初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.3 相似三角形应用举例优秀课件ppt

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学习目标1. 能够利用相似三角形的知识，测量不能直接使用皮尺或刻度尺测量的高；2. 能够利用相似三角形的知识，测量不能直接测量的两点间的距离.
1. 在前面，我们学过哪些判定三角形相似的方法？相似三角形的性质是什么？2. 观察下列图片，你会利用相似三角形知识解决一些不能直接测量的物体（如塔高、河宽等）的长度或高度的问题吗？
世界上最高的树—— 红杉
世界上最高的楼——阿联酋哈利法塔
怎样测量这些非常高大物体的高度？
世界上最宽的河——亚马孙河
利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度或高度等问题
观察图形，你有什么发现吗？
一、利用相似三角形测量高度
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
测高方法一：利用太阳光测量物体的高度
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，测量金字塔的高度.
如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测OA得为201m，求金字塔的高度BO.
例1：他在金字塔影子的顶部立一根木杆.借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
解：太阳光是平行光线，由此 ∠BAO＝∠EDF，
又∠AOB＝∠DFE＝90°
∴ △ABO∽ △DEF．
因此金字塔的高为134m．
由于太阳离我们非常遥远，所以可以把太阳光线近似地看成平行光线．在同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比相等．利用太阳光测量物体的高度需要注意：（1）由于太阳相对于地面的位置在不停地改变，影长也随着太阳位置的变化而发生变化，因此要在同一时刻测量影长．（2）被测物体的底部必须在可以到达的地方，否则，测不到被测物体的影长，从而计算不出物体的高．
1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度，可在地面上竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB长的等式是 （ ） A． B． C． D．
2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的小刚同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是______米．
解：根据题意， ∵∠SBA=∠PBC，∠SAB=∠PCB， ∴△SAB∽△PCB
如图，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光源的反射光线，并测得AB＝10cm，BC＝20cm，PC⊥AC，且PC＝24cm，求点光源S到平面镜的距离即SA的长度.
所以SA的长度为12 cm.
测高方法二：利用镜子的反射测量物体的高度
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
∵∠EAF=∠BAO， ∠EFA=∠BOA，
如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 （ ）
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
方法一：如图，把镜子放在离树（AB）8 m点E处，然后沿着直线BE后退到D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.8 m ，观察者目高CD=1.6 m ；
通过以上的学习，同学们你有几种方法测量校园内的大树呢？
方法二：如图，把长为2.40 m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80 m ，标杆影长为1.47 m.
例2：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．
解：∵ ∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，
PQ×90＝（PQ＋45）×60，
∴ △PQR∽ △PST． ∴
因此河宽大约为90 m.
二、利用相似三角形测量河的宽度
小组讨论：测量例2中的河宽，你还有哪些方法？
反思小结：利用相似测量不能直接到达的两点间的距离，关键是构造相似三角形，构造的相似三角形可以为“A”字型的相似三角形，也可以构造“X”字型的相似三角形，并测量出必要的数据，然后根据相似三角形的性质求出所要求的两点间的距离．例2还可参照课本P41页练习2设计测量方案．
测量不能直接测量的两点间的距离，如河流的宽度时，常构造相似三角形求解.
1. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝800米，DC＝160米，EC＝25米，求两岸间的大致距离AB．
解：∵∠ADB＝∠EDC,
∠ABC＝∠ECD＝90°  
答： 两岸间的大致距离为125米．  
2. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD＝15 m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 m.
1. 小刚身高1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ） A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2m2. 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为______．
3. 在实践课上，王老师带领同学们到教室外利用树影测树高，他在一个时刻测得直立的标杆高1米，影长是0.9米，但同学们在同一时间测树影时，发现树影的上半部分落在墙CD上（如图所示），测得BC=2.7米，CD=1.2米，则树高为________米．
4. 如图，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 为 .
如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗杆的高度．
解：如图：过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E，∴ DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m，∵ 在同一时刻物高与影长成正比例，∴ EA : ED=1 : 1.2，∴ AE = 8 m，∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)，∴ 学校旗杆的高度为 10 m.
1.（3分）（2020•山西5/23）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ） A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称D．图形的相似
【解答】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似.故选：D．
2.（3分）（2021•吉林13/26）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1 m时，它离地面的高度DE为0.6 m，则坝高CF为 m．
相似三角形的应用主要有两个方面：
（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）
（1）“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；
（2）“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
（不能直接测量的两点间的距离）
测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解.
解决实际问题时（如测高、测距），一般有以下步骤：①审题；②构建图形；③利用相似解决问题.