初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用公开课ppt课件
展开28.2.2（2）应用举例（方位角问题）
同步练习
．
一、选择题
1．（2021•福建模拟）某轮船由西向东航行，在处测得小岛的方位是北偏东，继续航行7海里后，在处测得小岛的方位是北偏东，则此时轮船与小岛的距离是
A．3.5海里 B．4海里 C．7海里 D．14海里
2．（2021•广东模拟）如图，已知公路上，两点之间的距离为，已知在的南偏西的方向上，在的南偏西方向上，则点到公路的距离为
A． B． C． D．
3．（2021•南关区一模）如图，在岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到处时，发现岛在北偏东的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向，为航行安全，需要计算到的距离．下列算法正确的是
A． B． C． D．
4．（2021•越秀区二模）如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距 米．
A． B．
C． D．
5．（2021•长安区二模）如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点，分别为两岸上一点，且点在点正北方向，由点向正东方向走米到达点，此时测得点在点的北偏西方向上，则河宽的长为
A．米 B．米 C．米 D．米
6．（2021•二道区一模）如图，一艘海轮位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔40海里的处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的处，这时，处与灯塔的距离的长可以表示为
A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里
7．（2021•长清区一模）如图，一艘轮船在处测得灯塔在北偏西的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测得灯塔在北偏西的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为
A．海里 B．海里 C．40海里 D．海里
8．（2021•槐荫区二模）如图，一般客轮从小岛沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛正东方向相距海里的港口出发，沿北偏西方向航行，与客轮同时到达处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为
A． B． C． D．
9．（2021•安次区一模）如图，嘉淇一家驾车从地出发，沿着北偏东的方向行驶，到达地后沿着南偏东的方向行驶来到地，且地恰好位于地正东方向上，则下列说法正确的是
A．地在地的北偏西方向上
B．地在地的南偏西方向上
C．
D．
10．（2020•新泰市一模）如图，轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上，轮船从处以每小时40海里的速度沿南偏西方向匀速航行，1小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向上，则灯塔与码头的距离是
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
二、填空题。
11．（2021•宁波模拟）如图，海面上，两岛分别位于岛的正东和正北方向，岛与岛之间的距离约为36海里，岛在岛的南偏东方向，则，两岛之间的距离约为 海里（结果精确到0.1海里，参考数据：，，．
12．（2021•通城县模拟）如图，海中有个小岛，一艘轮船由西向东航行，在点处测得小岛位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距18海里，继续航行至点处，测得小岛在它的北偏西方向，此时轮船与小岛的距离为 海里．
13．（2021•荆州模拟）如图，某天然气公司的主输气管道从市的北偏东方向直线延伸，测绘员在处测得要安装天然气的小区在市北偏东方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达处，测得小区位于的北偏西方向．当在主输气管道上寻找支管道连接点，使到该小区铺设的管道最短时，的长为 米．
14．（2021•任城区校级一模）如图，某同学在附中红星校区处）测得他家位置在北偏西方向，当他沿红星路向西骑行600米到了市委处）的位置，又测得他家在北偏西方向，该同学每天从家处）出发，先向正南骑行到路口处，再沿红星路向东到红星校区上学，假设他骑行的速度是250米分，请你帮他计算一下，他从家到学校大约用 分钟．（结果精确到1分钟，
15．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔50海里的处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时处与灯塔的距离为 海里（结果保留根号）．
16．（2021春•龙华区期末）如图，是一条东西走向的海岸线，在码头的北偏东且距离该码头50海里的处有一艘轮船，该轮船正以20海里时的速度向海岸驶来，那么该轮船到达海岸所需要的最少时间为 小时．
17．（2021春•香坊区期末）如图，某货船以24海里时的速度从处向正东方向的处航行，在点处测得岛在北偏东的方向上，该货船航行30分钟后到达处，此时测得该岛在北偏东的方向上，则在航行过程中货船与岛的最短距离是 海里．
