第10章 第5节　事件的独立性、条件概率与全概率公式教案

第五节　事件的独立性、条件概率与全概率公式

一、教材概念·结论·性质重现

1．条件概率

2.事件的相互独立性

3．全概率公式

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)．称上面的公式为全概率公式．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)相互独立事件就是互斥事件． (×)

(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立． (×)

(3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．              (√)

(4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)． (√)

2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们的大小和形状完全相同．甲每次从中任取一个球不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　)

A．  B．  C．  D．

B　解析：设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B．依题意P(A)＝＝，P(AB)＝＝.

故在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率P(B|A)＝＝.

3．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　　)

A．0.2  B．0.3   C．0.38  D．0.56

C　解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，

所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)

＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.

4．(2020·湖南省六校高三联考)甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为和；乙笔试、面试通过的概率分别为和.若笔试、面试都通过则被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试甲、乙同时被录取的概率是________，只有一人被录取的概率是________．

　　解析：甲被录取的概率p1＝×＝，乙被录取的概率p2＝×＝，则该次考试甲、乙同时被录取的概率是p1p2＝×＝，只有一人被录取的概率是p1(1－p2)＋p2(1－p1)＝×＋×＝.

5．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．

0.128　解析：记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A．由题意知，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错，故P(A)＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.

考点1　相互独立事件的概率——基础性

1．(2020·山东省新高考质量测评高三联考)2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能处理器“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“特斯拉完全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI芯片“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为(　　)

A．  B．  C．  D．

D　解析：根据题意可知，1名学生从15项中任选1项，其中选择“芯片领域”的概率为＝，

故其没有选择“芯片领域”的概率为，

则3名学生均没有选择“芯片领域”的概率为××＝.因此至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为1－＝.故选D．

2．(2020·天津市和平区高三二模)已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次(假定费用只可能为1,2,3元)．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5，0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2，0.4，则甲、乙两人租车费用相同的概率为(　　)

A．0.18  B．0.3  C．0.24  D．0.36

B　解析：由题意知甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4.

所以甲、乙两人所租车费用相同的概率为p＝0.5×0.2＋0.2×0.4＋0.3×0.4＝0.3.

3．(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．

(1)求P(X＝2)；

(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．

解：(1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.

(2)X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．

因此所求概率为

[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.

考点2　条件概率——基础性

(2020·本溪满族自治县高级中学高三模拟)2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁和4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家．设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P(A|B)＝(　　)

A．  B．  C．  D．

A　解析：事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，

则P(AB)＝＝，P(B)＝＝，

P(A|B)＝＝.故选A．

一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(AB)，P(A|B)．

解：如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，

所以n(AB)＝1，

所以P(AB)＝，P(A|B)＝＝.

1．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着．现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(　　)

A．  B．  C．  D．

D　解析：设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝，P(AB)＝×＝，则所求的概率为P(B|A)＝＝＝.

2．将三颗骰子各掷一次，设事件A为“三个点数都不相同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.

　　解析：P(A|B)的含义是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率．因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91(种)情况，“至少出现一个6点且三个点数都不相同”共有C×5×4＝60(种)情况，所以P(A|B)＝.

P(B|A)的含义是在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率．因为“三个点数都不相同”有6×5×4＝120(种)情况，所以P(B|A)＝.

考点3　全概率公式——基础性

有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.已知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？

解：设事件A为“任取一件为次品”，

事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1,2,3.

B1∪B2∪B3＝S，

由全概率公式得

P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)·P(B2)＋P(A|B3)P(B3)．

P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，

P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01，

故P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.

一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次，求第二次取到白球的概率．

解：A＝{第一次取到白球}，B＝{第二次取到白球}．

因为B＝AB∪B，且AB与B互斥，所以P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()·P(B|)＝×＋×＝0.6.

从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)

A．  B．  C．  D．

[四字程序]

思路参考：根据条件概率公式求解．

B　解析：P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝.由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝＝.

思路参考：缩小样本空间，利用古典概型概率公式求解．

B　解析：事件A包括的样本点为(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，共4个．

事件AB发生包含的样本点只有(2,4)一个，即n(AB)＝1.

故由古典概型概率P(B|A)＝＝.

本题考查条件概率求解问题．利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，这是求条件概率的通法．借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的样本点数n(AB)，得P(B|A)＝.这是将条件概率缩小样本空间转化为古典概型．这需要学生具有一定的数学运算求解能力、推理能力和表达能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．

现有3道理科题和2道文科题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为(　　)

A．  B．  C．  D．

C　解析：(方法一)设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，P(B|A)＝＝＝.故选C．

(方法二)在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道文科题，故在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为.故选C．