2022届高考大一轮复习知识点精练：累加（乘）法求通项公式

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：累加（乘）法求通项公式，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知数列 an 满足 a1=0，an+1=an+2n−1，则数列 an 的一个通项公式为
A. an=n−1B. an=n−12C. an=n−13D. an=n−14

2. 已知数列 an 对任意的 n∈N∗ 有 an+1=an−1nn+1+1 成立，若 a1=1，则 a10 等于
A. 10110B. 9110C. 11111D. 12211

3. 黄金螺旋线又名鹦鹉螺曲线，是自然界最美的曲线．在一个黄金矩形（宽除以长约等于 0.6）中先以宽为边长作一个正方形，然后在剩下的矩形里面再以其中的宽为边长作一个正方形，以此循环作下去，最后在所形成的每个正方形里面画出 14 圆，把圆弧线顺次连接，得到的这条弧线就是黄金螺旋线了．现把每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积设为 cn，对应扇形的半径设为 an，an 满足 a1=1，a2=1，an=an−1+an−2n∈N+,n≥3，若将 cn 的每一项按照如图所示的方法放进格子里，每一小格子的边长为 1，记前 n 项所在的对应正方形的面积之和为 Sn，则下列结论错误的是
A. Sn+1=an+12+an+1⋅anB. a1+a2+⋯+an=an+2−1
C. 4cn+2−cn+1=πan⋅an+3D. a1+a3+a5+⋯+a2n−1=a2n−1

4. 已知数列 an 中满足 a1=15，an+1−ann=2，则 ann 的最小值为
A. 10B. 215−1C. 9D. 274

5. 已知数列 an 中，a1=1，an+1=an+n，则数列 an 的通项公式为
A. an=n2+n2B. an=n2−n2C. an=n2−n+22D. an=n2−n+1

6. 在数列 an 中，已知 a1=1，且对于任意的 m,n∈N∗，都有 am+n=am+an+mn，则数列 an 的通项公式为
A. an=nB. an=n+1C. an=nn−12D. an=nn+12

7. 已知 a1=1，an=nan+1−ann∈N∗，则数列 an 的通项公式是
A. an=nB. an=n+1nn−1C. an=n2D. an=2n−1

8. 已知数列 an 满足 a1=1，an∈Z，且 an+1−an−13n+1−12，则 a2019 等于
A. 32021−18B. 32020−18C. 32019−18D. 32018−18

9. 数列 an 满足 a1=43，an+1=an2−an+1n∈N∗，则 m=1a1+1a2+⋯+1a2018 的整数部分是
A. 1B. 2C. 3D. 4

10. 数列 an 中，对所有 n∈N∗，都有 a1a2a3⋯an=n2，则 a6=
A. 56B. 65C. 2536D. 3625

11. 在数列 an 中，a1=2，an+1=an+lg1+1n，则 an=
A. 2+lgnB. 2+n−1lgn
C. 2+nlgnD. 1+nlgn

12. 已知数列 an 满足 a1+a22+a33+⋯+ann=1−12n，则 an=
A. 1−12nB. 12n−3C. 12nD. n2n

13. 已知数列 an 中，a1=2，nan+1−an=an+1，n∈N∗，若对于任意的 a∈−2,2，n∈N∗，不等式 an+1n+12，则当 n>2 时，an−Sn−2 的值为
A. 1B. 2C. n+1D. n+2

15. 若数列 an 满足 a1=1，且对任意的 n∈N∗ 都有 an+1=an+n+1，则 1a1+1a2+⋯+1a2016 等于
A. 20162017B. 20152016C. 40302016D. 40322017

16. 一辆邮车从A地往B地运送邮件，沿途共有 n 地，依次记为 A1，A2，⋯An（A1 为A地，An 为B地）．从 A1 地出发时，装上发往后面 n−1 地的邮件各 1 件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各 1 件，记该邮车到达 A1，A2，⋯An 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为 akk=1,2,⋯,n．则 ak 的表达式为
A. kn−k+1B. kn−k−1C. nn−kD. kn−k

17. 数列 an 满足：a1=1，且对任意的 m,n∈N∗，都有 am+n=am+an+mn，则 1a1+1a2+1a3+⋯+1a2018=
A. 20172018B. 20182019C. 40342018D. 40362019

18. 数列 an 满足 a1=1，对任意的 n∈N∗ 都有 an+1+a1+an+n，则 1a1+1a2+⋯+1a2018 等于
A. 20172018B. 40362019C. 40382019D. 20182019

19. 已知数列 an 满足 an+1=an+n+1n∈N∗，且 a1=2，则 a10=
A. 54B. 55C. 56D. 57

20. 数列 an 满足 a1=1，且对于任意的 n∈N∗ 都有 an+1=a1+an+n，则 1a1+1a2+…+1a2015 等于
A. 40282015B. 20142015C. 40302016D. 20152016

