第8章 第8节　第2课时　范围、最值问题教案

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考点1 范围问题——综合性
(2020·蚌埠市高三第三次质检)如图，设抛物线C1：x2＝4y与C2：y2＝2px(p>0)在第一象限的交点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\f(t2,4)))，点A，B分别在抛物线C2，C1上，AM，BM分别与C1，C2相切．
(1)当点M的纵坐标为4时，求抛物线C2的方程；
(2)若t∈[1,2]，求△MBA面积的取值范围．
解：(1)由条件，eq \f(t2,4)＝4且t>0，解得t＝4，即点M(4，4)．
代入抛物线C2的方程，得8p＝16，所以p＝2，则抛物线C2的方程为y2＝4x.
(2)将点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\f(t2,4)))的坐标代入抛物线C2的方程，得p＝eq \f(t3,32).
设点A(x1，y1)，直线AM的方程为y＝k1(x－t)＋eq \f(t2,4).
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k1x－t＋\f(t2,4)，,x2＝4y，))消去y，化简得x2－4k1x＋4k1t－t2＝0，
则Δ＝16keq \\al(2,1)－4(4k1t－t2)＝0，
解得k1＝eq \f(t,2).
从而直线AM的斜率为eq \f(y1－\f(t2,4),x1－t)＝eq \f(y1－\f(t2,4),\f(y\\al(2,1),2p)－t)＝eq \f(y1－\f(t2,4),\f(16y\\al(2,1),t3)－t)＝eq \f(t3,44y1＋t2)＝eq \f(t,2)，
解得y1＝－eq \f(t2,8)，即点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t,4)，－\f(t2,8))).
设点B(x2，y2)，直线BM的方程为y＝k2(x－t)＋eq \f(t2,4)，
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k2x－t＋\f(t2,4)，,y2＝2px，))消去x，化简得y2－eq \f(2p,k2)y－2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(t2,4k2)))＝0.
则Δ＝eq \f(4p2,k\\al(2,2))＋8peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(t2,4k2)))＝0，代入p＝eq \f(t3,32)，解得k2＝eq \f(t,8).
从而直线BM的斜率为eq \f(y2－\f(t2,4),x2－t)＝eq \f(\f(x\\al(2,2),4)－\f(t2,4),x2－t)＝eq \f(x2＋t,4)＝eq \f(t,8)，解得x2＝－eq \f(t,2)，即点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(t,2)，\f(t2,16))).
|MB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(t,2)))eq \s\up8(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t2,4)－\f(t2,16)))eq \s\up8(2))＝eq \f(3t,16)eq \r(64＋t2)，
点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t,4)，－\f(t2,8)))到直线BM：y＝eq \f(t,8)x＋eq \f(t2,8)，即tx－8y＋t2＝0的距离为
d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(t2,4)＋t2＋t2)),\r(t2＋64))＝eq \f(9t2,4\r(t2＋64))，故△MBA的面积为S△MBA＝eq \f(1,2)|MB|·d＝eq \f(27t3,128).而t∈[1,2]，
所以△MBA面积的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(27,128)，\f(27,16))).
圆锥曲线中的取值范围问题的解题策略
(1)利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝eq \f(5,4)，求原点O到直线l的距离的取值范围．
解：(1)由题意知e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，2b＝2.
又a2＝b2＋c2，所以b＝1，a＝2.
所以椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))
得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，
化简得m20)与线段F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，所以m≠0.
又k>0，则k＝eq \f(1,2)，
故x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2.
因为直线y＝kx＋m(k>0)与线段F1F2及椭圆的短轴分别交于不同两点，
所以－eq \r(3)≤－2m≤eq \r(3)，
即－eq \f(\r(3),2)≤m≤eq \f(\r(3),2)，且m≠0，
所以|CD|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \f(\r(5),2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \f(\r(5),2)eq \r(－2m2－42m2－2)
＝eq \r(52－m2).
因为－eq \f(\r(3),2)≤m≤eq \f(\r(3),2)，且m≠0，
所以，当m＝eq \f(\r(3),2)或m＝－eq \f(\r(3),2)时，|CD|的最小值为eq \f(5,2).
在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1，A为椭圆C的右顶点，过原点且异于x轴的直线与椭圆C交于M，N两点，M在x轴的上方，直线AM与圆O的另一交点为P，直线AN与圆O的另一交点为Q.
(1)若eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(AM,\s\up6(→))，求直线AM的斜率；
(2)设△AMN与△APQ的面积分别为S1，S2，求eq \f(S1,S2)的最大值．
[四字程序]
思路参考：设直线AM的方程为y＝k(x－2)，keq \f(3,4).
由弦长公式得|PQ|＝eq \r(1＋k2)·eq \f(4\r(4k2－3),4k2＋1).
由点到直线的距离公式得点O到直线l的距离d＝eq \f(2,\r(1＋k2))，
所以S△OPQ＝eq \f(1,2)|PQ|×d＝eq \f(1,2)eq \r(1＋k2)×eq \f(4\r(4k2－3),4k2＋1)×eq \f(2,\r(1＋k2))＝eq \f(4\r(4k2－3),4k2＋1).
设eq \r(4k2－3)＝t(t>0)，则4k2＝t2＋3，所以S△OPQ＝eq \f(4t,t2＋4)＝eq \f(4,t＋\f(4,t))≤1，当且仅当t＝2，即k＝±eq \f(\r(7),2)时等号成立．
故所求直线l的方程为y＝eq \f(\r(7),2)x－2或y＝－eq \f(\r(7),2)x－2.
最值问题的2种基本解法
几何法
根据已知的几何量之间的相互关系，利用平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)
代数法
建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决(一般方法、基本不等式法、导数法等)
读
想
算
思
已知圆的方程和椭圆的方程，直线与圆、椭圆都相交
1.向量eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(AM,\s\up6(→))如何转化？
2.如何表示三角形的面积？
把eq \f(S1,S2)用直线AM的斜率k来表示
转化与化归
求直线AM的斜率，求△AMN与△APQ的面积之比
1.用A，P，M的坐标表示；
2.利用公式S＝eq \f(1,2)absin C表示并转化
eq \f(S1,S2)＝eq \f(|AM|·|AN|,|AP|·|AQ|)进而用基本不等式求其最大值
把面积之比的最大值转化为一个变量的不等式