2022届高考大一轮复习知识点精练：抛物线的概念与方程

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：抛物线的概念与方程，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 设抛物线 y2=2pxp>0 的焦点为 F．若 F 到直线 y=3x 的距离为 3，则 p=
A. 2B. 4C. 23D. 43

2. 若抛物线 y2=2pxp>0 上的点 Ax0,2 到其焦点的距离是 A 到 y 轴距离的 3 倍，则 p 等于
A. 12B. 1C. 32D. 2

3. 顶点在原点，焦点是 0,5 的抛物线的方程是
A. y2=20xB. x2=20yC. y2=120xD. x2=120y

4. 设 O 为坐标原点，点 A1,0，动点 P 在抛物线 y2=2x 上，且位于第一象限，M 是线段 PA 的中点，则直线 OM 的斜率的范围为
A. 0,1B. 0,22C. 0,22D. 22,+∞

5. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点为 Fc,0 ，直线 x=a2c 与一条渐近线交于点 A，若 △OAF 的面积为 a22 （ O 为原点），则抛物线 y2=4abx 的准线方程为
A. x=−1B. x=−2C. y=−1D. y=−2

6. 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点 F 在 x 轴正半轴上，M 为圆 O:x2+y2=12 与 C 的一个交点，且 ∣MF∣=3，则 C 的标准方程是
A. y2=2xB. y2=3xC. y2=4xD. y2=6x

7. 已知双曲线 y24−x2=1 的两条渐近线分别与抛物线 y2=2pxp>0 的准线交于 A，B 两点．O 为坐标原点．若 △OAB 的面积为 1，则 p 的值为
A. 1B. 2C. 22D. 4

8. 设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y2=2pxp>0 上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且 PM=2MF，则直线 OM 的斜率的最大值为
A. 33B. 23C. 22D. 1

9. 已知抛物线 C1:y2=2pxp>0 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 E，线段 EF 被双曲线 C2:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的顶点三等分，且两曲线 C1，C2 的交点连线过曲线 C1 的焦点 F，曲线 C2 的焦距为 211，则曲线 C2 的离心率为
A. 2B. 322C. 113D. 222

10. 过点 A3,0 且与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹为
A. 圆B. 椭圆C. 直线D. 抛物线

11. 若抛物线 y2=ax 的焦点到其准线的距离是 2，则 a=
A. ±1B. ±2C. ±4D. ±8

12. 若点 A 的坐标为 3,2，F 是抛物线 y2=2x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使 ∣MF∣+∣MA∣ 取得最小值的 M 的坐标为
A. 0,0B. 12,1C. 1,2D. 2,2

13. 抛物线 y=mx2m≠0 的准线与直线 y=1 的距离为 3，则此抛物线的方程为
A. x2=−16yB. x2=8y
C. x2=16y 或 x2=−8yD. x2=8y 或 x2=−16y

14. 已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是准线 l 上一点，Q 是直线 PF 与抛物线 C 的一个交点．若 FP=4FQ，则 ∣QF∣=
A. 72B. 52C. 3D. 2

15. 点 M1,1 到抛物线 y=ax2 的准线的距离为 2，则 a 的值为
A. 14B. −112C. 14 或 −112D. −14 或 112

16. 已知抛物线 y2=4x 上一点 P 到准线的距离为 d1，到直线 l:4x−3y+11=0 的距离为 d2，则 d1+d2 的最小值为
A. 3B. 4C. 5D. 7

17. 我们称点 P 到图形 C 上任意一点距离的最小值为点 P 到图形 C 的距离．那么平面内到定圆 C 的距离与到定点 A 的距离相等的点的轨迹不可能是
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 直线

18. 已知椭圆的中心在原点，离心率 e=12，且它的一个焦点与抛物线 y2=−4x 的焦点重合，则此椭圆方程为
A. x24+y23=1B. x28+y26=1C. x22+y2=1D. x24+y2=1

19. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）与抛物线 y2=4cx（其中 c=a2+b2）交于 A，B 两点，若 ∣AB∣=4c，则双曲线的离心率为
A. 3B. 2C. 5D. 2+1

