七上数学知识点总结

第一章 有理数
1.1　正数和负数
1. 正数、负数和０的认识
(1)像７，0.9，８，+8448这样大于０的数，叫做正数。
(2)像-３,-14,-155这样在正数前面加上符号“－”(负)的数,叫做负数。
(3)０既不是正数，也不是负数，它是正、负数的分界.０℃是一个确定的温度，海拔０ｍ表示海平面的平均高度，０的意义已不仅表示“没有”.
2．具有相反意义的量
(1)如果一个问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数分别表示它们.
(2)体重减少５kg还可以表示成“体重增加-5kg”.
(3)商品进出口总额增长-5%还可以表示成“商品进出口总额减少5%”.
3.基础巩固
（1）如果Ａ地高于海平面152ｍ时记作+152ｍ，那么Ｂ地低于海平面23ｍ记作 。
（2）下列各数中，-3.1，12，0，10.58，-9，+1，-7%
正数是 ,负数是 ，正分数是 。
1.2.1有理数
1.有理数的概念
(１)正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数.
(２)整数和分数统称为有理数.
正整数０
负整数
(３)我们把可以化成分数的小数也看成分数.
整数
2.有理数的分类
　
（1） 按定义分类:有理数
正分数
负分数
分数

正整数

正分数

正有理数

0

负有理数



负整数

负分数
（2）按性质符号分类:有理数


注意:
(１)有理数的分类要做到不重不漏，两种分类不能互相交叉.
(２)正整数含义，其一是正数，其二是整数;负分数含义,其一是负数,其二是分数.
3. 基础巩固
下列各数中:
５, 0.5,０,-3.5, -12, 34, 10%,-72.
整数 ; 分数 ;
负分数 ; 非负有理数 .
1.2.2　数轴
１.数轴的认识
（1）在数学中可以用一条直线上的点表示 任意有理数，这条直线叫做数轴.
（2）数轴的三要素是原点，正方向，单位长度.
2.有理数与数轴上的点的关系
一般地,设ａ是一个正数,则数轴上表示数ａ的点在原点的侧与原点的距离是　　　a个单位长度,表示数－ａ的点在原点的左侧与原点的距离是a个单位长度.
3.基础巩固
如图，写出数轴上点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ表示的数.


A点 ，B点 ，C点 ，D点 .
1.2.3　相反数
１.相反数的概念
（1）如果ｂ是一个正数，数轴上与原点的距离等于ｂ的点有一个，这些点表示的数是负数，这两个点关于原点对称.
（2）像３与－３，５与－５这样只有符号不同的两个数叫做互为相反数.互为相反数的两个数分别在原点两侧，它们到原点的距离相等.(特别地：０的相反数是０.)
２.求一个数的相反数
ａ的相反数是-a(ａ可以是正数、０、负数).当ａ是正数时,-ａ是负数；当ａ是０时，-ａ＝０；当ａ是负数时，-ａ是正数.
３.多重符号的化简
一个正数前面有偶数个“－”号时，结果为正，一个正数前面有奇数个“－”号时，结果为负.
4.基础巩固
（1）一个数ａ的相反数是５，则ａ等于 .
（2）化简下列各数:+(-０.５)= ；-(-２０)= .
1.2.4　绝对值
１.绝对值
(１)在数轴上，表示数ａ的点与原点的距离叫做这个数的绝对值记作：a,因为距离不能是负的,所以a≥０.
（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；０的绝对值是0.
２.求一个数的绝对值
求数ａ的绝对值时，先判断ａ是正数、负数，还是0.再根据绝对值的定义去掉绝对值符号.如果ａ>０，那么a＝a；如果ａ＝０,那么a＝0；如果ａ<０,那么a＝-a.
３.易错点
（1）当a＝ａ，ａ是非负数；当a＝-ａ，ａ是非正数.
（2）一个数的绝对值是它本身，这个数是非负数，一个数的绝对值是它的相反数，这个数是非正数.
4.有理数的大小比较
（1）利用数轴比较有理数的大小
数轴上，左边的数总小于右边的数.
(2)利用性质进行有理数大小比较
正数大于０，０大于负数，正数大于负数.
（3）利用绝对值比较有理数的大小
①两个负数绝对值大的反而小　　　　.
②异号两数比较大小,要考虑它们的符号，同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值.
4.基础巩固
（1）-−15＝ .
（2）下列各式不正确的是(　　)
Ａ.−2＝２Ｂ.-−2＝－２Ｃ.−2＝-(-２)Ｄ.−2＝-｜２｜
（3）在０，１，-２，３这四个数中，最小的数是 .
（4）比较下列各对数的大小:①３ -４；②０ -５；③-1.5 -1.25；
④-15 -14.

