2021年北京海淀区教师进修学校附属实验学校北校八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区教师进修学校附属实验学校北校八年级上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 2017 年 6 月北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 下列运算中，正确的是
A. a23=a5B. 3a2÷2a=aC. a2⋅a4=a6D. 2a2=2a2

3. 若一个多边形的每一个内角都是 140∘，则这个多边形是
A. 七边形B. 八边形C. 九边形D. 十边形

4. 下列因式分解错误的是
A. 3x2−6xy=3xx−2yB. x2−9y2=x−3yx+3y
C. 4x2+4x+1=2x+12D. x2−x−2=x+2x−1

5. 解分式方程 1x−1−2=31−x，去分母得
A. 1−2x−1=−3B. 1−2x−1=3
C. 1−2x−2=−3D. 1−2x+2=3

6. 满足下列哪种条件时，就能判定 △ABC≌△DEF
A. AB=DE，BC=EF，∠A=∠EB. AB=DE，BC=EF，∠C=∠F
C. ∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠DD. ∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E

7. 如图所示的 2×4 的正方形网格中，△ABC 的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与 △ABC 成轴对称的格点三角形一共有
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个

8. 下列等式从左到右变形正确的是
A. yx=y+1x+1B. yx=ayaxC. yx=a2ya2xD. yx=a2+1ya2+1x

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 分解因式 x3−4x= ．

10. 使式子 x−1x+2 有意义的 x 的取值范围是 ．

11. 已知 2x+y=10xy，则代数式 4x+xy+2y2x−4xy+y 的值为 ．

12. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ∘．

13. 五边形的内角和是 ∘．

14. 如图，大正方形的边长为 m，小正方形的边长为 n，若用 x，y 表示四个小长方形两边长（x>y），观察图案以下关系式正确的是 ．（填序号）
① xy=m2−n24；
② x+y=m；
③ x2−y2=m⋅n；
④ x2+y2=m2+n22；

15. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 的坐标为 2,0，若点 A 在第一象限内，且 AB=OB，∠A=60∘，则点 A 到 y 轴的距离为 ．

16. 长度为 20 厘米的木棍，截成三段，每段长度为整数厘米，请写出一种可以构成三角形的截法，此时三段长度分别为 ，能构成三角形的截法共有 种．（只考虑三段木棍的长度）

三、解答题（共10小题；共130分）
17. 已知 3×9m×27m=317+m，求 −m23÷m3⋅m2 的值．

18. 阅读下列计算过程，回答问题：
x2x+1−x+1=x2x+1−x+1 ⋯⋯①=x2x+1−x+12x+1 ⋯⋯②=x2−x2+2x+1x+1 ⋯⋯③=2x+1x+1.
以上过程有两处关键性错误，分别是 ，请写出此题的正确解答过程．

19. 解方程：2−xx−3=1−13−x．

20. 根据完全平方公式 a2±2ab+b2=a±b2 填空：
（1）x2+6x+9=x+ 2；
（2）x2−8x+ =x− 2；
（3）x2−10x+ =x− 2；
（4）x2+5x+ =x+ 2．

21. 已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF 是 CD 的垂直平分线，求证：∠B=∠E．

22. 如图，△ABC 中，∠B，∠C 的平分线交于点 D，过点 D 作 EF∥BC，与 AB 交于点 E，与 AC 交于点 F，已知 AB=6 cm，AC=4 cm，求 △AEF 的周长．

23. 列分式方程解应用题．
某校初二年级的甲、乙两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去某基地参加拓展活动，此基地距离该校 90 千米，甲班的甲车出发 10 分钟后，乙班的乙车才出发，为了比甲车早到 5 分钟，乙车的平均速度是甲车的平均速度的 1.2 倍，求乙车的平均速度．

24. 已知 x4+x3+x2+x+1=0，求 x100+x99+x98+x97+x96 的值．

25. 如图所示，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A，B 重合），另一直角边与 ∠CBM 的平分线 BF 相交于点 F．
（1）求证：∠ADE=∠FEM．
（2）如图（1），当点 E 在 AB 边的中点位置时，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系，并证明你的猜想．
（3）如图（2），当点 E 在 AB 边（除两端点）上的任意位置时，猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