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知数列 an 的首项是 a1=12，且 an+1=nann+2，则数列 an 的通项公式为 ．

22. 已知数列 an 的首项是 a1=12，且 an+1=nann+2，则数列 an 的通项公式为 ．

23. 在数列 an 中，a1=1，an+1=2n−an，则数列 an 的通项公式 an= ．

24. 数列 a1，a2−a1，a3−a2，⋯，an−an−1n≥2，⋯ 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，那么 an= ．

25. 已知数列 an，bn，其中数列 an 满足 an+10=ann∈N∗，前 n 项和 Sn 满足 Sn=−n2−21n+12n∈N∗,n≤10；数列 bn 满足 bn+12=bnn∈N∗，且 b1=1，bn+1=nn+1bnn∈N∗,n≤12，则数列 an⋅bn 的第 2020 项的值为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 已知数列 an 满足 a1=50，an+1=an+2nn∈N+．
（1）求 an 的通项公式；
（2）已知数列 bn 的前 n 项和为 an，若 bm=50，求正整数 m 的值．

27. 解答下列问题．
（1）已知数列 an 满足：a1=1，an+1=an2nan+1n∈N∗，求 an 的通项公式；
（2）在数列 an 中，已知 a1=3，3n+2an+1=3n−2ann∈N∗，an≠0，求 an．

28. 已知数列 an 满足 a1=23，an+1=nn+2an，求通项公式 an．

29. 数列 an 满足 a1=1，an=a1+2a2+⋯+n−1．an−1n≥2，求 an 的通项公式．

30. 对于数列 an，bn，Sn 为数列 an 的前 n 项和，且 Sn+1−n+1=Sn+an+n，a1=b1=1，bn+1=3bn+2，n∈N∗．
（1）求数列 an，bn 的通项公式；
（2）令 cn=2an+nnbn+1，求数列 cn 的前 n 项和 Tn．

31. 已知数列 an 中，a1=1，点 Pan,an+1，n∈N∗ 在直线 x−y+1=0 上．
（1）求数列 an 的通项公式．
（2）设 bn=1an，Sn 为数列 bn 的前 n 项和，试问：是否存在关于 n 的整式 gn，使得 S1+S2+⋯+Sn−1=Sn−1⋅gnn≥2,n∈N∗ 恒成立，若存在，写出 gn 的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】由 an+1=an+2n−1 得 an+1−an=2n−1，
所以
an=an−an−1+an−1−an−2+⋯a2−a1+a1=2n−3+2n−5+⋯+1+0=n−12,
a1=1−12，适用．
所以 an=n−12．
2. B【解析】已知 an+1=an−1nn+1+1，则 an+1−an=−1nn+1+1=−1n−1n+1+1=1−1n−1n+1，
所以有 a2−a1=1−11−12，
a3−a2=1−12−13，
a4−a3=1−13−14，
⋯
a10−a9=1−19−110，
两边同时相加得 a10−a1=9−1−110，
又因为 a1=1，
所以 a10=1+9−1−110=9110．
故选：B．
3. D【解析】由题意得 Sn+1 是以 an+1 为宽，an+2 为长的矩形的面积，
即 Sn+1=an+1an+2=an+1an+1+an=an+12+an+1⋅an，故A正确；
a1+a2+⋯+an=a3−a2+a4−a3+a5−a4+⋯+an+1−an+an+2−an+1=an+2−a2=an+2−1,
故B正确；
4cn+2−cn+1=4π4an+22−π4an+12=πan+2+an+1⋅an+2−an+1=πan+3⋅an,
故C正确；
a1+a3+a5+⋯+a2n−1=a1+a1+a2+a3+a4+⋯+a2n−3+a2n−2=a1+a3−a2+a4−a3+a5−a4+a6−a5+⋯+a2n−1−a2n−2+a2n−a2n−1=a2n−a2+a1,
因为 a1≠a2−1，
所以D错误．故选D．
4. D【解析】由 an+1−ann=2，可得 an−an−1=2n−1,an−1−an−2=2n−2,⋯a2−a1=2×1, 累加得 an=n2−n+15，所以 ann=n+15n−1，当 n=4 时，ann 最小，最小值为 274．
5. C
【解析】由 an+1=an+n，得 an−an−1=n−1n≥2．
又 a1=1，
an=an−an−1+an−1−an−2+⋯+a2−a1+a1=n−1+n−2+⋯+1+1=n−1+1n−12+1=n2−n+22.
6. D【解析】令 m=1，得 an+1=an+n+1，
所以 an+1−an=n+1，
所以 a2−a1=2，a3−a2=3，⋯，an−an−1=n，
所以 an−1=2+3+4+⋯+n，
所以 an=1+2+3+4+⋯+n=nn+12．
7. A
8. B【解析】因为 an+1−an−11，
即有 0