1.3.1　有理数的加法
1.有理数加法法则
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.　
（3）一个数同０相加，仍得这个数.
注意:有理数加法运算，先定符号，再算绝对值.
2.运算律
（1）加法交换律
两个数相加，交换加数的位置和不变.
用式子表示为:ａ+ｂ=ｂ+ａ.
（2）.加法结合律
三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变.用式子表示为:(ａ+ｂ)+ｃ=ａ+(ｂ+ｃ).
（3）.常见类型：①互为相反数的两数结合；②同号的数结合；③同分母的分数结合；④都是小数的结合.
3.基础巩固
（1）某地一天早晨的温度是－６℃，中午较早晨温度上升了９℃，则中午的温度是 .　　　
（2）计算:①(-３)+(-７)= ；②３+(-６)= ；③(-４)+４= ；
④(-２)+10= ；⑤０+(-５)= .
（2） 计算：45 + 34 +（-14）+(-25)= .
1.3.2　有理数的减法
1.有理数减法法则
(1)法则:减去一个数,等于加这个数的相反数.
有理数减法法则也可以表示成ａ-ｂ＝ａ+（-b）.
2.两数之差符号的判定
一般地,较小的数减去较大的数,所得的差是负数.
若ａ>ｂ，则ａ-ｂ＞０，若ａ＝ｂ，则ａ-ｂ=０，若ａ<ｂ，则ａ-ｂ＜０.
3.基础巩固
（1）.已知甲、乙、丙三地的海拔分别为30ｍ，-15ｍ，-9ｍ，那么最高的地方比最低的地方高 ｍ.
（2）计算:①3-(-5)= ；②（-6）-(-５)= ; ③0-4= ;
④1.5-(-2.5)= ;⑤-(212)-312= .
1.3.3有理数的加减混合运算
１.有理数加减混合运算统一为加法运算
有理数加减混合运算，可以运用减法法则，将有理数加减混合运算统一为加法运算.
２.将有理数加减混合运算写成省略加号和括号的形式
一般地，在一个和式里，通常把一个加数的括号和它前面的加号省略不写，以简化书写形式.
３.数轴上两点间的距离
在数轴上，点Ａ、Ｂ分别表示数ａ、ｂ，则点Ａ、Ｂ之间的距离ＡＢ＝a−b=b−a
4.基础巩固
（1）把(-2)-(+3)-(-5)+(-4)+(+3)统一成几个有理数相加的形式为 ，然后省略加号和括号为 .
（2）在数轴上，点Ａ、Ｂ分别表示数-3、5，则点Ａ、Ｂ之间的距离
ＡＢ＝ .
（3）计算：(+9)-(+10)+(-2)-(-8)= .
1.4.1.1　有理数的乘法
１.有理数的乘法
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与０相乘，都得0　　　
（2）有理数相乘，可以先确定积的符号，再确定积的绝对值.
（3）要得到一个数的相反数，只要将它乘以-1.
２.倒数
（1）乘积是1的两个数互为倒数.互为倒数的两个数符号相同.
（2）非０整数ａ的倒数是1a;求一个小数或带分数的倒数时,先将小数或带分数化为真分数或假分数,再将分子、分母颠倒位置.
(3)０没有倒数.
3.基础巩固
（1）-0.5的倒数是 ；123的倒数是 .-（-3）的倒数是 .
（2）计算:①(+2)×(+3)＝ ；②-4×（-12）＝ ；　　　
③８×(-9)＝ ；④(-2021)×0＝ .
1.4.1.2　有理数的乘法运算律
１.几个不是０的数相乘
（1）多个有理数相乘，可以把它们按照从左到右的顺序依次进行.
(２)几个不是０的因数相乘，首先看负因数的个数判断积的　　　符号再确定积的绝对值.
(３)几个不是０的因数相乘，当负因数的个数是奇数时，积是负；当负因数的个数是偶数时，积是正.
２.几个数相乘有因数为０
如果其中有因数为０，那么积等于0.反之如果积为０，那么至少有一个因数是０.
３.有理数的乘法运算律
（1）乘法交换律:
两个数相乘，交换因数的位置，积不变.
即ab = ba.
(2)乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘积不变.
即(ab)c＝a(bc).
(3)分配律:
一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.
即ａ(b+c)＝ab + ac.
(4).乘法运算律中的几点说明
①有时一个问题中几个运算律同时进行.②分配律有时逆用.③分配律运用时,首先要确定积的符号,然后确定绝对值.
4.基础巩固
(1)计算(+1.2)×(-1.25)×０结果是 .
(2)用简便方法计算下列各题:
①（34 - 78 -512)×(-24)= . ②34×(-9)+34×(-28)+３4= .

