2022届高考大一轮复习知识点精练：动态圆锥曲线问题的参数求解

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：动态圆锥曲线问题的参数求解，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 E:y2=2pxp>0 的焦点为 F，P 是抛物线 E 上位于第一象限内的任意一点，Q 是线段 PF 上的点，且满足 OQ=23OP+13OF，则直线 OQ 的斜率的最大值为
A. 22B. 3C. 1D. 2

2. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是坐标原点，则 ∣AF∣⋅∣BF∣ 的最小值是
A. 2B. 2C. 4D. 22

3. 设 F1，F2 是椭圆 x29+y24=1 的两焦点，A 与 B 分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记 s=2OP2−F1P⋅F2P，在动点的第一象限内从 A 沿椭圆向左上方运动到 B 的过程中，s 的大小的变化情况为
A. 逐渐变大B. 逐渐变小C. 先变大后变小D. 先变小后变大

4. 已知斜率为 k 的直线 n 与抛物线 C:y2=4x 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M1,m，m>0，则斜率 k 的取值范围是
A. −∞,1B. −∞,1C. 1,+∞D. 1,+∞

5. 抛物线 y2=2pxp>0 的焦点为 F，准线为 l，A，B 是抛物线上的两个动点，且满足 ∠AFB=π3．设线段 AB 的中点 M 在准线 l 上的投影为点 N，则 ∣MN∣∣AB∣ 的最大值是
A. 23B. 1C. 32D. 16

6. 抛物线 y2=2px（p>0）的焦点为 F，已知点 A 和 B 分别为抛物线上的两个动点．且满足 ∠AFB=120∘，过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则 ∣MN∣∣AB∣ 的最大值为
A. 3B. 1C. 233D. 33

7. 已知点 F1，F2 是椭圆 x2+2y2=2 的左、右焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么 ∣PF1+PF2∣ 的最小值是
A. 0B. 1C. 2D. 22

8. 已知过抛物线 C:y2=4x 焦点 F 的直线与 C 交于 P，Q 两点，交圆 x2+y2−2x=0 于 M，N 两点，其中 P，M 位于第一象限，则 1∣PM∣+4∣QN∣ 的值不可能为
A. 6B. 5C. 4D. 3

9. 设动点 A，B（A、B 不重合）在椭圆 9x2+16y2=144 上，椭圆的中心为 O，且 OA⋅OB=0，则 O 到弦 AB 的距离 OH 等于
A. 203B. 154C. 125D. 415

10. 已知以 F 为焦点的抛物线 C:y2=4x 上的两点 A，B，满足 AF=λFB13≤λ≤3，则弦 AB 的中点到 C 的准线的距离的最大值是
A. 2B. 83C. 103D. 4

11. 已知抛物线 y2=2pxp>0 的焦点为 F，过点 Mp,0 的直线交抛物线于 A，B 两点，若 AM=2MB，则 ∣AF∣∣BF∣=
A. 2B. 52C. 2D. 与 p 有关

12. 已知点 E 是抛物线 C：y2=2pxp>0 的对称轴与准线的交点，点 F 为抛物线 C 的焦点，点 P 在抛物线 C 上．在 △EFP 中，若 sin∠EFP=μ⋅sin∠FEP，则 μ 的最大值为
A. 22B. 32C. 2D. 3

13. 已知点 A1,−2，B2,0，P 为曲线 y=3−34x2 上任意一点，则 AP⋅AB 的取值范围为
A. 1,7B. −1,7
C. 1,3+23D. −1,3+23

14. 已知直线 l1:4x−3y+6=0 和直线 l2:x=−1，则抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是
A. 3716B. 115C. 2D. 74

15. 点 P1,1 是抛物线 C:y=x2 上一点，斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C 于点 A，B，且 PA⊥PB，设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，则
A. k=k1+k2B. 1k=1k1+1k2
C. 直线 l 过点 1,−2D. 直线 l 过点 −1,2

16. 如图，已知点 B 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的短轴位于 x 轴下方的端点，过 B 作斜率为 1 的直线交椭圆于点 M，点 P 在 y 轴上，且 MP∥x 轴，BP⋅BM=9，若点 P 的坐标为 0,t，则 t 的取值范围是
A. 0b>0 的离心率为 33，且椭圆 C 过点 32,22．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）过椭圆 C 右焦点的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且与圆 O:x2+y2=2 交于 E，F 两点，求 ∣AB∣⋅∣EF∣2 的取值范围．