26. 一块含 45∘ 的直角三角板 ABC，AB=AC，∠BAC=90∘，点 D 为射线 CB 上一点，且不与点 C，点 B 重合，连接 AD．过点 A 作线段 AD 的垂线 l，在直线 l 上，截取 AE=AD（点 E 与点 C 在直线 AD 的同侧），连接 CE．
（1）当点 D 在线段 CB 上时，如图 1，线段 CE 与 BD 的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）当点 D 在线段 CB 的延长线上时，如图 2．
①请将图形补充完整．
②（1）中的结论是否仍成立?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
答案
第一部分
1. D
2. C
3. C
4. D【解析】A．因式分解正确，故本选项不符合题意；
B．因式分解正确正确，故本选项不符合题意；
C．因式分解正确，故本选项不符合题意；
D．x2−x−2=x−2x+1 因式分解不正确，故本选项符合题意．
5. A
【解析】分式方程整理得：1x−1−2=−3x−1，
去分母得：1−2x−1=−3．
6. D
7. B
8. D【解析】A 、分子分母加减，分式的值改变，故A错误；
B 、当 a=0 时分式无意义，故B错误；
C 、当 a=0 时分式无意义，故C错误；
D 、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故D正确．
第二部分
9. xx+2x−2
10. x≠−2
11. 72
12. 40
13. 540
【解析】5−2⋅180∘=540∘．
14. ①②③④
【解析】由图得：x+y=m，x−y=n．
∵m2−n2=4xy，
∴xy=m2−n24，故①正确；
由图得 x+y=m，故②正确；
∵x2−y2=x+yx−y=m⋅n，故③正确；
∵m2+n22=x+y2+x−y22=x2+2xy+y2+x2−2xy+y22=x2+y2，故④正确．
15. 1
【解析】过点 A 向 y 轴作垂线，垂足为 C，
∵AB=OB，∠A=60∘，
∴∠AOB=60∘ 且 △AOB 为等边三角形，
∴∠AOC=∠BOC−∠AOB=90∘−60∘=30∘，
且 AO=OB，
又 ∵ 点 B 坐标为 2,0，
∴AO=2，
∴CA=12AO=12×2=1．
16. 2 厘米，9 厘米，9 厘米（答案不唯一，下述 8 种中的一种即可），8
【解析】设其中两端木棍的长度分别为 a，b，则第三段木棍长为 20−a−b，且 a，b 均为正整数，
根据三角形三边长的关系可知：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
则 a+b>20−a−b，a−b<20−a−b，b−a<20−a−b，
所以 a+b>10，a<10，b<10，
当 a=1 时，b≥10，不符合题意；
当 a=2 时，9≤b<10，
即 b=9，20−a−b=9，三段长度分别为：2 厘米，9 厘米，9 厘米；
当 a=3 时，8≤b<10，
即 b=8，20−a−b=9，三段长度分别为：3 厘米，8 厘米，9 厘米；
b=9，20−a−b=8，三段长度分别为 3 厘米，8 厘米，9 厘米；
当 a=4 时，7≤b<10，
即 b=7，20−a−b=9，三段长度分别为：4 厘米，7 厘米，9 厘米；
b=8，20−a−b=8，三段长度分别为：4 厘米，8 厘米，8 厘米；
b=9，20−a−b=7，三段长度分别为：4 厘米，7 厘米，9 厘米；
当 a=5 时，6≤b<10，
即 b=6，20−a−b=9，三段长度分别为：5 厘米，6 厘米，9 厘米；
b=7，20−a−b=8，三段长度分别为：5 厘米，7 厘米，8 厘米；
b=8，20−a−b=7，三段长度分别为 5 厘米，7 厘米，8 厘米；
b=9，20−a−b=6，三段长度分别为：5 厘米，6 厘米，9 厘米；
当 a=6 时，5≤b<10，
即 b=5，20−a−b=9，三段长度分别为：5 厘米，6 厘米，9 厘米；
b=6，20−a−b=8，三段长度分别为：6 厘米，6 厘米，8 厘米；
b=7，20−a−b=7，三段长度分别为：6 厘米，7 厘米，7 厘米；
b=8，20−a−b=6，三段长度分别为：6 厘米，6 厘米，8 厘米；
b=9，20−a−b=5，三段长度分别为：5 厘米，6 厘米，9 厘米；
当 a=7 时，4≤b<10，
即 b=4，20−a−b=9，三段长度分别为：4 厘米，7 厘米，9 厘米；
b=5，20−a−b=8，三段长度分别为：5 厘米，7 厘米，8 厘米；
b=6，20−a−b=7，三段长度分别为：6 厘米，7 厘米，7 厘米；
b=7，20−a−b=6，三段长度分别为：6 厘米，7 厘米，7 厘米；
b=8，20−a−b=5，三段长度分别为：5 厘米，7 厘米，8 厘米；
b=9，20−a−b=4，三段长度分别为：4 厘米，7 厘米，9 厘米；
当 a=8 时，3≤b<10，
即 b=3，20−a−b=9，三段长度分别为：3 厘米，8 厘米，9 厘米；
b=4，20−a−b=8，三段长度分别为：4 厘米，8 厘米，8 厘米；
b=5，20−a−b=7，三段长度分别为：5 厘米，7 厘米，8 厘米；
b=6，20−a−b=6，三段长度分别为：6 厘米，6 厘米，8 厘米；
b=7，20−a−b=5，三段长度分别为：5 厘米，7 厘米，8 厘米；
