2021年北京丰台区十二中（本部）八年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京丰台区十二中（本部）八年级下期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 2017 年 6 月北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P−2,3．作 PA⊥y轴，垂足为点 A，那么 PA 的长为
A. 2B. 3C. 5D. 13

3. 若一个多边形的每一个内角都是 140∘，则这个多边形是
A. 七边形B. 八边形C. 九边形D. 十边形

4. 下表中的每一对 x，y 的值都是方程 y=x+3 的一个解：
x⋯−4−3−2−1012⋯y⋯−1012345⋯
① y 的值随着 x 的增大而增大；
②当 x<0 时，y 的值大于 3；
③当 x<−3 时，y 的值小于 0．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③

5. 用配方法解方程 x2+4x+1=0，经过配方，得到
A. x+22=5B. x−22=5C. x−22=3D. x+22=3

6. 如图，点 O 为矩形 ABCD 的对角线交点，点 E 从点 A 出发沿 AB 向点 B 运动，移动到点 B 停止，延长 EO 交 CD 于点 F，则四边形 AECF 形状的变化依次为
A. 平行四边形 → 正方形 → 平行四边形 → 矩形
B. 平行四边形 → 菱形 → 平行四边形 → 矩形
C. 平行四边形 → 正方形 → 菱形 → 矩形
D. 平行四边形 → 菱形 → 正方形 → 矩形

7. 某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为 x，则可列方程为
A. 801+x2=100B. 1001−x2=80
C. 801+2x=100D. 801+x2=100

8. 如图①，在长方形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD，DA 运动至点 A 停止，设点 P 运动的路程为 x，△ABP 的面积为 y，如果 y 与 x 之间的图象如图②所示，则长方形 ABCD 的面积是
A. 10B. 16C. 20D. 36

二、填空题（共8小题；共41分）
9. 一元二次方程的一般形式： ．

10. 函数 y=2x+1x−2 的自变量 x 的取值范围是 ．

11. 在平面直角坐标系中，点 A3,−1，B3,−7 是一对关于某直线 l 对称的对称点，则点 C−2,−13 关于直线 l 的对称点的坐标为 ．

12. 一次函数 y=x+b 的图象经过 1,3，则 b= ．

13. 在菱形 ABCD 中，∠A=60∘，其所对的对角线长为 4，则菱形 ABCD 的面积是 ．

14. 甲、乙两位同学在 10 次定点投篮训练中（每次训练投 8 个），各次训练成绩（投中个数）的折线统计图如图所示，他们成绩的方差分别为 s甲2 与 s乙2，则 s甲2 s乙2．（填“>”，“=”，“<”中的一个）

15. 若关于 x 的方程 x2−kx−12=0 的一个根为 3，则 k 的值为 ．

16. 研究二元一次方程组 a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2 的解与两直线 l1:a1x+b1y=c1 与 l2:a2x+b2y=c2（其中 6 个常数均不为零）位置关系的联系．（每小题前一个空选填“有一组”“无”或“有无数组”；后一个空选填“相交”“平行”或“重合”）
（1）当 a1a2≠b1b2 时，从“数”看，方程组 解；从“形”看，l1 与 l2 ．
（2）当 a1a2=b1b2≠c1c2 时，从“数”看，方程组 解；从“形”看，l1 与 l2 ．
（3）当 a1a2=b1b2=c1c2 时，从“数”看，方程组 解；从“形”看，l1 与 l2 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 解方程：x2−6x+8=0．

18. 配方法是一种常用的数学方法，用配方法将 6−25 写成平方形式的方式是：6−25=5+1−25=52+12−25=5−12．利用这个方法解决：
（1）5+26=（ ）2，5−26=（ ）2；
（2）化简 11−230+7−210；
（3）当 1≤x≤2 时，化简 x+2x−1+x−2x−1．

19. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=16，BC=8．若将矩形沿 AC 折叠，点 D 落在点 E 处，CE 与 AB 交于点 F，求 AF 的长．

20. 为了从甲、乙两名同学中选择一人去参加法律知识竞赛，在相同条件下对他们的法律知识进行了 10 次测验，成绩如下表（单位：分）：
甲76849084818788818584乙82868790798193907478
（1）请填写下表：
平均数中位数众数方差85分以上的频率甲84 8414.40.3乙8484 34
（2）利用（1）的信息，请你对甲、乙两名同学的成绩进行分析．

21. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AE=CF．求证：△BOE≌△DOF．

22. 如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 B 作 BE⊥CD 于点 E，点 F 在边 AB 上，AF=CE，连接 DF，CF．
（1）求证：四边形 DFBE 是矩形；
（2）当 CF 平分 ∠DCB 时，若 CE=3，BE=4，求 CD 的长．