1.4.2.1　有理数的除法
1.有理数除法法则
(1)法则１:
除以一个不等于０的数,等于乘这个数的倒数.
即ａ÷ｂ＝a × 1b (b≠0).
(2)法则２:
两数相除,同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
０除以任何一个不等于０的数，都得0.
０不能做除数.
注意:当除数是小数或带分数时，通常把小数或带分数化成真分数或假分数.
2.分数的化简
分数可以理解为分子除以分母，分数线就是除号.
3.有理数的乘除混合运算
因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算.乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.
4.基础巩固
（1）计算(-1)÷(-15)×115的结果是 .
（2）化简下列各分数:
① -1255= . ② 4−36 = . ③ −3 −12= . ④ −5−0.2= .
1.4.2.2有理数的加减乘除混合运算
１.有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算,如无括号指明先做什么运算,则按照“先乘除后加减”的顺序进行，如果有括号，则先算括号里面的.
2.基础巩固
计算(-15)÷(13 - 112 - 3)×６.
解:原式=(-15)÷(- 256 )×６(第一步)
=(－１５)÷(-256×6)(第二步)
=（-15）÷（-25）(第三步)
=- 35(第四步)
回答:(１)上面解题过程中有两个错误，第一处是第 步，
错误的原因是 ，第二处是第 步，
错误的原因是 .(２)正确的结果是 .
1.5.1.1　乘方
　　　　　　　　　　　　　　　　　
１.有理数的乘方
（1）一般地，ｎ个相同的因数ａ相乘，即ａ×ａ×…×ａ（n个a相乘），记作an,读作a的n次方.ａ叫做底数，ｎ叫做指数.求几个相同因数的积　　　的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
(2)一个数可以看作这个数本身的一次方.
２.幂的符号的确定
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.正数的任何次幂都是正数，０的任何正整数次幂都是0.
３.基础巩固
（1）计算：24= ；-24= ；（−2）4= ；-（−2）4= .
（2）（−56）4中底数是 ，指数是 .
（3）若ｎ为正整数，则（−1）2n＝ ,(−1)2n+1＝ .
1.5.1.2有理数的混合运算
１.有理数混合运算的顺序
⑴先算乘方，再算乘除，最后算加减.
⑵同级运算，按从左到右的顺序进行计算.
⑶如有括号，先做括号里面的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
2.基础巩固
（1）计算：-２×32 - （−2×3）2的结果为 .
（2）计算：-23-[-3 + （−3）2÷(-15)]= .
1.5.2　科学记数法
1.科学记数法的表示
(1)科学记数法就是将一个大于10的数表示成a × 10n 的形式(其中ａ大于或等于1且小于10,ｎ是正整数).
(2)对于小于-10的数也可以类似地表示.
(3)用科学记数法表示一个ｎ位整数,其中10的指数是n-1.
注意:１万＝104,１亿＝108.
2.基础巩固
（1）.太阳与地球的平均距离大约是150000000km,数据150000000用科学记数法表示为 .
（2）若9300万=9.3×10n ，则n = .
（3）指出下列用科学记数法表示的原数：
①3.168×103= ，②2.16×105= ，③-８×104= .
1.5.3　近似数
１.近似数与准确数
(１)表示实际数据的数是准确数，接近实际数据但与实际数据有差别的数是近似数.
(２)一个班有45个人，其中45是准确数，大门约高1.90ｍ，其中1.90是近似数.
２.准确度
（1）近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示.
（2）对一个准确数取近似数时都是根据四舍五入法.
3.基础巩固
（1）按括号内的要求，取近似数:
①2.715(精确到百分位)= .②0.1395(精确到0.001)= .
③1234000(精确到万位)= .
（2）2.306≈2.3是精确到 .或者说精确到 .

