2021年北京朝阳区东北师大朝阳学校（初中部）八年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区东北师大朝阳学校（初中部）八年级下期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图，点 A 与点 B 关于点 O 中心对称，则下列说法错误的是
A. O 为 AB 中点
B. 点 A，B，O 共线
C. 点 A 绕 O 旋转 90∘ 与点 B 重合
D. 点 A 绕 O 旋转 180∘ 与点 B 重合

2. 如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中 ∠1+∠2 的度数是
A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘

3. 数据 90，91，92，93 的标准差是
A. 2B. 54C. 54D. 52

4. 如图，一次函数 y1=x+b 与一次函数 y2=kx+4 的图象交于点 P1,3，则关于 x 的不等式 x+b>kx+4 的解集是
A. x>−2B. x>0C. x>1D. x<1

5. 平行四边形 ABCD 中，AC，BD 是对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形 ABCD 是矩形，那么这个条件是
A. AB=BCB. AC=BDC. AC⊥BDD. AB⊥BD

6. 如图，下列能使 △ABC 平移到 △AʹBʹCʹ 的是
A. 向左平移 3 个单位B. 向左平移 1 个单位
C. 向右平移 3 个单位D. 向上平移 1 个单位

7. 方程 x2+x−12=0 的两个根为
A. x1=−2，x2=6B. x1=−6，x2=2C. x1=−3，x2=4D. x1=−4，x2=3

8. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 AB 的中点，点 P 从点 E 出发做匀速运动，沿 E→A→D→C 移动至终点 C．设 P 点经过的路径长为 x，△CPE 的面积为 y，则下列图象能大致反映 y 与 x 的函数关系的是
A. B.
C. D.

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 某 5 人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为 s2=8.0，后来老师发现每人都少加了 2 分，每人补加 2 分后，这 5 人新成绩的方差 s新2= ．

10. 一个多边形的每一个外角为 30∘，那么这个多边形的边数是 ．

11. 若关于 x 的方程 x2−kx−12=0 的一个根为 3，则 k 的值为 ．

12. 如图，表示的是甲乙两人的运动图象：①甲的运动速度是 ，乙的运动速度是 ．②两人同时出发，相遇时，甲比乙多走 千米．

13. 请你写出一个过点 0,2，且 y 随 x 增大而减小的一次函数解析式 ．

14. 如图，在平行四边形 ABCD 中，添加一个条件 使平行四边形 ABCD 是菱形．

15. 如图，两面平行墙之间的距离为 19.1 米，两边留出等宽的行车道，中间划出停车位，每个停车位是长 5.4 米，宽 2.2 米的矩形，矩形的边与行车道边缘成 45∘ 角，则行车道宽等于 米．（2≈1.4）

16. 如图，⊙O 过点 B，C，圆心 O 在等腰直角三角形 ABC 的内部，∠BAC=90∘，OA=1，BC=6，则 ⊙O 的半径为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
17. 在四边形 ABCD 中，AD∥BC，且 AD>BC，BC=9 厘米．P，Q 分别从 A，C 同时出发，P 以 1 厘米/秒的速度由 A 向 D 运动．Q 以 2 厘米/秒的速度由 C 向 B 运动，问几秒时，四边形 ABQP 是平行四边形?

18. 用指定方法解下列方程：
（1）4x−12−36=0（直接开平方法）；
（2）x2+2x−3=0（配方法）；
（3）x+1x−2=4（公式法）；
（4）2x+1−xx+1=0（因式分解法）．

19. 直线 l1 过点 A−6,0，且与直线 l2:y=2x 相交于点 Bm,4．
（1）求直线 l1 的解析式；
（2）过动点 Pn,0 且垂直于 x 轴的直线与 l1，l2 的交点分别为 C，D，当点 C 位于点 D 上方时，直接写出 n 的取值范围．

20. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k−2=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值．

21. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC，对角线 AC，BD 交于点 O，AO=BO，DE 平分 ∠ADC 交 BC 于点 E，连接 OE．
（1）求证：四边形 ABCD 是矩形；
（2）若 AB=2，求 △OEC 的面积．

22. 为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部 360 名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分布直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．
某校某年级 360 名学生一分钟跳绳次数的频数表
组别次频数100∼13048130∼16096160∼190a190∼22072
（1）求 a 的值；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）求该年级一分钟跳绳次数在 190 次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．

