2022届高考大一轮复习知识点精练：反函数

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：反函数，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知 fx=x5−a 且 f−1=0，则 f−11 的值是
A. 0B. 1C. −1D. 52

2. 已知函数 fx 与 gx=axa>0,且a≠1 互为反函数，且函数 gx 的图象过点 −2,4，则 f1+f2=
A. −1B. 0C. 1D. 14

3. 设 fx=3x+9，则 f−1x 的定义域是
A. 0,+∞B. 9,+∞C. 10,+∞D. −∞,+∞

4. 若函数 y=fx 的图象与 y=2x 的图象关于 y 轴对称，y=f−1x 为 y=fx 的反函数，则 y=f−1x2−2x 的单调增区间是
A. 1,+∞B. 2,+∞C. −∞,1D. −∞,0

5. 若定义在 R 上的奇函数 y=fx 存在反函数 y=f−1x，则下列所给的点中一定在函数 y=f−1x+1 的图象上的是
A. −ft−1,−tB. −ft+1,−t
C. −ft−1,−tD. −ft+1,−t

6. 已知函数 y=1−x2 在 D 上的反函数是它本身，则 D 可以是
A. −1,1B. 0,1C. 0,22D. 22,1

7. 若函数 y=fx 是函数 y=ax（a>0 且 a≠1）的反函数，其图象经过点 a,a，则 fx=
A. lg2xB. lg12xC. 12xD. x2

8. 若函数 y=fx 是函数 y=ax（a>0，且 a≠1）的反函数，且 f2=1，则 fx=
A. lg2xB. 12xC. lg12xD. 2x−2

9. 已知函数 y=fxx∈R 的反函数是 y=f−1xx∈R，则函数 y=f−1x−1x∈R 的反函数是
A. y=fx+1x∈RB. y=fx−1x∈R
C. y=fx+1x∈RD. y=fx−1x∈R

10. 函数 y=12x2+1x>2 的反函数是
A. y=2x−21≤x3
C. y=−2x−21≤x3

11. 下列关于函数 y=x∣x∣+4xx∈R 的反函数的结论，其中正确的是
A. 反函数为 y=x+4+2,x≥04−x−2,x0

17. 设函数 y=fx 的定义域是 R，对于下列四个命题：
（1）若函数 y=fx 是奇函数，则函数 y=ffx 是奇函数；
（2）若函数 y=fx 是周期函数，则函数 y=ffx 是周期函数；
（3）若函数 y=fx 是单调减函数，则函数 y=ffx 是单调减函数；
（4）若函数 y=fx 存在反函数 y=f−1x，且函数 y=fx−f−1x 有零点，则函数 y=fx−x 也有零点；
其中正确的命题共有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

18. 已知函数 gx=fx+x2 是奇函数，当 x>0 时，函数 fx 的图象与函数 y=lg2x 的图象关于 y=x 对称，则 g−1+g−2=
A. −7B. −9C. −11D. −13

19. 已知函数 fx=3x，函数 gx 是 fx 的反函数，若正数 x1，x2，⋯，x2018，x2019 满足 x1⋅x2⋯x2018⋅x2019=243，则 gx12+gx22+⋯+gx20172+gx20182+gx20192 的值等于
A. 4B. 8C. 10D. 32

20. 函数 y=ax（a>0，且 a≠1）的反函数的图象过点 a,a，则 a 的值为
A. 2B. 12C. 2 或 12D. 3

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知函数 fx 图象与函数 gx=2x 的图象关于 y=x 对称，则 f3= ．