整式的加减知识点总结与典型例题
一、单项式
1、单项式的定义：
由数或字母的积组成的式子叫做单项式。
说明：单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式.
2、单项式的系数：
单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.
说明：⑴单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8；
⑵单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号，如的系数是；的系数是；
⑶对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1；
⑷表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2π。
3、单项式的次数：
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
说明：⑴计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0；
⑵单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次；
⑶单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数；
（4）在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。例如：可以写成或
（5）在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数.
※典型例题
考向1：单项式
1、代数式中，单项式的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2、下列式子：中，单项式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3、下列式子：单项式的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1

4、单项式的系数为（　　）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
5、单项式的系数和次数分别是（　　）
A．-2π、3 B．-2、2 C．-2、4 D．-2π
6、单项式的（ ）
A．系数是0，次数是2 B．系数是-1，次数是2
C．系数是0，次数是4 D．系数是-1，次数是4
7、单项式-2πy的系数为（　　）
A．-2π B．-2 C．2 D．2π
8、下列各式中，次数为3的单项式是（　　）
A. B. C. D.
9、单项式的系数与次数分别是（　　）
A．-2，6 B．2，7 C．，6 D. ，7
10、设a是最小的自然数，b是最大的负整数，c，d分别是单项式的系数和次数，则a，b，c，d四个数的和是（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．3
二、多项式
1、多项式的定义：几个单项式的和叫多项式.
2、多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项.
3、多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.
4、多项式的项数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.
5、常数项：多项式里，不含字母的项叫做常数项.
6、整式：单项式与多项式统称整式.
※典型例题
考向2：多项式
1、多项式是（　　）
A．二次二项式 B．二次三项式 C．三次二项式 D．三次三项式
2、多项式的次数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3、多项式的次数及最高次项的系数分别是（　　）
A．2，1 B．2，-1 C．3，-1 D．5，-1
4、下列说法正确的是（　　）
A．-2不是单项式 B．-a的次数是0
C.的系数是3 D.是多项式
5、下列代数式其中整式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6、在整式有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
7、代数式中是整式的共有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8、在代数式中有（　　）
A．5个整式
B．4个单项式，3个多项式
C．6个整式，4个单项式
D．6个整式，单项式与多项式个数相同
9、若m，n为自然数，则多项式的次数应当是（　　）
A．m B．n C．m+n D．m，n中较大的数
10、如果整式是关于x的三次三项式，那么n等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
11、多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（　　）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．3
三、整式的加减——合并同类项
1、同类项的概念：
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.
说明：⑴同类项必须具备两个条件：所含字母相同；相同字母的指数也分别相同。二者缺一不可；
⑵同类项与系数、字母的排列顺序无关；
⑶所有的常数项都是同类项，单独的一项不能说是同类项，同类项至少针对两项而言.
2、合并同类项的概念：
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.
3、合并同类项的方法：
⑴将同类项的系数相加，结果作为所得项的系数；
⑵字母连同它的指数不变.
说明：①系数相加时，一定要带上各项前面的符号；
②只有是同类项才能合并；
③如果两个同类项的系数互为相反数，那么它们合并的结果是0；
④多项式合并同类项的结果可能是单项式也可能是多项；
⑤结果通常按照某个字母的指数降幂或者升幂的顺序排列.
※典型例题
考向3：同类项的概念
1、下列选项中，与是同类项的是（　　）
A. B. C. D.
2、下列各题中的两个项，不属于同类项的是（　　）
A.和 B.1与
C.与 D.与
3、下列各组中，不是同类项的是（　　）
A.3和0 B.和
C.和 D.和
4、如果单项式是同类项，那么a、b的值分别为（　　）
A．a=1，b=3 B．a=1，b=2 C．a=2，b=3 D．a=2，b=2
5、是同类项，则a，b，c的值分别为（　　）
A．a=3，b=2，c=1 B．a=3，b=1，c=2
C．a=3，b=2，c=0 D．以上答案都不对
6、若是同类项，则m-n的值是（　　）
A．0 B．1 C．7 D．-1
7、若是同类项，则m+n的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8、若是同类项，则m+n的值（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9、如果代数式是同类项，那么（　　）
A．a=2，b=-6 B．a=3，b=-8 C．a=2，b=-5 D．a=3，b=-9
10、如果是同类项，那么m、n的值分别为（　　）
A．m=-2，n=3 B．m=2，n=3 C．m=-3，n=2 D．m=3，n=2
考向4：合并同类项
11、化简-5ab+4ab的结果是（　　）
A．-1 B．a C．b D．-ab
12、下列计算正确的是（　　）
A. B.
C. D.
13、合并同类项：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸
⑹
14、单项式和单项式的和是单项式，求这两个单项式的和．
15、已知关于x、y的单项式与单项式的和是单项式，求的值．
16、已知的和是单项式，求|x+5y|的值．
17、先合并同类项，再求值-xyz-4yz-6xz+3xyz+5xz+4yz，其中x=-2，y=-10，z=-5．
18、化简并求值其中x、y满足
19、求k为多少时，代数式中不含xy项．
20、若要使代数式合并同类项后不再出现含的项，计算m的值．
21、已知x和y的多项式合并后不含二次项，求3a-4b的值．
22、已知代数式的值与字母x的取值无关，求的值．
23、把（x-y）看成一个整体合并同类项：