18．（2021•如皋市二模）如图，热气球位于观测塔北偏西方向，距离观测塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔南偏西方向的处，这时，处与观测塔相距 ．（结果保留整数，参考数据：，，，，，
三、解答题。
19．如图，一艘海轮船位于灯塔北偏东方向，与灯塔距离为的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔南偏东方向的处，求此时轮船所在处与灯塔的距离．（参考数据：，，，，结果取整数）
20．（2021•诸城市三模）如图，在东西方向的海岸线上的两个码头和相距54海里，现有一货轮从码头出发沿正北方向航行9海里到达点处，测得灯塔在点的北偏西方向上，已知灯塔在码头的北偏东方向，求此时货轮与灯塔的距离．
21．（2021•达拉特旗三模）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地和人工智能科技馆参观学习．如图，学校在点处，位于学校的东北方向，位于学校南偏东方向，在的南偏西方向处．学生分成两组，第一组前往地，第二组前往地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是，第二组乘公交车，速度是．
（1）求学校到红色文化基地的距离？
（2）哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
22．（2021•绥中县一模）为了丰富学生社会实践活动，学校组织学生到红色文化基地和人工智能科技馆参观学习．如图，学校在点处，位于学校的北偏东方向，位于学校南偏东方向，在的南偏西方向处．学生分两组同时从学校出发，第一组乘客车去地，第二组乘公交车前往地，客车的速度是，公交车的速度是，哪组同学先到达目的地？请说明理由．
23．（2021秋•岱岳区校级月考）如图，小明从处出发，沿北偏东方向以的速度步行后到达处，接着向正南方向步行一段时间后到达终点，在处观测到出发时所在的处在北偏西方向上，求小明步行的总路程．（精确到，参考数据：，，，，
24．（2021•洛阳一模）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在处测得北偏东方向上，距离为20海里的处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东的方向前往监视巡查，经过一段时间，在处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中大约行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：，，，，
28.2.2(2)应用举例(方位角问题)答案解析
一．选择题。
1．（2021•福建模拟）某轮船由西向东航行，在处测得小岛的方位是北偏东，继续航行7海里后，在处测得小岛的方位是北偏东，则此时轮船与小岛的距离是
A．3.5海里 B．4海里 C．7海里 D．14海里
【分析】先过作的垂线，在直角中可以求得的度数是，即可证明是等腰三角形，即可求解．
【解析】如图，过作于点，
，
且，，
，
（海里）．
解法二：由题意，，，
，
，
（海里）．
故选：．
2．（2021•广东模拟）如图，已知公路上，两点之间的距离为，已知在的南偏西的方向上，在的南偏西方向上，则点到公路的距离为
A． B． C． D．
【分析】作直线于点，由已知证得，，由等腰三角形的判定得到，在中，根据计算可求得．
【解析】如图，过点作直线于点，
，
，，，
，，，
，
，
在中，
，
，
故选：．
3．（2021•南关区一模）如图，在岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到处时，发现岛在北偏东的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向，为航行安全，需要计算到的距离．下列算法正确的是
A． B． C． D．
【分析】先求出的度数，再通过解直角三角形求解．
【解析】由题意可得轴，
，
，
即，
．
故选：．
4．（2021•越秀区二模）如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距 米．
A． B．
C． D．
【分析】本题可通过构建直角三角形来解答，过点作的垂线交于，是直角三角形和的公共直角边，要先求出的值然后再求，的值，进而得出的长．
【解析】过点作的垂线交于，
点在点的正东方向上，
，，
在中，，
（米，
（米，
在中，，
（米．
故选：．
5．（2021•长安区二模）如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点，分别为两岸上一点，且点在点正北方向，由点向正东方向走米到达点，此时测得点在点的北偏西方向上，则河宽的长为
A．米 B．米 C．米 D．米
【分析】连接，，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解析】连接，，
由题意得，，，米，
，
，
故选：．
6．（2021•二道区一模）如图，一艘海轮位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔40海里的处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的处，这时，处与灯塔的距离的长可以表示为
A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里
【分析】根据已知条件得出，再根据海里和正弦定理即可求出的长．
【解析】一艘海轮位于灯塔的南偏东方向，
，
海里，
海里；
故选：．
7．（2021•长清区一模）如图，一艘轮船在处测得灯塔在北偏西的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测得灯塔在北偏西的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为