20. 已知直线 l:y=kx−2k>0 与抛物线 C:y2=8x 交于 A，B 两点，F 为抛物线 C 的焦点，若 ∣AF∣=2∣BF∣，则 k 的值是
A. 13B. 223C. 22D. 24

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 抛物线 y2=−4x 的准线方程是 ．

22. 已知抛物线 M:y2=16x 的焦点为 F，P 为抛物线 M 上一点．若 ∣PF∣=5，则 P 点的坐标为 ．

23. 直线 l 与抛物线 y=x22 相交于 A，B 两点，当 ∣AB∣=4 时，弦 AB 中点 M 到 x 轴距离的最小值为 ．

24. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=20x 的准线上，则双曲线的方程为 ．

25. 已知圆 C 经过直线 3x−y+3=0 与坐标轴的两个交点，又经过抛物线 y2=12x 的焦点，则圆 C 的方程为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 已知抛物线的焦点在 y 轴上，抛物线上一点 Ma,−4 到焦点 F 的距离为 5，求此抛物线的标准方程及实数 a 的值．

27. 如图，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5 米时，达到最大高度为 3.5 米，然后准确落入篮框，已知篮框中心到地面的距离为 3.05 米．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的方程．
（2）该运动员身高为 1.8 米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25 米处出手，问球出手时，他跳离地面的高度是多少．

28. 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5 米．
（1）以抛物线的顶点为原点 O，其对称轴所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy（如图），求该抛物线的方程．
（2）若行车道总宽度 AB 为 7 米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米?

29. 动圆 P 与定圆 A:x+22+y2=1 外切，且与直线 l:x=1 相切，求动圆圆心 P 的轨迹方程．

30. 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且抛物线上一点 Am,−3 到焦点 F 的距离为 5，求 m 的值，并写出抛物线的方程．

