2022届高考大一轮复习知识点精练： 平面向量的概念与表示

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练： 平面向量的概念与表示，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 下列说法中正确的是
A. 数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C. 向量的大小与方向有关
D. 向量的模可以比较大小

2. 关于空间向量的有关概念，以下说法正确的是
A. 零向量没有方向
B. 由方向向量即可确定一条直线
C. 方向相同的向量叫做相等向量
D. 任意两个非零空间向量都可以平移到同一个平面内

3. 如图所示，梯形 ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量 AB 与 DC 的关系是
A. AB=DCB. ∣AB∣=∣DC∣
C. AB>DCD. ABb；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若 a∥b，b∥c，则 a∥c．
A. 0B. 1C. 2D. 3

14. 下列说法正确的是
A. 若 a∥b，则 a=bB. 若 a=b，则 a=b
C. 若 a=b，则 a 与 b 共线D. 若 a≠b，则 a 一定不与 b 共线

15. 如图所示的四边形 ABCD 为等腰梯形，则向量 AB 与 DC 的关系是
A. AB=DCB. AB=DC
C. AB>DCD. AB0，a 与 b 的夹角 θ∈0,π4，且 a∘b 和 b∘a 都在集合 n2n∈Z 中，则 a∘b=
A. 12B. 1C. 32D. 52

二、填空题（共5小题；共29分）
21. 若 A 地位于 B 地正西方向 5 km 处，C 地位于 A 地正北方向 5 km 处，则 C 地相对于 B 地的位移的大小是 km，方向是 ．

22. 给出以下结论：
①空间任意两个共起点的向量是共面的；
②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；
③空间向量的加法满足结合律：a+b+c=a+b+c；
④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．
请将正确的说法题号填在横线上： ．

23. 已知在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC=60∘，则 ∣BD∣= ．

24. 如图所示，设 O 是正方形 ABCD 的中心，则下列结论正确的有 ．（填序号）
① AO=OC；
② AO∥AC；
③ AB 与 CD 共线；
④ AO=BO．

25. 判断题：
（1）AB 与 BA 是两平行向量．
（2）若 a 是单位向量，b 也是单位向量，则 a=b．
（3）长度相等且方向相反的两个向量不一定是平行向量．
（4）与任一向量都平行的向量为零向量．
（5）四边形 ABCD 是平行四边形，当且仅当 AB=DC．
（6）两向量相等，当且仅当它们的起点相同，终点也相同．
（7）若 a∥b，b∥c，则 a∥c．
（8）若 AB=AD，且 BA=CD，则四边形 ABCD 是菱形．
（9）若 AB 与 CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点必在同一直线上．
答案：
（1）√
（2）×
（3）×
（4）√
（5）√
（6）×
（7）×
（8）√
（9）×
解析：
（2）单位向量是模为 1 的向量，但方向不确定．
（6）两向量相等指的是模相等，方向相同．
（7）当 b=0 时，a 与 c 可以不共线．
（9）共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量在同一直线上．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 如图，四边形 ABCD 和 ABDE 都是菱形，若 ∣AE∣=3，求向量 EC 的模．

27. 设 O 是正方形 ABCD 对角线的交点，四边形 OAED，OCFB 都是正方形，在如图所示的向量中：
（1）分别找出与 AO，BO 相等的向量；
（2）找出与 AO 共线的向量；
（3）找出与 AO 模相等的向量；
（4）向量 AO 与 CO 是否相等?

28. 思考：
（1）平行向量是否一定方向相同?
（2）不相等的向量是否一定不平行?
（3）与任意向量都平行的向量是什么向量?
（4）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量?

29. （1）用有向线段表示两个相等的向量，如果起点相同，那么它们的终点是否相同?
（2）用有向线段表示两个模相等的向量，如果起点相同，那么它们的终点是否相同?

30. 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E，F，D 分别是 AC，AB，BC 的中点．
（1）写出与 EF 共线的向量；
（2）写出模与 EF 的模相等的向量；
（3）写出与 EF 相等的向量．