A．海里 B．海里 C．40海里 D．海里
【分析】过作于，解直角三角形求出和，即可解决问题．
【解析】过作于，如图所示：
在中，，海里，
（海里），（海里），
，，
，
是等腰直角三角形，
（海里），
海里，
故选：．
8．（2021•槐荫区二模）如图，一般客轮从小岛沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛正东方向相距海里的港口出发，沿北偏西方向航行，与客轮同时到达处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为
A． B． C． D．
【分析】过作于，设，根据特殊三角形的性质，分别用含的代数式表示出，，根据的长求出，再根据勾股定理求出，，即可得到答案．
【解析】过作于，
设，
由题意得，，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
即海里，
海里，海里，
时间一定时速度与路程成正比，
客轮与补给船的速度之比为，
故选：．
9．（2021•安次区一模）如图，嘉淇一家驾车从地出发，沿着北偏东的方向行驶，到达地后沿着南偏东的方向行驶来到地，且地恰好位于地正东方向上，则下列说法正确的是
A．地在地的北偏西方向上
B．地在地的南偏西方向上
C．
D．
【分析】先根据题意画出图形，再根据平行线的性质及方向角的描述方法解答即可．
【解析】如图所示，
由题意可知，，，
，即在处的北偏西，故错误；
，
，即在处的北偏西，故错误；
，
，
，故正确；
，即公路和的夹角是，故错误．
故选：．
10．（2020•新泰市一模）如图，轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上，轮船从处以每小时40海里的速度沿南偏西方向匀速航行，1小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向上，则灯塔与码头的距离是
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【分析】过作于点，根据题意分别求出的度数和的长，根据锐角三角函数的定义、等腰直角三角形的性质计算，得到答案．
【解析】过作于点，如图所示：
由题意得，，（海里），
则，
，
，
在中，（海里），
在中，，
则，
故选：．
二、填空题。
11．（2021•宁波模拟）如图，海面上，两岛分别位于岛的正东和正北方向，岛与岛之间的距离约为36海里，岛在岛的南偏东方向，则，两岛之间的距离约为 33.5 海里（结果精确到0.1海里，参考数据：，，．
【分析】在中，利用正切函数的定义可得，将数值代入计算即可求解．
【解析】由题意得，海里，．
在中，，
海里．
故、两岛之间的距离约为33.5海里．
故答案为：33.5．
12．（2021•通城县模拟）如图，海中有个小岛，一艘轮船由西向东航行，在点处测得小岛位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距18海里，继续航行至点处，测得小岛在它的北偏西方向，此时轮船与小岛的距离为 海里．
【分析】如图，过点作于点，根据题意可得，，，海里，再根据锐角三角函数即可求出轮船与小岛的距离．
【解析】如图，过点作于点，
根据题意可知：
，，海里，
在中，（海里），
在中，，
（海里）．
答：此时轮船与小岛的距离为海里．
故答案为：．
13．（2021•荆州模拟）如图，某天然气公司的主输气管道从市的北偏东方向直线延伸，测绘员在处测得要安装天然气的小区在市北偏东方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达处，测得小区位于的北偏西方向．当在主输气管道上寻找支管道连接点，使到该小区铺设的管道最短时，的长为 1500 米．
【分析】过作东西方向线的平行线交过的南北方向线于，过作交于点，即最短，根据方向角可以证得，再求得的长、的长，进而求得的长．
【解析】如图，过作东西方向线的平行线交过的南北方向线于，过作交于点，
则最短，
，，
，
，
又处看点为北偏西，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
米，
（米，
即该小区铺设的管道最短时，的长为1500米，
故答案为：1500．
14．（2021•任城区校级一模）如图，某同学在附中红星校区处）测得他家位置在北偏西方向，当他沿红星路向西骑行600米到了市委处）的位置，又测得他家在北偏西方向，该同学每天从家处）出发，先向正南骑行到路口处，再沿红星路向东到红星校区上学，假设他骑行的速度是250米分，请你帮他计算一下，他从家到学校大约用 11 分钟．（结果精确到1分钟，
【分析】解直角三角形求出、以及的长，即可解决问题．
【解析】由题意得：，，，米，
则，是等腰直角三角形，
，
，
米，
解得：米，
米，
米，
（分钟），
即某同学从家到学校大约用11分钟，
故答案为：11．
15．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔50海里的处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时处与灯塔的距离为 海里（结果保留根号）．
【分析】过点作，在中由锐角三角函数定义求出的长，再在中由锐角三角函数定义求出的长即可．
【解析】过作于，如图所示：
由题意得：，，海里，
在中，，
（海里），
在中，，
（海里），
故答案为：．
16．（2021春•龙华区期末）如图，是一条东西走向的海岸线，在码头的北偏东且距离该码头50海里的处有一艘轮船，该轮船正以20海里时的速度向海岸驶来，那么该轮船到达海岸所需要的最少时间为 小时．
【分析】过作于，由题意得到，，解直角三角形即可得到（海里），于是得到结论．
