2021年北京海淀区北京正德学校八年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区北京正德学校八年级下期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. P2,−3 关于 x 轴对称的点是
A. −2,3B. 2,3C. −2,−3D. 2,−3

2. 如果一个多边形的每个内角都是 120∘，那么这个多边形是
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形

3. 下面四个图案依次是我国汉字中的“福禄寿喜”的艺术字图．这四个图案中是中心对称图形的是
A. ①②B. ②③C. ②④D. ②③④

4. 方程 xx−1=x 的解是
A. x=0B. x=2C. x1=0，x2=1D. x1=0，x2=2

5. 矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，如果 ∠ABO=70∘，那么 ∠AOB 的度数是
A. 40∘B. 55∘C. 60∘D. 70∘

6. 用配方法解方程 x2−2x−1=0，原方程应变形为
A. x−12=2B. x+12=2C. x−12=1D. x+12=1

7. 德国心理学家艾宾浩斯（H.Ebbinghaus）研究发现，遗忘在学习之后立即开始，遗忘是有规律的．他用无意义音节作记忆材料，用节省法计算保持和遗忘的数量．通过测试，他得到了一些数据，根据这些数据绘制出一条曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线，如图．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．小梅观察曲线，得出以下四个结论：①记忆保持量是时间的函数；②遗忘的进程是不均匀的，最初遗忘速度快，以后逐渐减慢；③学习后 1 小时，记忆保持量大约为 40%；④遗忘曲线揭示出的规律提示我们学习后要及时复习．其中错误的结论是
A. ①B. ②C. ③D. ④

8. 关于 x 的一元二次方程 kx2−2x+1=0 有两个实数根，那么实数 k 的取值范围是
A. k≤1B. k<1 且 k≠0C. k≤1 且 k≠0D. k≥1

9. 如图 1 所示，四边形 ABCD 为正方形，对角线 AC，BD 相交于点 O，动点 P 在正方形的边和对角线上匀速运动．如果点 P 运动的时间为 x，点 P 与点 A 的距离为 y，且表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，那么点 P 的运动路线可能为
A. A→B→C→AB. A→B→C→D
C. A→D→O→AD. A→O→B→C

10. 数学老师对小明在参加中考前的 5 次数学模拟考试成绩进行统计分析，判断小明的数学成绩是否稳定，那么老师需要知道小明这 5 次数学成绩的
A. 平均数或中位数B. 方差或极差
C. 众数或中位数D. 众数或平均数

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. “四个一”活动自 2014 年 9 月启动至今，北京市已有 60 万中小学生参观了天安门广场的升旗仪式．如图是利用平面直角坐标系画出的天安门广场周围的景点分布示意图．如果这个坐标系分别以正东、正北方向为 x 轴、 y 轴的正方向，表示故宫的点的坐标为 0,1，表示中国国家博物馆的点的坐标为 1,−1，那么表示人民大会堂的点的坐标是 ．

13. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O．如果 AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形 ABCD 成为平行四边形，这个条件可以是 ．（写出一种情况即可）

14. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx 和 y=−x+3 的图象如图所示，则关于 x 的一元一次不等式 kx<−x+3 的解集是 ．

15. 下面是“作已知角的平分线”的尺规作图过程．
已知：∠AOB．
求作：射线 OE，使 OE 平分 ∠AOB．
作法：如图，
（1）在射线 OB 上任取一点 C；
（2）以点 O 为圆心，OC 长为半径作弧，交射线 OA 于点 D；
（3）分别以点 C，D 为圆心，大于二分之一倍 OC 的长为半径作弧，两弧相交于点 E；
（4）作射线 OE．
请回答：该作图的依据是 ．

16. 函数 y=x−1 中，自变量 x 的取值范围是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
17. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知一次函数 y=−12x+1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．
（1）求 A，B 两点的坐标；
（2）在给定的坐标系中画出该函数的图象；
（3）点 M−1,y1，N3,y2 在该函数的图象上，比较 y1 与 y2 的大小．

18. 已知：如图，E，F 为平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，且 BE=DF．求证：AE∥CF．

