第2章 第3节　函数的奇偶性与周期性教案

这是一份第2章 第3节　函数的奇偶性与周期性教案，共8页。教案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。
第三节　函数的奇偶性与周期性

一、教材概念·结论·性质重现
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象
偶函数
一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数
关于坐标原点对称


1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
2．若f (x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f (－x)＝f (x)⇔f (－x)－f (x)＝0⇔＝1⇔f (x)为偶函数；
(2)f (－x)＝－f (x)⇔f (－x)＋f (x)＝0⇔＝－1⇔f (x)为奇函数．
3．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f (x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f (0)＝0；如果函数f (x)是偶函数，那么f (x)＝f (|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f (x＋T)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数．非零常数T就叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x)的最小正周期(若不特别说明，T一般都是指最小正周期)．

周期函数定义的实质
存在一个非零常数T，使f (x＋T)＝f (x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．
3．函数周期性的常用结论
对f (x)定义域内任一自变量x，
(1)若f (x＋a)＝－f (x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f (x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f (x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
4．函数图象的对称性
(1)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，即f (a－x)＝f (a＋x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f (2a－x)＝f (x)或f (－x)＝f (2a＋x)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f (x＋b)是奇函数，即f (－x＋b)＋f (x＋b)＝0，则函数y＝f (x)的图象关于点(b,0)中心对称．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域关于坐标原点对称． (√)
(2)若函数f (x)为奇函数，则一定有f (0)＝0． (×)
(3)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称． (√)
(4)若函数y＝f (x＋b)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象关于点(b,0)中心对称． (√)
2．下列函数中为偶函数的是(　　)
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
B　解析：A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数．故选B．
3．已知f (x)满足f (x＋2)＝f (x)．当x∈[0,1]时，f (x)＝2x，则f 等于(　　)
A． B． C． D．1
B　解析：由f (x＋2)＝f (x)，知函数f (x)的周期T＝2，所以f ＝f ＝2＝.
4．已知f (x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－ B． C． D．－
B　解析：因为f (x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝. 又f (－x)＝f (x)，所以b＝0，所以a＋b＝.
5．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＝－，当x∈(0,2]时，f (x)＝2x－1，则f (9)＝________.
1　解析：因为f (x＋2)＝－，所以f (x＋4)＝f [(x＋2)＋2]＝f (x)，得T＝4，f (9)＝f (1)＝1.


考点1　函数奇偶性的判断——基础性

1．(多选题)设函数f (x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．|f (x)|是偶函数
B．－f (x)是奇函数
C．f (x)|f (x)|是奇函数
D．f (|x|)f (x)是偶函数
ABC　解析：因为f (x)＝，所以f (－x)＝＝－f (x)．所以f (x)是奇函数，所以|f (x)|是偶函数，－f (x)是奇函数．因为f (|－x|)＝f (|x|)，所以f (|x|)是偶函数，所以f (|x|)·f (x)是奇函数．故选ABC．
2．已知函数f (x)＝则该函数的奇偶性是________．
奇函数　解析：当x>0时，－xb>c B．c>a>b
C．b>c>a D．a>c>b
D　解析：因为偶函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，所以函数f (x)的周期为2.所以a＝f (－2.8)＝f (－0.8)，b＝f (－1.6)＝f (0.4)＝f (－0.4)，c＝ f (0.5)＝f (－0.5)．因为－0.8b.故选D．

解决函数的周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．

1．设f (x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f (x)＝2x(1－x)，则f ＝________.
－　解析：由题意可知，f ＝f ＝－f ＝－2××＝－.
2．已知函数g(x)是R上的奇函数，且当xf (x)，则实数x的取值范围是________．
(－3,2)　解析：因为g(x)是奇函数，所以当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)．易知f (x)在R上是增函数，由f (6－x2)>f (x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6