初中数学北师大版七年级下册第二章 相交线与平行线综合与测试课时练习

这是一份初中数学北师大版七年级下册第二章 相交线与平行线综合与测试课时练习，共29页。
1．（2020秋•遂宁期末）如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③180°﹣∠α；④（∠α﹣∠β）．正确的是（ ）
A．①②③④B．①②④C．①②③D．①②
2．（2020春•涿鹿县期中）在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1＝∠2
B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图3，测得∠1＝∠2
D．在图4中，展开后测得∠1+∠2＝180°
3．（2020•青州市一模）如图，已知AB∥CD，则∠α、∠β和∠γ之间的关系为（ ）
A．β+γ﹣α＝180°B．α+γ＝β
C．α+β+γ＝360°D．α+β﹣2γ＝180°
4．（2020春•巍山县期末）如图，下列不能判定AB∥CD的条件是（ ）
A．∠B+∠BCD＝180°B．∠1＝∠2
C．∠3＝∠4D．∠B＝∠5
5．（2019秋•福田区校级期末）如图，AB∥CD，BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，则∠F的度数为（ ）
A．30°B．35°C．36°D．45°
6．（2019春•福州期末）如图，BC⊥AE，垂足为C，过C作CD∥AB，若∠ECD＝43°，则∠B＝（ ）
A．43°B．57°C．47°D．45°
7．（2018春•城关区校级月考）如图所示，同位角共有（ ）
A．6对B．8对C．10对D．12对
8．（2014春•东营区校级期末）如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离；⑦AD＞BD．
A．3个B．4个C．7个D．0个
9．（2013•呼伦贝尔）如图AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（2010秋•常熟市期末）下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二．填空题（共10小题）
11．（2021•张家界模拟）如图a∥b，c∥d，b⊥e，则∠1与∠2的关系是 ．
12．（2020•吉州区一模）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于 ．
13．（2019秋•灯塔市期末）如图所示，已知AB∥CD，EF交AB于M交CD于F，MN⊥EF于M，MN交CD于N，若∠BME＝110°，则∠MND＝ ．
14．（2020春•阜平县期末）如图，AD∥BC，∠D＝100°，CA平分∠BCD，则∠DAC＝ 度．
15．（2020春•涟源市期末）如图，两直线a，b被第三条直线c所截，若∠1＝50°，∠2＝130°，则直线a，b的位置关系是 ．
16．（2019•鼓楼区校级模拟）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD＝ ．
17．（2020春•麻城市校级月考）如图，∠1和∠3是直线 和 被直线 所截而成的 角；图中与∠2是同旁内角的角有 个．
18．（2018•衡阳）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC的度数为 ．
19．（2019秋•南岗区校级月考）如图，AD∥BC，∠ADC＝120°，∠BAD＝3∠CAD，E为AC上一点，且∠ABE＝2∠CBE，在直线AC上取一点P，使∠ABP＝∠DCA，则∠CBP：∠ABP的值为 ．
20．如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝ 度．
三．解答题（共10小题）
21．（2021春•襄城县月考）如图，直线a、b被直线c所截，∠1＝∠3，直线a与直线b平行吗？为什么？
22．（2020秋•罗庄区期末）一个角的余角比它的补角的还少40°，求这个角．
23．（2020春•赣州期中）MF⊥NF于F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1＝140°，∠2＝50°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．
24．（2019秋•伊通县期末）如图，直线AB、CD交于O点，且∠BOC＝80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线．
（1）求∠2和∠3的度数；
（2）OF平分∠AOD吗？为什么？
25．（2020春•青川县期末）如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数．
26．（2020春•华亭市期末）已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连接EA、EC．
（1）如图①，若∠A＝20°，∠C＝40°，则∠AEC＝ °．
（2）如图②，若∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AEC＝ °．
（3）如图③，若∠A＝α，∠C＝β，则α，β与∠AEC之间有何等量关系．并简要说明．
27．（2021春•南开区期中）已知：如图，∠DAB＝∠DCB，AF平分∠DAB，CE平分∠DCB，∠FCE＝∠CEB．试说明：AF∥CE．
解：因为∠DAB＝∠DCB（ ），
又因为AF平分∠DAB，
所以 ＝∠DAB（ ）．
又因为CE平分∠DCB，
所以∠FCE＝ （ ）．
所以∠FAE＝∠FCE．
因为∠FCE＝∠CEB，
所以 ＝ ．
所以AF∥CE（ ）．
28．（2020春•武城县期末）如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．