【解析】过作于，
则，，
海里，
（海里），
该轮船到达海岸所需要的最少时间为（小时），
答：该轮船到达海岸所需要的最少时间为小时，
故答案为：．
17．（2021春•香坊区期末）如图，某货船以24海里时的速度从处向正东方向的处航行，在点处测得岛在北偏东的方向上，该货船航行30分钟后到达处，此时测得该岛在北偏东的方向上，则在航行过程中货船与岛的最短距离是 海里．
【分析】作于，根据三角形的外角性质求出，得到，求出，根据正弦的定义计算即可．
【解析】作于，
由题意得，，，
，
，
（海里），
在中，（海里），
故答案为：．
18．（2021•如皋市二模）如图，热气球位于观测塔北偏西方向，距离观测塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔南偏西方向的处，这时，处与观测塔相距 128 ．（结果保留整数，参考数据：，，，，，
【分析】在中，根据三角函数的定义求出，在中，根据三角函数的定义即可求出．
【解析】由已知得，，，，
在中，，
，
在中，，
，
答：这时，处距离观测塔约有，
故答案为：128．
三、解答题。
19．如图，一艘海轮船位于灯塔北偏东方向，与灯塔距离为的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔南偏东方向的处，求此时轮船所在处与灯塔的距离．（参考数据：，，，，结果取整数）
【分析】过点作于点，则在中易得的长，再在直角中求出．
【解析】过点作于点，
由题意知，，，，
，，
中，，
，
中，，
，
答：轮船所在处与灯塔的距离约为．
20．（2021•诸城市三模）如图，在东西方向的海岸线上的两个码头和相距54海里，现有一货轮从码头出发沿正北方向航行9海里到达点处，测得灯塔在点的北偏西方向上，已知灯塔在码头的北偏东方向，求此时货轮与灯塔的距离．
【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，设，解直角三角形即可得到答案．
【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为；
设．
在中，，
，，
由题意可得，四边形为矩形，
海里，，
在中，，，
，
海里，
．
解得，，
，
此时货轮与灯塔的距离为海里．
21．（2021•达拉特旗三模）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地和人工智能科技馆参观学习．如图，学校在点处，位于学校的东北方向，位于学校南偏东方向，在的南偏西方向处．学生分成两组，第一组前往地，第二组前往地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是，第二组乘公交车，速度是．
（1）求学校到红色文化基地的距离？
（2）哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
【分析】（1）过点作于，在中证得，设，则，在中，，利用三角函数定义表示出的长，在中，利用三角函数表示出的长，由列出方程问题得解；
（2）根据速度求得第一组用时：；第二组用时：，于是得到结论．
【解析】（1）作于．
依题意得，
，，，
，
．
在中，，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
；
（2）第二组先到达目的地，
理由：，
，
第一组用时：；第二组用时：，
，
第二组先到达目的地，
答：第二组先到达目的地．
22．（2021•绥中县一模）为了丰富学生社会实践活动，学校组织学生到红色文化基地和人工智能科技馆参观学习．如图，学校在点处，位于学校的北偏东方向，位于学校南偏东方向，在的南偏西方向处．学生分两组同时从学校出发，第一组乘客车去地，第二组乘公交车前往地，客车的速度是，公交车的速度是，哪组同学先到达目的地？请说明理由．
【分析】作于．设，根据平行线的性质得到，得到，求得，解直角三角形即可得到答案．
【解析】第二组先到，
理由：作于．
设，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，，
第一组用时：；第二组用时：，
，
第二组先到达目的地．
23．（2021秋•岱岳区校级月考）如图，小明从处出发，沿北偏东方向以的速度步行后到达处，接着向正南方向步行一段时间后到达终点，在处观测到出发时所在的处在北偏西方向上，求小明步行的总路程．（精确到，参考数据：，，，，
【分析】过点作于点，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，计算即可．
【解析】如图，过点作于点，
由题意，得，，，
在中，，
，，
在中，，，
，
小明步行的总路程为：．
24．（2021•洛阳一模）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在处测得北偏东方向上，距离为20海里的处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东的方向前往监视巡查，经过一段时间，在处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中大约行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：，，，，
【分析】过点作交线段延长线于点，证是等腰直角三角形，得，由勾股定理得，，然后由求出，进而求解．
【解析】如图，过点作交线段延长线于点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
海里，
解得：海里，
海里海里，
（海里），
答：我海监执法船在前往监视巡查的过程中大约行驶了66海里．
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