30. 已知曲线 Γ:x216+y212=1 的左、右顶点分别为 A，B，设 P 是曲线 Γ 上的任意一点．
（1）当 P 异于 A，B 时，记直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1⋅k2 是定值；
（2）设点 C 满足 AC=λCBλ>0，且 ∣PC∣ 的最大值为 7，求 λ 的值．

31. 设 F1，F2 分别为椭圆 W：x22+y2=1 的左、右焦点，斜率为 k 的直线 l 经过右焦点 F2，且与椭圆 W 相交于 A，B 两点．
（1）求 △ABF1 的周长；
（2）如果 △ABF1 为直角三角形，求直线 l 的斜率 k．
答案
第一部分
1. D【解析】解法一：设 Px0,y0，Qx,y，Fp2,0，
由 OQ=23OP+13OF 可得：OQ−OP=13OF−13OP，
即 PQ=13PF，从而 x−x0,y−y0=13p2−x0,−y0，
即 x=4x0+p6，y=23y0，
所以 kOQ=yx=4y04x0+p，
根据 y02=2px0 得：kOQ=4y02y02p+p=42y0p+py0≤422y0p×py0=422=2．
解法二：取 x 轴上点 M，MO=12OF，M−p4,0，
设 l:y=kx+p4，l 与抛物线相切，即为最值，Δ=0，k=2．
2. C【解析】设直线 AB 的倾斜角为 θ，可得 ∣AF∣=21−csθ，∣BF∣=21+csθ，则 ∣AF∣⋅∣BF∣=21−csθ×21+csθ=4sin2θ≥4．
3. B
4. D【解析】设直线 l 为 y=kx+b，
所以联立直线 l 和抛物线 y=kx+b,y2=4x,
所以 k2x2+2kb−4x+b2=0，
又因为设 Ax1,y1，Bx2,y2，
所以 x1+x2=4−2kbk2，
y1+y2=kx1+x2+2b=4k，
又因为 x1+x22=1，y1+y22=m>0
所以 k2=2−kb，且 k>0，
又因为直线 l 与抛物线有两交点，
所以 Δ=2kb−42−4k2b2>0⇒kb2，所以弦 AB 的中点到 C 的准线的距离的最大值是 83．
11. B
12. C【解析】由题意得，准线 l：x=−p2，E−p2,0，Fp2,0，
过点 P 作 PH⊥l，垂足为 H，
则由抛物线定义可知 PH=PF，
于是 μ=sin∠EFPsin∠FEP=PEPF=PEPH=1cs∠EPH=1cs∠PEF．
因为 y=csx 在 0,π 上为减函数，
所以当 ∠PEF 取到最大值时（此时直线 PE 与抛物线相切），
计算可得直线 PE 的斜率为 1，从而 ∠PEF=45∘，所以 μmax=122=2．
13. A【解析】曲线 y=3−34x2 表示以 −1,0，1,0 为焦点的椭圆的上半部分，
设 Px,y，
所以 AP⋅AB=x−1,y+2⋅1,2=x+2y+3．
令 t=x+2y+3⇒y=−x−3+t2，如图，
当直线 l:y=−x−3+t2 过点 −2,0 时，t 取得最小值为 1；
当直线 l:y=−x−3+t2 与曲线相切时，t 取得最大值，为 7．
故选A．
14. C【解析】原问题等价为 ∣PF∣+d≤∣FM1∣，∣FM1∣=∣4−0+6∣42+32=2，具体如下图：
15. D
【解析】设 Ax1,x12，Bx2,x22，
则 k1=x12−1x1−1=x1+1，k2=x22−1x2−1=x2+1，
k=x12−x22x1−x2=x1+x2，
所以 k=k1+k2−2．
直线 l 的方程为 y−x12=x1+x2x−x1，
即 y=x1+x2x−x1x2，
因为 PA⊥PB，
所以 x1+1x2+1=−1，
即 x1+x2+2=−x1x2，
代入方程整理得 y−2=x1+x2x+1，
则直线 l 过点 −1,2．
16. D【解析】由 BP⋅BM=9 得 BP⋅BM⋅cs⟨BP,BM⟩=9，即可得 BP2=9，所以 b+t2=9，b+t=3．因为直线 BM 斜率为 1，且 a>b，如图：
OK=OB，K 在 ON 之间，所以点 M 必定在第一象限且点 M 的纵坐标取值范围为 0,b，即 0