b=8，20−a−b=4，三段长度分别为：4 厘米，8 厘米，8 厘米；
b=9，20−a−b=3，三段长度分别为：3 厘米，8 厘米，9 厘米；
当 a=9 时，2≤b<10，
即 b=2，20−a−b=9，三段长度分别为：2 厘米，9 厘米，9 厘米；
b=3，20−a−b=8，三段长度分别为：3 厘米，8 厘米，9 厘米；
b=4，20−a−b=7，三段长度分别为：4 厘米，7 厘米，9 厘米；
b=5，20−a−b=6，三段长度分别为：5 厘米，6 厘米，9 厘米；
b=6，20−a−b=5，三段长度分别为：5 厘米，6 厘米，9 厘米；
b=7，20−a−b=4，三段长度分别为：4 厘米，7 厘米，9 厘米；
b=8，20−a−b=3，三段长度分别为：3 厘米，8 厘米，9 厘米；
b=9，20−a−b=2，三段长度分别为：2 厘米，9 厘米，9 厘米；
综上所述：可以组成三角形的三段木棍长分别为：① 2，9，9；② 3，8，9；③ 4，7，9；④ 4，8，8；⑤ 5，6，9；⑥ 5，7，8；⑦ 6，6，8；⑧ 6，7，7．
第三部分
17. ∵3×9m×27m=317+m，
∴3×32m×33m=317+m，
∴3×32m×33m=317+m，
∴31+2m+3m=317+m，
∴1+2m+3m=17+m，
解得 m=4．
∴−m23÷m3⋅m2=−m6÷m5=−m6−5=−m=−4．
18. ①，③
x2x+1−x+1=x2x+1−x−1=x2x+1−x−1x+1x+1=x2−x2+1x+1=1x+1.
19. 方程两边乘 x−3，得
2−x=x−3+1.
解得
x=2.
经检验，x=2 是原分式方程的解．
20. （1） 3
（2） 16；4
（3） 25；5
（4） 254；52
21. 连接 AC，AD．
∵AF⊥CD 且 F 是 CD 的中点，
∴ 可知 AF 是 CD 的垂直平分线．
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴AC=AD，
在 △ABC 和 △AED 中，
AB=AE,BC=ED,AC=AD,
∴△ABC≌△AEDSSS．
∴∠B=∠E．
22. 因为 BD 平分 ∠ABC，
所以 ∠EBD=∠DBC，
又因为 EF∥BC，
所以 ∠EDB=∠DBC，
所以 ∠EBD=∠EDB，
所以 EB=ED，
同理可得 FC=FD．
所以
C△AEF=AE+ED+DF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC,
又因为 AB=6 cm，AC=4 cm，
所以 C△AEF=6+4=10（cm）．
23. 设甲车的平均速度是 x 千米/时，则乙车的平均速度是 1.2x 千米/时，
根据题意，得
90x=901.2x+1560.
解得
x=60.
经检验，x=60 是原方程的解，且符合题意，
此时 1.2x=72．
答：乙车的平均速度是 72 千米/时．
24. 0
25. （1） ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠DAE=∠CBE=90∘，
∴∠ADE+∠AED=90∘．
又 ∵∠DEF=90∘，
∴∠AED+∠FEB=90∘．
∴∠ADE=∠FEB，
∴∠ADE=∠FEM，
∴ 原结论得证．
（2） ∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90∘，
∵N，E 分别为 AD，AB 中点，
∴AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，
∴DN=BE，AN=AE，
∵∠DEF=90∘，
∴∠AED+∠FEB=90∘，
又 ∵∠ADE+∠AED=90∘，
∴∠FEB=∠ADE，
又 ∵AN=AE，
∴∠ANE=∠AEN，
又 ∵∠A=90∘，
∴∠ANE=45∘，
∴∠DNE=180∘−∠ANE=135∘，
又 ∵∠CBM=90∘，BF 平分 ∠CBM，
∴∠CBF=45∘，∠EBF=135∘，
在 △DNE 和 △EBF 中，
∠ADE=∠FEB,DN=EB,∠DNE=∠EBF,
∴△DNE≌△EBFASA，
∴DE=EF．
（3） 连接 NE，在 DA 边上截取 DN=EB，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，DN=EB，
∴AN=AE，
∴△AEN 为等腰直角三角形，
∴∠ANE=45∘，
∴∠DNE=180∘−45∘=135∘，
∵BF 平分 ∠CBM，AN=AE，
∴∠EBF=90∘+45∘=135∘，
∴∠DNE=∠EBF，
∴∠NDE+∠DEA=90∘，∠BEF+∠DEA=90∘，
∴∠NDE=∠BEF，
在 △DNE 和 △EBF 中，
∠ADE=∠FEB,DN=EB,∠DNE=∠EBF,
∴△DNE≌△EBFASA，
∴DE=EF．
26. （1） CE=BD；CE⊥BD
（2） ①
②仍成立．
证明：∵AD⊥AE，
∴∠DAE=90∘，
∵∠BAC=90∘，
∴∠DAE−∠1=∠BAC−∠1，
即 ∠2=∠3，
∵AB=AC，AE=AD，
∴△ADB≌△AEC，
∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，
∵∠ABC=∠ACB=45∘，
∴∠ACE=∠ABD=135∘，
∴∠DCE=∠ACE−∠ACB=90∘，
∴CE⊥BD．