19. 阅读下列材料：为引导学生广泛阅读古今文学名著，某校开展了读书月活动．学生会随机调查了部分学生平均每周阅读时间的情况，整理并绘制了如下的统计图表：请根据以上信息，解答下列问题：
学生平均每周阅读时间频数分布表
平均每周阅读时间x时频数频率0≤x<2100.0252≤x<4600.1504≤x<6a0.2006≤x<8110b8≤x<101000.25010≤x<12400.100合计4001.000
（1）在频数分布表中，a= ，b= ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果该校有 1600 名学生，请你估计该校平均每周阅读时间不少于 6 小时的学生大约有多少人．

20. “在线教育”指的是通过应用信息科技和互联网技术进行内容传播和快速学习的方法．“互联网 +”时代，中国的在线教育得到迅猛发展．请根据下面张老师与记者的对话内容，求 2014 年到 2016 年中国在线教育市场产值的年平均增长率．

21. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．根据学习平行四边形性质的经验，小文对筝形的性质进行了探究．
（1）小文根据筝形的定义得到筝形边的性质是 ；
（2）小文通过观察、实验、 猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”．请你帮他将证明过程补充完整．
已知：如图，在筝形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD．
求证： ．
证明：
（3）小文连接筝形的两条对角线，探究得到筝形对角线的性质是 ．（写出一条即可）

22. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+12m−1=0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）选择一个 m 的值，并求出此时方程的根．

23. 小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距 2400 米的邮局办事．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟 96 米的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留了 2 分钟后沿原路按原速返回．设他们出发后经过 t（分）时，小明与家之间的距离为 s1（米），小明爸爸与家之间的距离为 s2（米），图中折线 OABD，线段 EF 分别表示 s1，s2 与 t 之间的函数关系的图象．
（1）求 s2 与 t 之间的函数表达式；
（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸?

24. 已知：如图，正方形 ABCD 中，点 F 是对角线 BD 上的一个动点．
（1）如图 1，连接 AF，CF，直接写出 AF 与 CF 的数量关系；
（2）如图 2，点 E 为 AD 边的中点，当点 F 运动到线段 EC 上时，连接 AF，BE 相交于点 O．
①请你根据题意在图 2 中补全图形；
②猜想 AF 与 BE 的位置关系，并写出证明此猜想的思路；
③如果正方形的边长为 2，直接写出 AO 的长．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，如果点 A，点 C 为某个菱形的一组对角的顶点，且点 A，C 在直线 y=x 上，那么称该菱形为点 A，C 的“极好菱形”．如图为点 A，C 的“极好菱形”的一个示意图．已知点 M 的坐标为 1,1，点 P 的坐标为 3,3．
（1）点 E2,1，F1,3，G4,0 中，能够成为点 M，P 的“极好菱形”的顶点的是 ；
（2）如果四边形 MNPQ 是点 M，P 的“极好菱形”．
① 当点 N 的坐标为 3,1 时，求四边形 MNPQ 的面积；
② 当四边形 MNPQ 的面积为 8，且与直线 y=x+b 有公共点时，写出 b 的取值范围．