23. 小明根据学习函数的经验，对 y=x+1x 的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）函数 y=x+1x 的自变量 x 的取值范围是 ；
（2）如表列出 y 与 x 的几组对应值，请写出 m，n 的值：m= ，n= ；
x⋯−3−2−1−12−1313121234⋯y⋯−103−52−2−52−103m52252n174⋯
（3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象．请完成：
①当 y=−174 时，x= ；
②写出该函数的一条性质 ；
③若方程 x+1x=t 有两个不相等的实数根，则 t 的取值范围是 ．

24. 如图，邻边不等的矩形花圃 ABCD，它的一边 AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是 6 m．若矩形的面积为 4 m2，求 AB 的长度（可利用的围墙长度超过 6 m）．

25. 如图，菱形 ABCD 的边长是 10 厘米，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC=12 厘米，点 P，N 分别在 BD，AC 上，点 P 从点 D 出发，以每秒 2 厘米的速度向终点 B 运动，点 N 从点 C 出发，以每秒 1 厘米的速度向点 A 运动，点 P 移动到点 B 后，点 P，N 停止运动．
（1）当运动多少秒时，△PON 的面积是 8 平方厘米；
（2）如果 △PON 的面积为 y，请你写出 y 关于时间 t 的函数表达式，

26. （1）如图 1，在正方形 ABCD 的边 CD 上任取一点 E，作 EF⊥CD，交 CH 于点 F，取 AF 的中点 H，连接 EH，BH．判断线段 EH 和 BH 有怎样的数量关系和位置关系?并加以证明；
（2）若将图 1 中的 △CEF 绕点 C 顺时针旋转 90 度，如图 2，判断线段 EH 和 BH 有怎样的数量关系和位置关系?不写证明，直接写出结论；
（3）若将图 1 中的 △CEF 绕点 C 顺时针旋转 180 度，如图 3，判断线段 EH 和 BH 有怎样的数量关系和位置关系?并加以证明；
答案
第一部分
1. C
2. C
3. D【解析】提示：x=91.5．
4. C
5. B
6. A
7. D
8. C【解析】通过已知条件可知，当点 P 与点 E 重合时，△CPE 的面积为 0；当点 P 在 EA 上运动时，△CPE 的 EP 边上的高 BC 不变，则其面积是 x 的一次函数，面积随 x 的增大而增大，当 x=2 时，有最大面积为 4；当点 P 在 AD 边上运动时，△CPE 的底边 EC 不变，其上的高越来越大，则其面积是 x 的一次函数，且面积随 x 的增大而增大，当 x=6 时，有最大面积为 8；当点 P 在 DC 边上运动时，△CPE 的 CP 边上的高（点 E 到 CD 的距离，即 BC 的长）不变，底边 CP 越来越小，则其面积是 x 的一次函数，面积随 x 的增大而减小，当 x=10 时，有最小面积为 0．
第二部分
9. 8.0
【解析】∵ 一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，
∴ 所得到的一组新数据的方差为 s新2=8.0．
10. 12
11. −1
【解析】把 x=3 代入方程 x2−kx−12=0 得：9−3k−12=0，
解得：k=−1．
12. 6 千米/时，4 千米/时，10
13. y=−x+2（答案不唯一）
【解析】设 y=kx+b（k≠0），因为 y 随 x 的增大而减小，则 k<0，不妨令 k=−1，则 y=−x+b，再将 0,2 代入，得 b=2，故 y=−x+2．
14. AB=BC 或 AC⊥BD
【解析】当 AB=BC 或 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形．
15. 5
16. 13
第三部分
17. 3 秒
18. （1） 原方程可变形为
x−12=9.
开方，得
x−1=±3,
所以
x1=4,x2=−2.
（2） 移项，得
x2+2x=3.
配方，得
x2+2x+1=4,
即
x+12=4,x+1=±2,
所以
x1=1,x2=−3.
（3） 原方程整理，得
x2−x−6=0,b2−4ac=1−4×1×−6=25>0
，
所以
x=1±252=1±52,
所以
x1=3,x2=−2.
（4） 原方程可变形为
x+12−x=0,
即
x+1=0或2−x=0,
所以
x1=−1,x2=2.
19. （1） 因为点 Bm,4 在直线 l2:y=2x 上，
所以 m=2．
设直线 l1 的解析式为 y=kx+bk≠0，
因为直线 l1 过点 A−6,0，B2,4，
所以 0=−6k+b,4=2k+b,
所以 k=12,b=3,
所以直线 l1 的解析式为 y=12x+3．
（2） n<2．