29．（2018春•丹阳市期末）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，且∠AGF＝∠F．求证：EF∥AD．
30．（2017秋•江阴市期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•遂宁期末）如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③180°﹣∠α；④（∠α﹣∠β）．正确的是（ ）
A．①②③④B．①②④C．①②③D．①②
【考点】余角和补角．
【专题】推理填空题．
【分析】根据∠α与∠β互补，得出∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β，求出∠β的余角是90°﹣∠β，90°﹣∠β表示∠β的余角；∠α﹣90°＝90°﹣∠β，即可判断②；180°﹣∠α＝∠β，根据余角的定义即可判断③；求出（∠α﹣∠β）＝90°﹣∠β，即可判断④．
【解答】解：∵∠α与∠β互补，
∴∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β，
∴90°﹣∠β表示∠β的余角，∴①正确；
∠α﹣90°＝180°﹣∠β﹣90°＝90°﹣∠β，∴②正确；
180°﹣∠α＝∠β，∴③错误；
（∠α﹣∠β）＝（180°﹣∠β﹣∠β）＝90°﹣∠β，∴④正确；
故选：B．
【点评】本题考查了对余角和补角的理解和运用，注意：∠α与∠β互补，得出∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β；∠β的余角是90°﹣∠β，题目较好，难度不大．
2．（2020春•涿鹿县期中）在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1＝∠2
B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图3，测得∠1＝∠2
D．在图4中，展开后测得∠1+∠2＝180°
【考点】平行线的判定．
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【解答】解：A、当∠1＝∠2时，a∥b；
B、由∠1＝∠2且∠3＝∠4可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，∴a∥b；
C、∠1＝∠2不能判定a，b互相平行；
D、由∠1+∠2＝180°可知a∥b；
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键．
3．（2020•青州市一模）如图，已知AB∥CD，则∠α、∠β和∠γ之间的关系为（ ）
A．β+γ﹣α＝180°B．α+γ＝β
C．α+β+γ＝360°D．α+β﹣2γ＝180°
【考点】平行线的性质．
【分析】此题主要是巧妙构造辅助线，根据平行线的性质，把要探讨的角联系起来．
【解答】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠γ+∠FEC＝180°∠FEA＝∠α，
∵∠AEF+∠FEC＝∠β，
∴∠γ+∠β﹣∠AEF＝180°，
∴γ+β﹣α＝180°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
4．（2020春•巍山县期末）如图，下列不能判定AB∥CD的条件是（ ）
A．∠B+∠BCD＝180°B．∠1＝∠2
C．∠3＝∠4D．∠B＝∠5
【考点】平行线的判定．
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，故不符合题意；
B、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，故符合题意；
C、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故不符合题意；
D、∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
5．（2019秋•福田区校级期末）如图，AB∥CD，BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，则∠F的度数为（ ）
A．30°B．35°C．36°D．45°
【考点】余角和补角；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据平行线的性质和角平分线的性质，即可求得∠F的度数．
【解答】解：∵BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE，
∴∠1＝∠2，∠FBA＝∠FBE，
∵AB∥CD，
∴∠FBA＝∠3，
∵BF∥DE，∠F与∠ABE互补，
∴∠3＝∠EDC＝2∠2，∠F＝∠1，∠F+∠ABE＝180°，
设∠2＝x，则∠3＝2x，∠ABE＝4x，
∴x+4x＝180°，
解得，x＝36°，
即∠F的度数为36°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质、余角和补角，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．（2019春•福州期末）如图，BC⊥AE，垂足为C，过C作CD∥AB，若∠ECD＝43°，则∠B＝（ ）
A．43°B．57°C．47°D．45°
【考点】垂线；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【分析】利用平行线的性质和三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵BC⊥AE，
∴∠ACB＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠ECD＝∠A＝43°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝47°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（2018春•城关区校级月考）如图所示，同位角共有（ ）
A．6对B．8对C．10对D．12对
【考点】同位角、内错角、同旁内角．
【分析】在基本图形“三线八角”中有四对同位角，再看增加射线GM、HN后，增加了多少对同位角，求总和．
【解答】解：如图，由AB、CD、EF组成的“三线八角”中同位角有四对，
射线GM和直线CD被直线EF所截，形成2对同位角；
射线GM和直线HN被直线EF所截，形成2对同位角；
射线HN和直线AB被直线EF所截，形成2对同位角．
则总共10对．
故选：C．
【点评】本题主要考查同位角的概念．即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．
8．（2014春•东营区校级期末）如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离；⑦AD＞BD．
A．3个B．4个C．7个D．0个
【考点】点到直线的距离．
【分析】本题要根据垂线定义、垂线段定义（定理）、点到直线的距离定义，逐一判断．
【解答】解：∵∠BAC＝90°∴①AB⊥AC正确；
∵∠DAC≠90°，∴AD与AC不互相垂直，所以②错误；
点C到AB的垂线段应是线段AC，所以③错误；
点A到BC的距离是线段AD的长度，所以④正确；
根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．”可知⑤正确；
线段AB的长度是点B到AC的距离，所以⑥错误；
AD＞BD不一定，所以⑦错误．
故选：A．
【点评】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．
9．（2013•呼伦贝尔）如图AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】余角和补角；对顶角、邻补角；平行线的性质．
【分析】两角互余，则两角之和为90°，此题的目的在于找出与∠CAB的和为90°的角，根据平行线的性质及对顶角相等作答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，设∠ABC的对顶角为∠1，
则∠ABC＝∠1，
又∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝∠CAB+∠BCD＝∠CAB+∠1＝90°，
因此与∠CAB互余的角为∠ABC，∠BCD，∠1．
故选：C．
【点评】此题考查的知识点为：平行线的性质，两角互余和为90°，对顶角相等．
10．（2010秋•常熟市期末）下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】相交线；对顶角、邻补角；垂线；平行线．
【分析】根据垂线、对顶角、平行线的定义、角相互间的关系、点与直线的关系进行判断．
【解答】解：①一条直线有无数条垂线，故①错误；
②不相等的两个角一定不是对顶角，故②正确；
③在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故③错误；
④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等或互补，故④错误；
⑤不在同一直线上的四个点可画4或6条直线，故⑤错误；
⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，故⑥正确．
所以错误的有4个．
故选：C．
【点评】本题主要考查：平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要学会区分不同概念之间的联系和区别．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•张家界模拟）如图a∥b，c∥d，b⊥e，则∠1与∠2的关系是 互余 ．
【考点】垂线；平行线的性质．
【分析】由∥b，c∥d，根据平行线的性质，可证得∠2＝∠3＝∠4，又由b⊥e，即可得∠1与∠2的关系是互余．
【解答】解：∵a∥b，c∥d，
∴∠3＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2＝∠4，
∵b⊥e，
∴∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
即∠1与∠2的关系是互余．
故答案为：互余．
【点评】此题考查了平行线的性质以及垂线的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
12．（2020•吉州区一模）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于 70° ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】由平行线的性质和对顶角相等得出∠1＝∠2＝∠3，由角平分线的定义求出∠AOC＝∠AOB＝20°，由直角三角形的性质求出∠3＝70°，即可得出∠1的度数．
【解答】解：如图所示：根据题意得：∠1＝∠2＝∠3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠AOB＝20°，
∴∠3＝90°﹣20°＝70°，
∴∠1＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，求出∠1＝∠3是解决问题的关键．
13．（2019秋•灯塔市期末）如图所示，已知AB∥CD，EF交AB于M交CD于F，MN⊥EF于M，MN交CD于N，若∠BME＝110°，则∠MND＝ 20° ．
【考点】平行线的性质．
【分析】根据对顶角相等求出∠AMF，再求出∠AMN，然后根据两直线平行，内错角相等求解即可．