26. 解方程：x2−6x+8=0．
答案
第一部分
1. B【解析】P2,−3 关于 x 轴对称的点是 2,3．
2. B
3. C
4. D
5. A
6. A
7. C
8. C【解析】∵ 方程 kx2−2x+1=0 有两个实数根，
∴Δ=b2−4ac=−22−4k×1=4−4k≥0,
k≤1，且 k≠0．
9. A【解析】A、点 P 从 A 到 B 时，y 随 x 增大而正比例增大，从 B 到 C 时，y 随的 x 增大而曲线性增大，从 C 到 A 时，y 随 x 的增大而线性减小，此选项正确；
B、点 P 从 A 到 B 时，y 随 x 的增大而正比例的增大，从 B 到 C 时，y 随 x 的增大而曲线性增大，从 C 到 D 时，y 随 x 增大而曲线性减小，此选项不合题意；
C、点 P 从 A 到 D 时，y 随 x 的增大而线性增大，从 D 到 O 时，y 随 x 的增大而曲线性减小，从 O 到 A 时，y 随 x 的增大而线性减小，此选项不合题意；
D、点 P 从 A 到 O 时，y 随 x 的增大而线性增大，从 O 到 B 时，y 随 x 的增大而曲线性增大，从 B 到 C 时，y 随 x 的增大而非线性增大，此选项不合题意．
10. B
【解析】判断小明的数学成绩是否稳定，需看成绩的波动情况，故选B．
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. −1,−1
13. AB=CD 或 AD∥BC 等，答案不唯一
14. x<1
【解析】由图看出，函数 y=kx 与函数 y=−x+3 的图象的交点为 1,2，
因为当 x<1 时，kx<−x+3，
所以不等式 kx<−x+3 的解集为 x<1．
15. 三边对应相等的三角形全等；全等三角形的对应角相等．
16. x≥0
第三部分
17. （1） 令 y=0，则 x=2；
令 x=0，则 y=1．
∴ 点 A 的坐标为 2,0，点 B 的坐标为 0,1．
（2） 如图：
（3） ∵y=−12x+1 中，−12<0，
∴y 随 x 的增大而减小，
∵−1<3，
∴y1>y2．
18. 连接 AC 交 BD 于点 O，连接 AF，CE．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC．（平行四边形的对角线互相平分）
∵BE=DF，
∴OB−BE=OD−DF，即 OE=OF．
∴ 四边形 AECF 是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∴AE∥CF．
19. （1） 80；0.275
（2）
（3） 1600×0.275+0.250+0.100=1600×0.625=1000（人）．
20. 设 2014 年到 2016 年中国在线教育市场产值的年平均增长率是 x，
依题意，得
10001+x2=1440.
解得：
1+x=±1.2.
所以
x1=0.2,x2=−2.2舍.
答：2014 年到 2016 年中国在线教育市场产值的年平均增长率是 20%．
21. （1） 筝形的两组邻边分别相等
（2） ∠B=∠D
证明：连接 AC．
∵ AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠B=∠D．
（3） 筝形的两条对角线互相垂直（答案不唯一）
22. （1） ∵ Δ=m2−412m−1=m2−2m+4=m−12+3，
无论 m 取何值时，m−12≥0，
∴ m−12+3>0，即 Δ>0．
∴ 此方程有两个不相等的实数根．
（2） 当 m=0 时，原方程为 x2−1=0，
∴ x1=1，x2=−1．
23. （1） 由题意，可知 96t+s2=2400，即 s2=−96t+2400．
（2） 由题意，可知 A10,2400，B12,2400，D22,0．
设直线 BD 的函数关系式为 s1=kt+b，
∴12k+b=2400,22k+b=0,
∴k=−240,b=5280,
∴s1=−240t+5280．
当 s1=s2 时，−240t+5280=−96t+2400．
解得 t=20．
∴ 小明从家出发，经过 20 分钟在返回途中追上爸爸．
24. （1） AF=CF．
（2） ①补全图形：
② AF⊥BE．
证明思路如下：
（i）由四边形 ABCD 是正方形，
可得 AD=CD，∠ADB=∠CDB．
进而可得 △ADF≌△CDF．从而得到 ∠1=∠2．
（ii）由 E 为正方形 ABCD 的 AD 边的中点，可证 △ABE≌△DCE．
从而得到 ∠3=∠4．
（iii）由 ∠2+∠4=90∘ 可知 ∠1+∠3=90∘，进而可得 ∠AOE=90∘．
即 AF⊥BE．
③ 255．
25. （1） F，G
（2） ①∵M1,1，P3,3，N3,1，
∴MN=2，PN⊥MN，PN=2，
∵ 四边形 MNPQ 是菱形，
∴ 四边形 MNPQ 是正方形．
∴S四边形MNPQ=MN⋅PN=2×2=4．
②−4≤b≤4．
26.
x2−6x+8=0.x−2x−4=0.∴x−2=0 或 x−4=0.∴x1=2,x2=4.