20. （1） ∵x2+2x+k−2=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=22−4k−2=−4k+12>0，
∴k<3．
（2） ∵ 若 k 为正整数，
∴k 的值是 1，2．
当 k=1 时，则有 x2+2x−1=0，Δ=8，方程的根不是整数，不合题意，舍去，
当 k=2 时，则有 x2+2x=0，则有 x1=0，x2=−2，
∴k 的值是 2．
21. （1） ∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180∘，∠ADC+∠BCD=180∘，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠BAD=∠BCD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵OA=OB，
∴AC=BD，
∴ 四边形 ABCD 是矩形．
（2） 作 OF⊥BC 于 F，如图所示．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴CD=AB=2，∠BCD=90∘，AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BF=FC，
∴OF=12CD=1，
∵DE 平分 ∠ADC，∠ADC=90∘，
∴∠EDC=45∘，
在 Rt△EDC 中，EC=CD=2，
∴△OEC 的面积 =12⋅EC⋅OF=1．
22. （1） a=360−48+96+72=144．
（2） 补全频数分布直方图如下：
（3） 该年级一分钟跳绳次数在 190 次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比为 72360×100%=20%．
23. （1） x≠0
【解析】∵x 在分母上，
∴x≠0．
（2） 103；103
【解析】当 x=13 时，y=x+1x=103；
当 x=3 时，y=x+1x=103．
（3） 连点成线，画出函数图象如图所示．
（4） −4 或 −14；函数图象在第一、三象限且关于原点对称（答案不唯一）；t<−2 或 t>2
【解析】①当 y=−174 时，有 x+1x=−174，解得：x1=−4，x2=−14；
②观察函数图象，可知：函数图象在第一、三象限且关于原点对称；
③ ∵x+1x=t 有两个不相等的实数根，
∴t<−2 或 t>2．
24. 设 AB=x m，
列方程，得
x6−2x=4,
解得
x1=1,x2=2舍
即
x1=1.
答：AB 的长度为 1 m．
25. （1） 设运动 t 秒时，△PON 的面积是 8 平方厘米，
126−t8−2t=8，
解方程得：t1=2，t2=8 均符合题意．
答：当运动 2 秒，8 秒时，△PON 的面积是 8 平方厘米．
（2） ① 0② 4③ 626. （1） EH=BH，EH⊥BH，理由如下：
延长 EF 交 AB 于点 G，并连接 HG．
在正方形 ABCD 中，EF⊥CD，即 EG⊥AB．
易知三角形 △AGF，△CEF 为等腰直角三角形，
四边形 CEGB 为矩形．
∵ 点 H 为 AF 的中点
∴GH=12AF=HF．
在等腰直角三角形 △AGF 中，点 H 为 AF 的中点，∠HGF=∠GFH=45∘，∠GHF=90∘，
∴∠HGB=∠HFE=135∘，
在等腰直角三角形 △CEF 和矩形 CEGB 中，GB=EC=EF，
∴△HGB≌△HFE .
∴BH=EH，∠GHB=∠FHE．
又 ∠GHF=90∘，即 ∠GHB+∠BHF=90∘，
∴∠EHF+∠BHF=90∘，即 BH⊥EH．
（2） EH=BH，EH⊥BH．
【解析】过 F 作 FG⊥AB 垂足为 G 交 CD 于 N，连接 AC，GH，CH .
∵△CEF 绕点 C 顺时针旋转 90 度，
∴B 、 C，E 共线．
∵∠ACD=45∘ ，
∴∠ACF=90∘ .
∵H 为 AF 中点，
∴CH=HF .
∵CE=EF，HE=HE ，
∴△HCE≌△HFE .
∴HE 平分 ∠CEF .
∴HE 与 CD 的交点为 N .
∵FG⊥AB，H 为 AF 中点，
∴GH=HF，GB=EF .
∴∠HGF=∠HFG .
∴∠HGB=∠HFE .
∴△HGB≌△HFE .
∴HB=HE，∠GBH=∠FEH=45∘ .
∵∠HEB=45∘ ，
∴HB⊥HE .
（3） EH=BH，EH⊥BH．理由如下：
延长 FE 交 AB 的延长线于点 G，并连接 HG．
在正方形 ABCD 中，EF⊥CD，即 FG⊥AB．
易知三角形 △AGF，△CEF 为等腰直角三角形，
四边形 CEGB 为矩形．
∵ 点 H 为 AF 的中点，
∴GH=12AF=HF．
在等腰直角三角形 △AGF 中，点 H 为 AF 的中点，
∠HGA=∠F=45∘，∠GHF=90∘．
在等腰直角三角形 △CEF 和矩形 CEGB 中，GB=EC=EF，
∴△HGB≌△HFE，
∴BH=EH，∠GHB=∠FHE．
又 ∠GHF=90∘，即 ∠FHE+∠EHG=90∘，
∴∠EHG+∠GHB=90∘，即 BH⊥EH．