. 如图，AB 与 CD 交于一点 E，AC∥BD，且 AC=BD，求证：CE=ED．

21. 已知一个一次函数的图象经过 2,−1，−1,5 和 m,1 三点．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求 m 的值；
（3）求出当 −2≤x<3 时，函数值 y 的取值范围．

22. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，CE⊥AB 于点 E．求证：∠BCE=∠BAD．

23. 王明和张伟是好朋友，王明打篮球时不慎将脚扭伤，张伟非常关心他，了解到王明的爸妈要出差几天，为让王明能每天准时到校，张伟决定和爷爷一起用小三轮车接送他．张伟家到学校的路程是 1 千米，到王明家的路程是 3 千米．张伟骑小三轮车的速度是他步行速度的 2 倍，接送王明要比他自己步行上学多用 30 分钟（张伟扶王明上车时间忽略不计），问张伟步行速度和骑小三轮车速度各是多少?

24. 如图，△ABC 中，∠ABC=90∘，BA=BC．过点 B 作直线 MN．
（1）画出线段 BC 关于直线 MN 的轴对称图形 BD；
（2）连接 AD，CD，如果 ∠NBC=25∘，求 ∠BAD 的度数．

25. 在平面直角坐标系中，直线 y=kx+4 与 y 轴交于点 A，与 x 轴负半轴交于点 B，OA=2OB．
（1）求点 A 、点 B 的坐标；
（2）求这个一次函数的表达式；
（3）线段 OA 上是否存在点 P 到点 A，B 的距离相等?若存在，利用尺规作图找到点 P（不写作法，保留作图痕迹）并且求出点 P 的坐标．若不存在，说明理由．

26. 先阅读下列材料：
∵11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，14×5=14−15，⋯，
∴11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+12015×2016=1−12+12−13+13−14+14−15+⋯+12015−12016=1−12016=20152016.
再解答下列问题：
（1）计算：11×2+12×3+13×4+⋯+1nn+1；
（2）解分式方程：1x−2+1x−2x−3+1x−3x−4=1；
（3）计算：2nn+2+2n+2n+4+2n+4n+6．

27. 如图，在 △ABC 中，AB=BC=CA=6 cm，点 D 在 AB 上的点且 BD=23AB，点 P 在边 BC 上以 2 cm/s 的速度由 B 点向 C 点运动，同时点 Q 在边 CA 上由 C 点向 A 点运动．
（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的相等，1 秒后 △DBP 与 △PCQ 是否全等?为什么?
（2）若点 Q 的运动速度为 3 cm/s，则点 Q 运动几秒后可得到等边三角形 PCQ?

28. （1）发现：如图 1，点 A 为线段 BC 外一动点，BC=a，AB=b．
填空：当点 A 位于 时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 ．（用含 a，b 的式子表示）
（2）应用：点 A 为线段 BC 外一动点，BC=3，AB=1，如图 2，分别以 AC，AB 为边作等边 △AEC 和等边 △ABD，连接 CD，BE．
①请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由；
②求出线段 BE 长的最大值；
（3）拓展：如图 3 所示，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标为 2,0，点 C 的坐标为 5,0，线段 BC 外的动点 A 满足 AB=2，分别以 AC，AB 为边作等腰 Rt△AEC 和等腰 Rt△ABD，若 AC=AE，∠EAC=90∘，AB=AD，∠BAD=90∘，请直接写出线段 BE 长的最大值．