31. 一艘海上巡逻艇从港口向北航行了 30 km，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向 40 km 处有一艘渔船抛锚需救助．试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到出事地点之间的位移．
答案
第一部分
1. D【解析】不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确．
2. D【解析】零向量方向任意，但是并不是没有方向，故A错误；
方向向量可以平移，起点不固定，故B错误；
方向相同的向量大小不一定相同，故C错误；
向量可以平移，一定可以平移到共起点的位置，故D正确．
3. B【解析】∣AB∣ 与 ∣DC∣ 表示等腰梯形两腰的长度，故相等．
4. D【解析】①假命题．将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆．
②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量 a 与 b 的方向不一定相同．
③真命题．向量的相等满足传递性．
④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为 1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错．
⑤假命题．零向量的方向是任意的．
5. B
【解析】对于①，若向量 a，b 满足 ∣a∣=∣b∣，则向量 a，b 的大小相等，但方向不确定，所以 a=b 不一定正确，故①错误；
对于②，A，B，C，D 是不共线的四点，若“AB=DC”，则由平行四边形判定定理可知“四边形 ABCD 为平行四边形”，若“四边形 ABCD 为平行四边形”，则由平行四边形性质定理可知“对边平行且相等”，所以“AB=DC”，即“AB=DC”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件，故②正确；
对于③，若 a=b，则 ∣a∣=∣b∣ 且 a∥b；若 ∣a∣=∣b∣ 且 a∥b，则 a=b 或 a=−b，故③错误．
综上可知，正确的说法为②．
6. D【解析】对于A，单位向量的大小都相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，所以A错误；对于B，两个向量不相等，可以大小相等，方向不同，因而当 a≠b 时，可能 ∣a∣=∣b∣，所以B错误；对于C，两个向量的模相等，但方向可以不同，因而当 ∣a∣=∣b∣ 时，a 和 b 不一定平行，所以C错误；对于D，若两个向量的模不相等，则两个向量一定不相等，所以若 ∣a∣≠∣b∣，则 a≠b 成立，所以D正确．
故选D．
7. C【解析】因为 BA=CD，
所以四边形 ABCD 为平行四边形，
又 AB=AD，即邻边相等，
所以四边形 ABCD 为菱形．
8. D【解析】依题意有 OA−OB=3+i−−1+3i=4−2i，
即 BA 对应的复数是 4−2i．
9. B【解析】因为 O 是 △ABC 的外心，
所以 AO=BO=CO．
10. C
【解析】零向量与任一非零向量平行，故A说法正确；
零向量的模为 0，单位向量的模为 1，故B说法正确；
平行向量的方向相同或相反，故C说法错误；
平行向量也叫共线向量，故D说法正确．
故选C．
11. D
12. C【解析】由 BA=CD 可知，四边形 ABCD 为平行四边形，由 ∣AB∣=∣AD∣，可知平行四边形 ABCD 为菱形．
13. A【解析】对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；
对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；
对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；
对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；
对于⑤，b=0 时，a∥b，b∥c，但 a 与 c 不一定平行．
综上，以上正确的命题个数是 0．
故选：A．
14. C【解析】A中，当 a∥b 时，不能得到 a=b，A不正确；
B中，向量的模相等，但 a 与 b 的方向不确定，B不正确；
D中，a≠b，a 可与 b 共线．
15. B
【解析】AB 与 DC 表示等腰梯形两腰的长度，故 AB=DC．
16. A
17. C【解析】由已知，∣a∣=∣b∣=1，⟨a,b⟩=π3，所以 a+3b2=a2+9b2+6a⋅b=10+6csπ3=13，所以 a+3b=13．
18. D【解析】对于A，共线向量大小不一定相等，方向不一定相同，故错误；
对于B，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故错误；
对于C，平行向量一定是共线向量，故错误；
对于D，模为 0 的向量是零向量，它与任意一个向量是平行向量，正确．
19. D【解析】①相等的向量是指长度相等、方向相同，与起点位置无关，错；②长度相等的两个向量，方向未必相同，错；③ AB 与 DC 不一定相等，错；⑤ 0 与任意向量都共线，若 b＝0，则 a 与 c 不一定共线，错；⑥向量是用有向线段表示的，但不是有向线段．故只有④正确．
20. C
【解析】因为 a∘b=a⋅bb⋅b=abcsθ，b∘a=b⋅aa⋅a=bacsθ，
所以 a∘bb∘a=cs2θ．
又因为 θ∈0,π4，所以 csθ∈22,1，a∘bb∘a=cs2θ∈12,1．
又 a∘b 和 b∘a 都在集合 n2n∈Z 中，所以有 a∘bb∘a=34．
而 a≥b>0，所以 a∘b≥b∘a，
从而 a∘b=32，b∘a=12．
第二部分
21. 52，西北方向
22. ①③④
【解析】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有 3 个点，则 3 点共面，可知两向量共面，①正确；
②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误；
③中，空间向量加法满足结合律，③正确；
④中，由向量加法的三角形法则可知④正确．
故答案为：①③④．
23. 23
【解析】易知 AC⊥BD，且 ∠ABD=30∘，设 AC 与 BD 交于点 O，则 AO=12AB=1．在 Rt△ABO 中，易得 BO=3，
所以 BD=23，
所以 ∣BD∣=23．
24. ①②③
【解析】AO 与 OC 方向相同，长度相等，
所以①正确；
因为 A，O，C 三点在一条直线上，
所以 AO∥AC，②正确；
因为 AB∥DC，
所以 AB 与 CD 共线，③正确；
AO 与 BO 方向不同，
所以二者不相等，④错误．
25. ，，，，，，，，
第三部分
26. ∣EC∣=6．
27. （1） AO=BF，BO=AE．
（2） 与 AO 共线的向量有：BF，CO，DE．
（3） 与 AO 模相等的向量有：CO，DO，BO，BF，CF，AE，DE．
（4） 向量 AO 与 CO 不相等，因为它们的方向不相同．
28. （1） 不一定．
（2） 不一定．
（3） 零向量．
（4） 平行（共线）向量．
29. （1） 终点一定相同．
因为两个向量相等表示它们的有向线段的长度相等且方向相同，
所以当它们有相同的起点时，终点一定相同．
（2） 终点不一定相同．
有两种情况：
① 如果两个向量方向也相同，那么那么它们有相同的终点；
② 如果它们的方向不相同，那么它们的终点也不相同，但它们的终点在同一个圆上．
30. （1） 因为 E，F 分别是 AC，AB 的中点，
所以 EF∥BC，EF=12BC，
又因为 D 是 BC 的中点，
所以与 EF 共线的向量有 FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB．
（2） 模与 EF 的模相等的向量有 FE，BD，DB，DC，CD．
（3） 与 EF 相等的向量有 DB，CD．
31. （1） 如图，由于路程不是向量，与方向无关，所以总的路程为巡逻艇两次路程的和，即为 AB+BC=70km．
（2） 巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量，不仅有大小而且有方向，因而大小为 AC=AB2+BC2=50km，由于 sin∠BAC=45，故方向为北偏东 ∠BAC，其中 sin∠BAC=45．