【解答】解：∵∠BME＝110°，
∴∠AMF＝∠BME＝110°，
∵MN⊥EF于M，
∴∠NMF＝90°，
∴∠AMN＝∠AMF﹣∠NMF＝110°﹣90°＝20°，
∵AB∥CD，
∴∠MND＝∠AMN＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，以及垂直的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
14．（2020春•阜平县期末）如图，AD∥BC，∠D＝100°，CA平分∠BCD，则∠DAC＝ 40 度．
【考点】角平分线的定义；平行线的性质．
【专题】计算题．
【分析】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义进行做题．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠BCD＝180°﹣∠D＝80°，
又∵CA平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠BCD＝40°，
∴∠DAC＝∠ACB＝40°．
【点评】本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，是一道较为简单的题目．
15．（2020春•涟源市期末）如图，两直线a，b被第三条直线c所截，若∠1＝50°，∠2＝130°，则直线a，b的位置关系是 平行 ．
【考点】对顶角、邻补角；平行线的判定．
【分析】因为∠2与∠3是邻补角，由已知便可求出∠3＝∠1，利用同位角相等，两直线平行即可得出a，b的位置关系．
【解答】解：∵∠2+∠3＝180°，∠2＝130°，
∴∠3＝50°，
∵∠1＝50°，
∴∠1＝∠3，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查了邻补角的性质以及判定两直线平行的条件．
16．（2019•鼓楼区校级模拟）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD＝ 40° ．
【考点】平行线的性质．
【分析】根据两直线平行，内错角相等以及三角形外角和定理即可解答．
【解答】解：反向延长DE交BC于M，∵AB∥DE，
∴∠BMD＝∠ABC＝80°，
∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；
又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，
∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．
故答案是：40°
【点评】本题考查了平行线的性质．注意此题要构造辅助线，运用了平行线的性质、邻补角的关系、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．
17．（2020春•麻城市校级月考）如图，∠1和∠3是直线 AB 和 AC 被直线 DE 所截而成的 内错 角；图中与∠2是同旁内角的角有 3 个．
【考点】同位角、内错角、同旁内角．
【分析】根据内错角和同旁内角的定义得出即可．
【解答】解：∠1和∠3是直线AB和AC被直线DE所截而成的内错角；图中与∠2 是同旁内角的角有∠6、∠5、∠7，共3个，
故答案为：AB、AC、DE、内错，3．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角等知识点，能根据图形找出各对角是解此题的关键．
18．（2018•衡阳）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC的度数为 75° ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【分析】先根据BC∥DE及三角板的度数求出∠EAB的度数，再根据三角形内角与外角的性质即可求出∠AFC的度数．
【解答】解：∵BC∥DE，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠FBC＝∠EAB＝（180°﹣90°）＝45°，
∵∠AFC是△AEF的外角，
∴∠AFC＝∠FAE+∠E＝45°+30°＝75°．
故答案为：75°．
【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
19．（2019秋•南岗区校级月考）如图，AD∥BC，∠ADC＝120°，∠BAD＝3∠CAD，E为AC上一点，且∠ABE＝2∠CBE，在直线AC上取一点P，使∠ABP＝∠DCA，则∠CBP：∠ABP的值为 2或4 ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力；应用意识．
【分析】分两种情况进行解答，分别画出图形，结合图形，利用三角形内角和、平行线的性质，等量代换，得出各个角之间的倍数关系．
【解答】解：如图，①当∠ABP1＝∠DCA时，即∠1＝∠2，
∵∠D＝120°，
∴∠1+∠3＝180°﹣120°＝60°，
∵∠BAD＝3∠CAD，∠ABE＝2∠CBE，AD∥BC，
∴3∠3+3∠EBC＝180°，
∴∠3+∠EBC＝60°，
∴∠EBC＝∠1＝∠2＝∠P1BE，
∴∠CBP1：∠ABP1的值为2，
②当∠ABP2＝∠DCA时，∴∠CBP2：∠ABP2的值为4，
故答案为：2或4．
【点评】考查三角形内角和定理、平行线的性质，以及分类讨论思想的应用等知识，画出相应图形，利用等量代换得出各个角之间的关系是解决问题的关键．
20．如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝ 65 度．
【考点】平行线的性质．
【专题】计算题．
【分析】过点C作CF平行于AB，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：过点C作CF平行于AB，如图：
∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥ED．
AB∥CF⇒∠1＝180°﹣∠B＝30°，
CF∥ED⇒∠2＝180°﹣∠D＝35°，
∴∠BCD＝∠1+∠2＝65°．
故填65°．
【点评】结合题意和图形作出正确的辅助线是解决本题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2021春•襄城县月考）如图，直线a、b被直线c所截，∠1＝∠3，直线a与直线b平行吗？为什么？
【考点】平行线的判定．
【分析】先根据对顶角相等得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠3可得出∠1＝∠2，由此得出结论．
【解答】解：a∥b．
理由：∵∠2与∠3是对顶角，
∴∠2＝∠3．
∵∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴a∥b．
【点评】本题考查的是平行线的判定定理，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行．
22．（2020秋•罗庄区期末）一个角的余角比它的补角的还少40°，求这个角．
【考点】余角和补角．
【专题】计算题．
【分析】利用“一个角的余角比它的补角的还少40°”作为相等关系列方程求解即可．
【解答】解：设这个角为x，则有90°﹣x+40°＝（180°﹣x），
解得x＝30°．
答：这个角为30°．
【点评】主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180°．解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系，从而计算出结果．
23．（2020春•赣州期中）MF⊥NF于F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1＝140°，∠2＝50°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．
【考点】平行线的判定．
【分析】延长MF交CD于点H，利用平行线的判定证明．
【解答】解：
解法一：延长MF交CD于点H，
∵∠1＝90°+∠CHF，∠1＝140°，∠2＝50°，
∴∠CHF＝140°﹣90°＝50°，
∴∠CHF＝∠2，
∴AB∥CD．
解法二：过点F作直线FL∥AB，
∵FL∥AB，
∴∠MFL＝∠2＝50°，
∵∠MFN＝90°，
∴∠NFL＝40°，
∵∠1＝140°，
∴∠1+∠NFL＝140°+40°＝180°，
∴CD∥FL，
∴CD∥AB．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和外角定理，作出适当的辅助线是解答此题的关键．
24．（2019秋•伊通县期末）如图，直线AB、CD交于O点，且∠BOC＝80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线．
（1）求∠2和∠3的度数；
（2）OF平分∠AOD吗？为什么？
【考点】角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【分析】（1）根据邻补角的定义，即可求得∠2的度数，根据角平分线的定义和平角的定义即可求得∠3的度数；
（2）根据OF分∠AOD的两部分角的度数即可说明．
【解答】解：（1）∵∠BOC+∠2＝180°，∠BOC＝80°，
∴∠2＝180°﹣80°＝100°；
∵OE是∠BOC的角平分线，
∴∠1＝40°．
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣40°﹣100°＝40°．
（2）平分
理由：∵∠2+∠3+∠AOF＝180°，
∴∠AOF＝180°﹣∠2﹣∠3＝180°﹣100°﹣40°＝40°．
∴∠AOF＝∠3＝40°，
∴OF平分∠AOD．
【点评】本题综合考查了角平分线的定义、平角的定义和对顶角相等的性质，属于基础题型．
25．（2020春•青川县期末）如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数．
【考点】角平分线的定义；垂线；平行线的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCE的度数，再根据角平分线的定义求出∠BCN的度数，然后再根据CM⊥CN即可求出∠BCM的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝40°，
∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣40°＝140°，
∵CN是∠BCE的平分线，
∴∠BCN＝∠BCE＝×140°＝70°，
∵CM⊥CN，
∴∠BCM＝20°．
【点评】本题利用平行线的性质和角平分线的定义求解，比较简单．
26．（2020春•华亭市期末）已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连接EA、EC．
（1）如图①，若∠A＝20°，∠C＝40°，则∠AEC＝ 60 °．
（2）如图②，若∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AEC＝ 360﹣x﹣y °．
（3）如图③，若∠A＝α，∠C＝β，则α，β与∠AEC之间有何等量关系．并简要说明．
【考点】平行线的性质．
【专题】计算题；探究型．
【分析】首先都需要过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF．
（1）根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠AEC的度数；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠AEC的度数；
（3）根据两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠AEC的度数．
【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF．
（1）∵∠A＝20°，∠C＝40°，
∴∠1＝∠A＝20°，∠2＝∠C＝40°，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝60°；
（2）∴∠1+∠A＝180°，∠2+∠C＝180°，
∵∠A＝x°，∠C＝y°，
∴∠1+∠2+x°+y°＝360°，
∴∠AEC＝360°﹣x°﹣y°；
（3）∠A＝α，∠C＝β，
∴∠1+∠A＝180°，∠2＝∠C＝β，
∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣α，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝180°﹣α+β．
【点评】此题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．解此题的关键是准确作出辅助线：作平行线，这是此类题目的常见解法．
27．（2021春•南开区期中）已知：如图，∠DAB＝∠DCB，AF平分∠DAB，CE平分∠DCB，∠FCE＝∠CEB．试说明：AF∥CE．
解：因为∠DAB＝∠DCB（ 已知 ），
又因为AF平分∠DAB，
所以 ∠FAE ＝∠DAB（ 角平分线的性质 ）．
又因为CE平分∠DCB，
所以∠FCE＝ ∠DCB （ 角平分线的性质 ）．
所以∠FAE＝∠FCE．
因为∠FCE＝∠CEB，
所以 ∠FAE ＝ ∠CEB ．
所以AF∥CE（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【考点】平行线的判定．
【专题】推理填空题．
【分析】利用角平分线的性质和等量代换，根据已知条件，得出∠FAE＝∠CEB，判断得出AF∥CE，证得结论解决问题．
【解答】解：因为∠DAB＝∠DCB（已知），
又因为AF平分∠DAB，
所以∠FAE＝∠DAB（角平分线的定义）．
又因为CE平分∠DCB，
所以∠FCE＝∠DCB（角平分线的定义）．
所以∠FAE＝∠FCE．
因为∠FCE＝∠CEB，
所以∠FAE＝∠CEB，
所以AF∥CE（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；∠FAE，角平分线的定义；∠DCB，角平分线的定义；∠FAE，∠CEB；同位角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线性质和判定和角平分线定义的应用，主要考查学生的推理能力．
28．（2020春•武城县期末）如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．
【考点】平行线的性质．
【专题】探究型．
【分析】由图中题意可先猜测∠AED＝∠C，那么需证明DE∥BC．题中说∠1+∠2＝180°，而∠1+∠4＝180°所以∠2＝∠4，那么可得到BD∥EF，题中有∠3＝∠B，所以应根据平行得到∠3与∠ADE之间的关系为相等．就得到了∠B与∠ADE之间的关系为相等，那么DE∥BC．
【解答】∠AED＝∠C．
证明：∵∠1+∠4＝180°（邻补角定义）
∠1+∠2＝180°（已知）
∴∠2＝∠4（同角的补角相等）
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠B＝∠3（已知），
∴∠ADE＝∠B（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
【点评】本题是先从结论出发得到需证明的条件，又从所给条件入手，得到需证明的条件．属于典型的从两头往中间证明．
29．（2018春•丹阳市期末）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，且∠AGF＝∠F．求证：EF∥AD．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【分析】依据AD是△ABC的角平分线，可得∠BAD＝∠CAD，再根据∠BAD+∠CAD＝∠AGF+∠F，且∠AGF＝∠F，即可得到∠CAD＝∠F，进而得出EF∥AD．
【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD＝∠AGF+∠F，且∠AGF＝∠F，
∴∠CAD＝∠F，
∴EF∥AD．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
30．（2017秋•江阴市期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．
【考点】角平分线的定义；平行线的判定．
【专题】探究型．
【分析】根据四边形的内角和定理和∠A＝∠C＝90°，得∠ABC+∠ADC＝180°；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行．
【解答】解：BE∥DF．理由如下：
∵∠A＝∠C＝90°（已知），
∴∠ABC+∠ADC＝180°（四边形的内角和等于360°）．
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠ADC（角平分线的定义）．
∴∠1+∠3＝（∠ABC+∠ADC）＝×180°＝90°（等式的性质）．
又∠1+∠AEB＝90°（三角形的内角和等于180°），
∴∠3＝∠AEB（同角的余角相等）．
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
【点评】此题运用了四边形的内角和定理、角平分线定义、等角的余角相等和平行线的判定，难度中等．