22. 函数 y=2x 的反函数是 ．

23. 函数 fx=lg22x+4 的反函数为 y=f−1x，则 f−14= ．

24. 设函数 fx=1x+1 的反函数为 f−1x，则 f−12= ．

25. 函数 y=fxx0 且 a≠1）的反函数是 fx=lgax，
由 a=lgaa=12，得 fx=lg12x．
8. A【解析】函数 y=ax（a>0，且 a≠1）的反函数是 fx=lgax（a>0，且 a≠1），又 f2=1，即 lga2=1，所以 a=2，故 fx=lg2x．
9. A
10. B
11. B
12. C
13. B
14. B
15. A
16. A【解析】由 y=lg21+1x 得 x=12y−1，所以原函数的反函数为 y=12x−1．又由原函数的定义域可得原函数中 y>0，故反函数中 x>0．故选A．
17. B
18. C【解析】因为当 x>0 时，fx 的图象与函数 y=lg2x 的图象关于 y=x 对称，
所以当 x>0 时，fx=2x，
所以当 x>0 时，gx=2x+x2．
又 gx 是奇函数，
所以 g−1+g−2=−g1+g2=−2+1+4+4=−11．
19. C【解析】因为函数 fx=3x，函数 gx 是 fx 的反函数，
所以 gx=lg3x，
所以
gx12+gx22+⋯+gx20172+gx20182+gx20192=lg3x1⋅x2⋯x2018⋅x20192=2lg3x1⋅x2⋯x2018⋅x2019=2lg3243=2lg335=10.
20. B
第二部分
21. lg23
22. y=lg2x
23. 6
24. −12
25. −lg23,0
第三部分
26. 因为 gx 的图象与 fx=2x+14x+3 的图象关于直线 y=x 对称，
所以 gx 与 fx 互为反函数，由 2x+14x+3=2，解得 x=−56，
所以 g2=−56．
27. （1） 对数函数 y=lg16x 的底数为 16，
所以它的反函数是指数函数 y=16x．
（2） 指数函数 y=1ex 的反函数是对数函数 y=lg1ex．
（3） 指数函数 y=πx 的反函数为对数函数 y=lgπx．
（4） ①当 x∈−1,0 时，y∈0,1，此时 x=−y，得原函数的反函数是 y=−x，x∈0,1；
②当 x∈0,1 时，y=x2−1，y∈−1,0，x=y+1，得原函数的反函数是 y=x+1，x∈−1,0，
所以函数 y=x2,−1≤x3 时，此时 a−12>1，且 f1=fa−12，
所以此时 y=fx 没有反函数，即不满足性质①．
若 a+1≤2，即 1≤a≤3 时，函数 y=fx 在区间 1,+∞ 上是严格增函数，
所以函数 y=fx 有反函数，即满足性质①．
综上所述，a 的取值范围是 1,3．
（3） 任取 f1x=ax+b，f2x=cx+d∈A，
由性质①，a≠0 且 c≠0，不妨设 a≠1 且 c≠1（若 a=1，由性质②，b=0，所以 f1x=x；同理若 c=1，则 f2x=x）．
由性质③，函数 gx=f1f2x=acx+ad+b∈A，函数 hx=f2f1x=acx+bc+d∈A．
由性质①，h−1x=x−bc+dac∈A．
由性质③，h−1gx=acx+ad+b−bc+dac=x+ad+b−bc+dac∈A，
由性质②，方程 x+ad+b−bc+dac=x 有解，
所以 ad+b=bc+d，即 ba−1=dc−1．
由 f1x=x，可得 ax+b=x，x=−ba−1．
由 f2x=x，可得 cx+d=x，x=−dc−1．
由此可知：对于任意两个函数 f1x，f2x，存在相同的 x0 满足 f1x0=x0=f2x0．
所以，存在一个实数 x0，使得对一切 fx∈A，均有 fx0=x0．
31. （1） 由 f0=0，得 a=1，
所以 fx=2x−12x+1．
因为 fx+f−x=2x−12x+1+2−x−12−x+1=2x−12x+1+1−2x1+2x=0，
所以 f−x=−fx，即 fx 为奇函数．
（2） 因为 fx=y=2x−12x+1，对调 x，y，得 x=2y−12y+1，
所以 2y=1+x1−x（−1