29. 解分式方程：1x=x2−x．
答案
第一部分
1. C
2. A
3. B
4. D
5. D
6. C
7. B
8. D
9. A【解析】作 PE⊥OA 于 E，
因为 OP 平分 ∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
所以 PE=PD，
因为 OP 平分 ∠AOB，∠AOP=15∘,
所以 ∠AOB=30∘，
因为 PC∥OA，
所以 ∠ECP=∠BOA=30∘，
所以 PC=2PE=6．
所以 PD=3
10. C
11. C
第二部分
12. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
13. 4 或 34
14. m<0
15. BC=BD
16. 3
17. 11
【解析】因为 DE 是 AB 的垂直平分线，
所以 EA=EB，
则
△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=11.
18. 三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等
【解析】连接 EC，DC，
由作图可得 EO=DO，EC=DC，
∵ 在 △OEC 和 △ODC 中
EO=DO,EC=DC,CO=CO,
∴△OEC≌△ODC，
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC 平分 ∠AOB．
第三部分
19. （1） 8+∣2−1∣−22+1=22+2−1−2−2=22−3.
（2） 3+22−18÷3=3+26+2−6=5+6.
20. ∵AC∥BD，
∴∠CAE=∠DBE，
在 △ACE 和 △DBE 中，∠CAE=∠DBE,∠AEC=∠BED,AC=BD,
∴△ACE≌△BDE，
∴CE=DE．
21. （1） 设一次函数表达式为 y=kx+b，
∵ 一次函数的图象经过 2,−1，−1,5，
∴−1=2k+b,5=−k+b,
解得 k=−2,b=3,
∴ 一次函数表达式为 y=−2x+3．
（2） ∵ 一次函数 y=−2x+3 的图象经过 m,1，
∴1=−2m+3，
∴m=1．
（3） 当 x=−2 时，y=7，当 x=3 时，y=−3；
∵k=−2<0，
∴y 随 x 的增大而减小，
∴−322. ∵ AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，
∴ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=90∘，
∵ BE⊥EC，
∴ ∠BEC=90∘，
∴ ∠BCE+∠B=∠BAD+∠B，
∴ ∠BCE=∠BAD．
23. 设张伟步行的速度为 x 千米/时，则他骑小三轮车的速度为 2x 千米/时，
根据题意得
1x+12=72x,
解方程得
x=5,
经检验 x=5 是原方程的解且满足题意．
∴ 张伟步行的速度为 5 千米/时，则他骑小三轮车的速度为 10 千米/时．
24. （1） 画图如图 1，
（2） 如图 2，
由题意可知：BC=BD，∠NBC=∠NBD=25∘，
因为 AB=BC，
所以 AB=BD，
所以 ∠BAD=∠BDA，
因为 ∠ABD=∠ABC+∠DBN+∠NBC=140∘，
所以 ∠BAD=20∘．
25. （1） y=kx+4，令 x=0 得 y=4．
所以 A0,4．
所以 OA=4，
因为 OA=2OB，
所以 OB=2，
因为点 B 在 x 轴负半轴上，
所以 B−2,0．
（2） 把 B−2,0 代入 y=kx+4，k=2，
所以一次函数的表达式为 y=2x+4．
（3） 画图正确，
存在，理由：
设 OP=x，
因为 PM 垂直平分 AB，
所以 PA=PB=4−x，
在 Rt△BOP 中，由勾股定理得，BP2−OP2=OB2，
所以 x−42−x2=22，
所以 x=32，
所以点 P 的坐标 0,32
26. （1） 11×2+12×3+13×4+⋯+1nn+1=1−12+12−13+13−14+14−15+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1.
（2） 1x−2+1x−2x−3+1x−3x−4=1，
1x−2+1x−3−1x−2+1x−4−1x−3=1，
1x−4=1，
∴x−4=1，x=5，
经检验 x=5 是原方程的解．
（3） 2nn+2+2n+2n+4+2n+4n+6=1n−1n+2+1n+2−1n+4+1n+4−1n+6=1n−1n+6=6nn+6.
27. （1） 全等，理由：
由题意知 BP=2，CQ=2，
∵ BC=6．
∴ PC=4，
∵ BD=23AB，AB=6，
∴ BD=4，
∴ BP=CQ，PC=BD，
∵ AB=BC=CA，
∴ ∠B=∠C=60∘．
在 △DBP 和 △PCQ 中，
BD=PC,∠B=∠C,BP=CQ,
∴ △DBP≌△PCQ．
（2） 当点 Q 运动 x 秒后，可得到等边三角形 PCQ，
∴ PC=CQ．
由题意可知：PC=6−2x，CQ=3x，
∴ 6−2x=3x，
∴ x=65，
∴ 当点 Q 运动 65 秒后，可得到等边三角形 PCQ．
28. （1） CB 的延长线上；a+b
（2） 应用：①与 BE 相等的线段是 CD．
∵ 等边三角形 AEC 和等边三角形 ABD，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60∘，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠EAB，
在 △DAC 和 △BAE 中，
DA=BA,∠DAC=∠BAE,AB=AE,
∴△DAC≌△BAE，
∴BE=CD．
②线段 BE 长的最大值 4．
∵ 线段 BE 长的最大值就是求线段 CD 长的最大值且 △CDB 中 CD 长的最大值为 4，
∴ 线段 BE 长的最大值 4．
（3） 线段 BE 长的最大值为 3+22．
29. 两边乘以 x2−x，得 2−x=x2．
整理，得 x2+x−2=0．
解得 x1=1，x2=−2．
把 x1=1 代入 x2−x=1≠0，
把 x2=−2 代入 x2−x=−8≠0．
所以原方程的解是 x1=1，x2=−2．