四、整式的加减——去括号
1、去括号法则：
①括号外是“+”号，去括号后符号不变；

②括号外是“-”号，去括号后符号改变.

说明：与可以分别看作与分别乘，利用乘法分配律，可以将式子中的括号去掉，得：


这也符合以上去括号规律，因此我们可以利用上面的去括号规律进行整式化简.
2、去括号法则的理论依据是乘法分配律.
3、整式加减的运算法则：
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
※典型例题
考向5：去括号
1、下列运算正确的是（　　）
A．-2（3x-1）=-6x-1 B．-2（3x-1）=-6x+1
C．-2（3x-1）=-6x-2 D．-2（3x-1）=-6x+2
2、代数式-{-[x-（y-z）]}去括号后的结果是（　　）
A．x+y+z B．x-y+z C．-x+y-z D．x-y-z
3、化简-[0-（a-2b）]的结果是（　　）
A．a-2b B．+2b C．-a+2b D．-a-2b
4、对整式-a+b-2c进行添括号，正确的是（　　）
A．-（a-b+2c） B．-（a-b-2c）
C．-（a+b-2c） D．-（a+b+2c）
5、下列各式中，去括号或添括号正确的是（　　）
A. B．a-3x+2y-1=a+（-3x+2y-1）
C．3x-[5x-（2x-1）]=3x-5x-2x+1 D．-2x-y-a+1=-（2x-y）+（a-1）
6、 设，则-[a-（b-c）]=（　　）
A．15 B．7 C．-39 D．47
7、已知a-b=-3，c+d=2，则（a-d）-（b+c）的值为（　　）
A．-5 B．1 C．5 D．-1
8、已知a＞0，ab＜0，abc＜0，化简|a-2b|-[-|a|+（|2a+c|+|-3b|）-|c-b|]的结果为（　　）
A．2a B．0 C．2b D．2c
9、去括号，合并同类项：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸









第三章《一元一次方程》知识点总结
知识点一：一元一次方程及解的概念
1、方程：含有未知数的等式叫做方程
注意：a.必须是等式 b.必须含有未知数。
易错点：（1）.方程式等式，但等式不一定是方程；（2）.方程中的未知数可以用 x 表示，也可以用其他字母表示；（3）.方程中可以含多个未知数。
例如①2x－ 5＝1； ②8－ 7＝1； ③x＋y； ④ x－ y＝x2； ⑤3x＋y＝6； ⑥5x＋3y＋4z＝0； ⑦ ＝8；⑧x＝0。其中方程的是 。
2、一元一次方程：只含有一个未知数( 元)，未知数的指数都1( 次) ，这样的方程叫做一元一次方程 .例如：1700+50x=1800 ， 2（y+1.5y）=5
3、一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。
一元一次方程须满足下列三个条件：
（1） 只含有一个未知数；
（2） 未知数的次数是1次；
（3） 整式方程. （不是整式方程）
（4）方程要化为最简形式
（5）最简形式系数不为0
4、方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的 　
判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．
知识点二：一元一次方程的解法
1、 等式的基本性质
2、 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果，那么；(c为一个数或一个式子)。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果，那么；不可逆哦！如果，那么
2、分数的基本性质：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
　　即：（其中m≠0）
　　特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为 － =1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区
别开。
2、解一元一次方程的一般步骤：
常用步骤
具体做法
依据
注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
等式基本性质2
防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；
去括号
一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号
去括号法则、分配律
注意变号，防止漏乘；




移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
等式基本性质1
移项要变号，不移不变号；
合并同类项
把方程化成ax＝b(a≠0)的形式
合并同类项法则
计算要仔细，不要出差错；
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程
的解x＝
等式基本性质2
计算要仔细，分子分母勿颠倒

　　　　　　　　　　　　　　　　



知识点三：列一元一次方程解应用题
1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：
　　（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．
　　（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
　　（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．
　　（4）解方程．
　　（5）检验，看方程的解是否符合题意．
　　（6）写出答案．
2、解应用题的书写格式：
　　设→根据题意→解这个方程→答。
知识点四：一元一次方程的实际应用
1.和、差、倍、分问题：
增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量
（ 1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率 ”来体现 .
（ 2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来 .
例 1.兄弟二人今年分别为 15 岁和 9 岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的 2 倍？ 解：设 x 年后，兄的年龄是弟的年龄的2 倍，则 x 年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是 9+x ．由题意，得
2×（ 9+x ） =15+x
18+2x=15+x
移向得： 2x-x=15-18
∴ x=-3
答： 3 年前兄的年龄是弟的年龄的 2 倍．
（点拨： -3 年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的 3 年，是与 3?年后具有相反意义的量）
例2、一个数的 3倍比它的 2倍多 10，若设这个数为 x，可得到方程
例3、用一根长 80厘米的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多 10厘米，则这个长方形的长和宽各是 、 ，面积是 .
2. 等积变形问题：
（1）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提 . 常用等量关系为：
①形状面积变了，周长没变；
②原料体积＝成品体积 .
（2 ）常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．


①圆柱体的体积公式V= 底面积×高＝ S· h＝π r 2h
②长方体的体积 V ＝长×宽×高＝ abc
例4.将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米、300 毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为 200 毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到 0.1毫米，π ≈ 3.14 ）．


例5.一根内径为 3㎝的圆柱形长试管中装满了水，现把试管中的水逐渐滴入一个内径为 8㎝、高为 1.8 ㎝的圆柱形玻璃杯中，当玻璃杯装满水时，试管中的水的高度下降了＿＿＿＿㎝ .

3.工程问题 ：
工程问题：工作量＝工作效率×工作时间
完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝ 1
例6、一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作3 天后， 甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？


例7.甲、乙工程队从相距 100m 的马路两端开始挖沟， 甲工程队每天挖沟的进度是乙工程队的2倍少 1m，若 5天完工，两队每天各挖几米？

4. 行程问题：
路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间
（1） 相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距
（ 2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距
（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．
例8.甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行 140 公里。
（ 1）慢车先开出 1 小时， 快车再开。 两车相向而行。 问快车开出多少小时后两车相遇？
（ 2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？
（ 3）两车同时开出， 慢车在快车后面同向而行， 多少小时后快车与慢车相距 600 公里？
（ 4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（ 5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢
车？