23. 小芸在班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法．

24. 当解某些计算较复杂的一元二次方程时，可考虑用“缩根法”简化运算．“缩根法”是指将一元二次方程先转化成系数比原方程简单的新一元二次方程，然后解新一元二次方程，并将新方程的两根同时缩小，从而得到原方程的两个根．
已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0a≠0 的两个根分别为 x1=α，x2=β，求关于 x 的一元二次方程 p2ax2+pbx+c=0ap≠0 的两根．
解：因为 p2ax2+pbx+c=0ap≠0，
所以 apx2+b⋅px+c=0．
令 px=xʹ，得新方程 axʹ2+bxʹ+c=0．
因为新方程的解为 x1ʹ=α，x2ʹ=β，所以 px=α，px=β，所以原方程的两个根分别为 x1=αp，x2=βp．
这种解一元二次方程的方法叫做“缩根法”．
举例：用缩根法解方程 49x2+35x−24=0．
解：因为 49=72，35=5×7，所以 7x2+5×7x−24=0，令 7x=xʹ，得新方程 xʹ2+5xʹ−24=0．
解新方程，得 x1ʹ=3，x2ʹ=−8，所以 7x=3，7x=−8，
所以原方程的两个根分别为 x1=37，x2=−87．
请利用上面材料中的缩根法解下列方程：
（1）36x2−6x−1=0；
（2）3x2+160x−256000=0．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+bk≠0 的图象由函数 y=x 的图象平移得到，且经过点 1,2．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 x>1 时，对于 x 的每一个值，函数 y=mxm≠0 的值大于一次函数 y=kx+b 的值，直接写出 m 的取值范围．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l:y=kx+1k≠0 与直线 x=k，直线 y=−k 分别交于点 A，B，直线 x=k 与直线 y=−k 交于点 C．
（1）求直线 l 与 y 轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段 AB，BC，CA 围成的区域（不含边界）为 W．
①当 k=2 时，结合函数图象，求区域 W 内的整点个数；
②若区域 W 内没有整点，直接写出 k 的取值范围．

27. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上一点，F 是 AD 延长线上一点，BE=DF．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点 G 在 AD 边上，且 ∠GCE=45∘，BE=3，DG=5，求 GE 的长．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 Px,y 和点 Qx,yʹ，给出如下定义：若 yʹ=y, x≥0−y, x<0，则称点 Q 为点 P 的“调控变点”．例如：点 2,1 的“调控变点”为 2,1．
（1）点 −2,4 的“调控变点”为 ；
（2）若点 Nm,3 是函数 y=x+2 上点 M 的“调控变点”，求点 M 的坐标；
（3）点 P 为直线 y=2x−2 上的动点，当 x≥0 时，它的“调控变点”Q 所形成的图象如图所示（端点部分为实心点）．请补全当 x<0 时，点 P 的“调控变点”Q 所形成的图象．
答案
第一部分
1. D
2. A
3. C
4. C【解析】观察表格得，y 的值随着 x 的增大而增大；当 x<0 时，y 的值小于 3；当 x<−3 时，y 的值小于 0．
5. D
6. B
7. A
8. C【解析】∵ 动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD，DA 运动至点 A 停止，而当点 P 运动到点 C，D 之间时，△ABP 的面积不变，函数图象上横轴表示点 P 运动的路程，x=4 时，y 开始不变，说明 BC=4，x=9 时，接着变化，说明 CD=9−4=5，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=5，BC=4，
∴ 长方形 ABCD 的面积是：4×5=20．
故选C．
第二部分
9. ax2+bx+c=0（a≠0）
10. x≠2
【解析】求函数自变量的取值范围就是是求函数解析式有意义的条件，
此题中须使分式有意义，
即 x−2≠0．
解得 x≠2．
故自变量 x 的取值范围是 x≠2．
11. −2,5
12. 2
13. 83
【解析】如图所示：
因为在菱形 ABCD 中，∠BAD=60∘，其所对的对角线长为 4，
所以可得 AD=AB，故 △ABD 是等边三角形，
则 AB=AD=4，
故 BO=DO=2，
则 AO=42−22=23，
故 AC=43，
则菱形 ABCD 的面积是：12×4×43=83．
14. <
【解析】由折线统计图得乙同学的成绩波动较大，所以 s甲215. −1
【解析】把 x=3 代入方程 x2−kx−12=0 得：9−3k−12=0，
解得：k=−1．
16. 有一组，相交，无，平行，有无数组，重合
【解析】（1）当 a1a2≠b1b2 时，两直线 l1:a1x+b1y=c1 与 l2:a2x+b2y=c2 相交，
∴ 方程组 a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2 有唯一解．故答案为有一组，相交．
（2）当 a1a2=b1b2≠c1c2 时，两直线 l1:a1x+b1y=c1 与 l2:a2x+b2y=c2 平行，
∴ 方程组 a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2 无解．故答案为无，平行．
（3）当 a1a2=b1b2=c1c2 时，两直线 l1:a1x+b1y=c1 与 l2:a2x+b2y=c2 重合，
∴ 方程组 a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2 有无数组解．故答案为无数组，重合．
第三部分
17.
x2−6x+8=0.x−2x−4=0.∴x−2=0 或 x−4=0.∴x1=2,x2=4.
18. （1） 2+3；2−3
（2） 11−230+7−210=5−62+2−52=6−5+5−2=6−2.
（3） 因为 1≤x≤2，
所以
x+2x−1+x−2x−1=x−1+12+x−1−12=x−1+1+1−x−1=2.
19. ∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴CB=AD=AE，∠B=∠DAB=∠E=90∘，
在 △AEF 和 △CBF 中，
∠AFE=∠CFB,∠B=∠E,CB=AE,
∴△AEF≌△CBF，
∴EF=BF，
设 AF=x，则 BF=EF=16−x，
在 Rt△AEF 中，82+16−x2=x2，
x=10，
∴AF=10．
20. （1） 84；90；0.5
（2） ①甲、乙成绩的中位数、平均数都是 84；
②甲成绩的众数是 84，乙成绩的众数是 90，从成绩的众数看，乙的成绩好；
③甲成绩的方差是 14.4，乙成绩的方差是 34，从成绩的方差看，甲的成绩相对稳定；
④甲成绩 85 分以上的频率为 0.3，乙成绩 85 分以上的频率为 0.5，从 85 分以上的频率看，乙的成绩好．
21. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ BO=DO，AO=OC．
∵ AE=CF，
∴ AO−AE=OC−CF，即又 OE=OF．
∠BOE=∠DOF，OB=OD，
∴ △BOE≌△DOF．
22. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵AF=CE，
∴FB=ED．
∴ 四边形 DFBE 是平行四边形．
∵BE⊥CD，
∴∠BED=90∘．
∴ 四边形 DFBE 是矩形．
（2） 在 Rt△BEC 中，BE=4，CE=3，
∴CB=BE2+CE2=5．
∵CF 平分 ∠DCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠CFB，
∴∠BCF=∠CFB．
∴BF=CB=5．
∴DE=5．
∴CD=CE+DE=8．
23. （1）作 AB 的垂直平分线 CD 交 AB 于点 O；
（2）分别以 A，B 为圆心，以 AO（或 BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点 M，N；
（3）连接 OM，ON 即可．
24. （1） 因为 36=62，−6=−1×6，
所以
6x2−1×6x−1=0.
令 6x=xʹ，得新方程
xʹ2−xʹ−1=0.
解新方程，得
x1ʹ=1+52,x2ʹ=1−52.
所以
6x=1+52,6x=1−52.
所以原方程的两个根分别为
x1=1+512,x2=1−512.
（2） 原方程整理可得
9x2+160×3x−256000×3=0.
因为 9=32，所以
3x2+160×3x−768000=0.
令 3x=xʹ，得新方程
xʹ2+160xʹ−768000=0.
解新方程，得
x1ʹ=800,x2ʹ=−960.
所以
3x=800,3x=−960.
所以原方程的两个根分别为
x1=8003,x2=−320.
25. （1） ∵ 一次函数 y=kx+bk≠0 的图象．
由函数 y=x 的图象平移得到，
∴k=1．
∵ 一次函数 y=x+b 的图象过点 1,2，
∴1+b=2，
∴b=1．
∴ 这个一次函数的解析式为 y=x+1．
（2） m≥2．
【解析】当 x>1 时，函数 y=mxm≠0 的值都大于 y=x+1 的值，
即函数 y=mxm≠0 的图象在直线 y=x+1 上方，
临界条件为当 x=1 时，两条直线都过点 1,2，此时 m=2，
当 m>2 时，两个函数图象的交点向左移动，也能满足当 x>1 时，y=mxm≠0 的值都大于 y=x+1 的值，
∴m 的取值范围为 m≥2．
26. （1） 令 x=0，y=1，∴ 直线 l 与 y 轴的交点坐标 0,1．
（2） 由题意，Ak,k2+1，B−k−1k,−k，Ck,−k，
①当 k=2 时，A2,5，B−32,−2，C2,−2，
在 W 区域内有 6 个整数点：0,0，0,−1，1,0，1,−1，1,1，1,2；
②直线 AB 的解析式为 y=kx+1，
当 x=k+1 时，y=−k+1，则有 k2+2k=0，
所以 k=−2，
当 0>k≥−1 时，W 内没有整数点，
所以当 0>k≥−1 或 k=−2 时 W 内没有整数点．
27. （1） ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴BC=DC，∠B=∠ADC=∠FDC=90∘，
在 △CBE 和 △CDF 中，
EB=FD,∠B=∠FDC,BC=DC,
∴△CBE≌△CDFSAS，
∴CE=CF．
（2） 由（1）知 △CBE≌△CDF，
∴BE=DF，∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，
即 ∠ECF=∠BCD=90∘，
又 ∵∠GCE=45∘，
∴∠GCF=∠GCE=45∘，
在 △ECG 和 △FCG 中，
CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,
∴△ECG≌△FCGSAS，
∴GE=GF=DG+DF=DG+BE=5+3=8．
28. （1） −2,−4
（2） 设 M 的坐标为 m,m+2，
因为 Nm,3 是 M 的 m,m+2“调控变点”，
所以①当 m>0 时，
m+2=3，
m=1，
此时 M 的坐标为 1,3．
②当 m<0 时，
m+2=−3，
m=−5，
此时 M 的坐标为 −5,−3，
所以 M 的坐标为 1,3，−5,−3．
（3） 如下图：