例9、.已知轮船逆水前进的速度为 m千米 / 时，水流速度为 2千米 / 时，则轮船在静水中的速度是 。
例10.A、B两地相距 30千米，甲、乙两人分别从 A、B两地同时出发，相向而行。已知甲比乙每小时多走 1千米，经过 2.5 小时两人相遇，求甲、乙两人的速度？

5.商品销售问题
（ 1）商品利润率＝商品利润÷商品成本价 × 100%
（ 2）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
（ 3）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
（ 4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售， 如商品打 8 折出售，即按原标价的 80%出售．有关系式：商品售价 =商品标价×折扣率
（ 5）商品利润 =商品售价—商品进价 =商品标价×折扣率—商品进价
例11.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利 45 元；按标价的八五折销售该工艺品 8 件与将标价降低 35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等 . 该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？


例12.一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15元，这种服装每件的进价是多少？


6.储蓄问题
⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金， 银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和， 存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率. 利息的 20%付利息税
⑵ 利息 =本金×利率×期数
本息和 =本金 +利息
利息税 =利息×税率（ 20%）
（3）利率＝每期的利息本金×100%
例 13.国家规定存款利息的纳税方法是：利息税 =利息× 20%，储户取款时由银行代扣代收.若银行 1年定期储蓄的年利率为 1.98% ，某储户取出 1年到期的本金及利息时，扣除了利息税31.68元，则银行向该储户支付的现金是多少元？

例14.某同学把 250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和 252.7 元， 求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）

7.数字问题
（ 1）要搞清楚数的表示方法：一般可设个位数字为 a，十位数字为 b，百位数字为 c． 十位数可表示为 10b+a， 百位数可表示为 100c+10b+a． 然后抓住数字间或新数、 原数之间的关系找等量关系列方程（其中 a、b、c 均为整数，且 1≤a≤ 9， 0 ≤ b≤ 9， 0 ≤ c≤ 9）
（ 2）数字问题中一些表示： 两个连续整数之间的关系， 较大的比较小的大 1；偶数用 2n
表示，连续的偶数用 2n+2 或 2n—2 表示；奇数用 2n+1 或 2n—1 表示 .
例 7．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是 8，将十位上数字与个位上数字对调， 得到新数比原数的 2 倍多 l0 ．求原来的两位数．


8.劳力调配问题：
这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：
（ 1）既有调入又有调出；（ 2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；
（ 3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变
例 15. 在一次美化校园活动中， 先安排 31 人去拔草， 18 人去植树，后又是增派20 人去支援他们， 结果拔草的人数是植树人数的 2 倍，问支援拔草和植树的人分别有多少人？



9.配套问题
（ 1） “二合一 ”问题：如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于乙产品数的ａ倍，即甲产品数÷a= 乙产品数÷b
（ 2） “三合一 ”问题：如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：
甲产品数 ÷ a= 乙产品数 ÷ b= 丙产品数 ÷ c
例 16.某车间有 28 个工人，生产某种螺栓和螺母，已知一个螺栓的两头各配一个螺母组成一套零件。 如果每人每天生产12 个螺栓或 18 个螺母。 安排多少个工人生产螺栓，多少个工人生产螺母，才能使这一天生产的螺栓和螺母正好配套？




3. 某厂共有 120 名生产工人， 每个工人每天可生产螺栓 25 个或螺母 20 个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套， 那么每天安排多名工人生产螺栓， 多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？




第四章《几何图形初步》知识点汇总
1、 几何图形
①几何图形的定义：我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形。
②几何图形分为 图形和 图形。
③ 平面图形：图形所表示的各个部分都在 内的图形，如直线、三角形等。
④ 立体图形：图形所表示的各个部分 同一平面内的图形，如圆柱体。
2、常见的立体图形


3、 立体图形的三视图：
从不同方向观察几何体,从正面、上面、左面三个不同方向看一个物体，然后描出三张所看到的图（分别叫做______、______、_______），这样就可以把立体图形转化为平面图形。
①会观察小正方体堆积图形画出三视图 ②会根据三视图知道堆积的小正方体的个数


 主视图：从正面看到的图，叫做主视图。
　　      左视图：从左面看到的图，叫做左视图。
　　      俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。



考题：如图所示的立体图形从上面看到的图形是（ ）





考题：由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的左视图和主视图均如图所示，则这堆积木不可能是（ ）

A
B
C
D




4、 立体图形的展开图①圆柱的平面展开图是 。②圆锥的平面展开图是 。③n棱柱的侧面展开图是 n个 形 ，n棱柱有 个底面，都是 ，n棱柱的平面展开图是 。④n棱锥的侧面展开图是 n个 形 ，n棱锥有 个 底面，是 ，n棱锥的平面展开图是 。
⑤正方体的展开图共分四类：11种






1-4-1型 2-3-1型
（中间四个面，上下各一面——6种） （中间三个面，一二隔河见——3种）
$
2—2—2型
3—3型





（中间两个面，楼梯天天见——1种） （中间没有面，三三连一线——1种）

考点：如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“你”字一面相对面上的字是（　　）
A．我 B．中 C．国 D．梦月

考点：一个正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的平面展开图可能是（　 ）
B
A
C
D







5、 点、线、面、体 几何图形的组成：由___、___、___组成。_____是构成图形的基本元素
点动成_____、____动成____、____动成____。
6、直线： ①点与直线的位置关系：第一种关系：点在直线____，或者说直线______点；第二种关系：点在直线____，或者说直线_________点。②直线公理：经过两点有且只有一条直线（简称：______________）；
7、直线与直线的位置关系①同一平面内，两条直线的位置关系分为：_____与_____
②当两条不同的直线________时，我们就称这两条直线相交，这个_______叫做它们的_____。
8、射线：①表示方法：端点字母必须写在前②判断两条射线是同一条射线的方法：_________________
9、线段①基本性质：___________________②两点之间的距离__________________③线段的中点
10、比较线段大小的方法：_______法和______法
11会作图：作一条线段等于已知线段 知道延长（反向延长）射线和线段的作图语言
12、角：①由一点引出两条射线形成的图形叫做角。这两条射线叫做角的____。这一点叫做角的____。
②角也可看作是由一条射线______________而成的。
13、角的表示方法： ①用三个大写字母：表示角的顶点的字母写在中间∠AOB；②用数字：∠1，∠2； ③用希腊字母：∠α，∠β；④单独的一个角，用一个大写字母：表示角的顶点的字母∠O．
14、角的分类①周角②平角③直角④钝角⑤锐角
15、角的度量：角度单位是60进制的．1°=_____′, 1′=____″, 1°=______″
会进行简单的角度的换算与计算
16、角的大小的比较方法：（1）_______法；（2）______法。
17、角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分为相等的两个角的这条射线叫做角的平分线。
18、余角与补角
①余角：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。∠1的余角等于90°-∠1。
②补角：一般地，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。∠1的补角等于180°-∠1。
③余角与补角的性质
①同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。②同角的补角与余角的差为90°
19、 方位角 必须以______与_____方向为基准
20、平面内n个点，最多可确定______条直线
平面内n条直线相交，最多有__________个交点 最少有_____ 个交点
平面内n条直线，可把平面分成________个部分
在一直线上取n个点（不重合），则有_______条射线，__________条线段
在一线段上取n个点（不重合），则有_______条线段
在同一端点引n条射线，则有_________个角
在一个角内引n条射线，则有_________个角
直线外一点与直线上n个点的连线组成________个三角形

一、分类思想在过平面上若干点可以画多少条直线，应注意这些点的分情况讨论；或在画其它的图形时，应注意图形的各种可能性
例1 两条相交直线与另外一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（ ） A.1 B.2 C.3或2 D.1或2或3
二、 方程思想.在处理有关角的大小，线段大小的计算时常需要通过列方程来解决.
例2 如果一个角的补角是150°，求这个角的余角.
三、化归思想.在进行线段、射线、直线、角以及相关图形的计数时总要化归到公式的具体运用上来.
例3 若点C、D、E、F是线段AB上的四个点.则这个图形中共有多少条线段？