31. 如图，已知椭圆 C1:x22+y2=1，抛物线 C2:y2=2pxp>0，点 A 是椭圆 C1 与抛物线 C2 的交点，过点 A 的直线 l 交椭圆 C1 于点 B，交抛物线 C2 于 M（B，M 不同于 A）．
（1）若 p=116，求抛物线 C2 的焦点坐标；
（2）若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值．
答案
第一部分
1. B【解析】由题意得抛物线的焦点坐标为 Fp2,0，则点 F 到直线 y=3x 的距离为 ∣3×p2−0∣32+−12=3p4=3，解得 p=4．
2. D【解析】由题意得 3x0=x0+p2，
即 x0=p4，
即 Ap4,2，
代入抛物线方程，得 p22=2，
因为 p>0，
所以 p=2．故选D．
3. B
4. C
5. A
【解析】双曲线的一条渐近线方程为 y=bax .则与直线 x=a2c 的交点坐标为 Aa2c,abc，所以 S△OAF=12OF⋅ yA=12c⋅abc=a22，所以 a=b，则抛物线方程为 y2=4x，则抛物线方程为 x=−1 .
6. C【解析】由题意设抛物线的方程为 y2=2pxp>0，连接 MO，过 M 作 MM1⊥ 准线，垂足为 M1，交 y 轴于 M2．
因为 ∣MF∣=3=xM+p2，
所以 ∣MM2∣=xM=3−p2，
所以 ∣M2O∣=∣yM∣=2pxM=6p−p2，
在 Rt△OMM2 中，有 ∣M2O∣2+∣M2M∣2=∣MO∣2，即 6p−p2+3−p22=12，
解得 p=2，
所以抛物线的方程为 y2=4x．
7. B【解析】双曲线的两条渐近线方程为 y=±2x，抛物线的准线方程为 x=−p2，故 A，B 两点的坐标为 −p2,±p，∣AB∣=2p，所以 S△OAB=12⋅2p⋅p2=p22=1，解得 p=2．
8. C【解析】设 P2pt2,2pt，Mx,y（不妨设 t>0），则 FP=2pt2−p2,2pt．
因为 FM=13FP，
所以 x−p2=2p3t2−p6,y=2pt3, 所以 x=2p3t2+p3,y=2pt3,
所以 kOM=2t2t2+1=1t+12t≤1212=22，
所以 kOMmax=22．
9. D【解析】如图，
由线段 EF 被双曲线 C2:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的顶点三等分，得 2a=p3，即 p=6a，
因为两曲线 C1，C2 的交点 A，B 连线过曲线 C1 的焦点，
所以 A3a,6a 在双曲线 C2:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 上，
所以 9a2a2−36a2b2=1，即 b2a2=92．
所以曲线 C2 的离心率 e 满足：e2=b2a2+1=112，可得 e=222．
10. D
【解析】设圆心为 P，圆 P 与 y 轴切于点 B，根据直线与圆相切的性质 PA=PB，即 P 到定点 A 的距离等于 P 到定直线 y 轴的距离，又 A 不在 y 轴上，故 P 点的轨迹是抛物线．
11. C
12. D【解析】过 M 点作准线的垂线，垂足是 N，则 ∣MF∣+∣MA∣=∣MN∣+∣MA∣，当 A，M，N 三点共线时，∣MF∣+∣MA∣ 取得最小值，此时 M2,2．
13. D【解析】将 y=mx2m≠0 化为 x2=1my，
其准线方程为 y=−14m．
由题意知 −14m=−2 或 −14m=4，解得 m=18 或 m=−116．
则所求抛物线的标准方程为 x2=8y 或 x2=−16y．
14. C【解析】过点 Q 作 QQʹ⊥l 交准线 l 于点 Qʹ，设准线 l 与 x 轴的交点为 Fʹ，
因为 FP=4FQ，
所以 ∣PQ∣:∣PF∣=∣QQʹ∣:∣FFʹ∣=3:4．
又焦点 F 到准线 l 的距离为 4，
所以 ∣QF∣=∣QQʹ∣=3．
故选C．
15. C
【解析】抛物线 y=ax2 的准线方程为 y=−14a，
因为点 M1,1 到抛物线 y=ax2 准线的距离为 2，
所以 1+14a=2，
解得 a=14 或 a=−112．
16. A【解析】设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知抛物线上的点 P 到准线的距离等于到焦点 F 的距离．过焦点 F 作直线 4x−3y+11=0 的垂线，如图，
当点 P 为该垂线与抛物线的交点时，d1+d2 取得最小值由 F1,0．直线方程为 4x−3y+11=0，得 d1+d2min=4−0+1142+−32=3．
17. D
18. A【解析】抛物线 y2=−4x 的焦点为 −1,0，所以 c=1，
由离心率 e=12 可得 a=2，所以 b2=a2−c2=3，
故椭圆的标准方程为 x24+y23=1．
19. D【解析】由抛物线 y2=4cx 知抛物线焦点为 c,0，
而抛物线与双曲线 x2a2−y2b2=1 交于两点 A，B 且 ∣AB∣=4c，
所以 2c 为 A，B 的纵坐标的长度，
所以 y=2c 代入抛物线得 x=c，
即交点为 c,2c，
代入双曲线得 c2a2−4c2b2=1，
所以 b2c2−4a2c2=a2b2，
所以 b2c2−a2=4a2c2，
c2−a22=4a2c2，
c2−a2=2ac，
两边同除 a2 得 e2−1=2e，
解得 e=2+1 或 1−2（舍）．
20. C
【解析】法一 据题意画图，
作 AA1⊥lʹ，BB1⊥lʹ，BD⊥AA1 .
设直线 l 的倾斜角为 θ，∣AF∣=2∣BF∣=2r，
则 ∣AA1∣=2∣BB1∣=2∣AD∣=2r，
所以有 ∣AB∣=3r，∣AD∣=r，
则 ∣BD∣=22r，k=tanθ=tan∠BAD=∣BD∣∣AD∣=22 .
法二 直线 y=kx−2 恰好经过抛物线 y2=8x 的焦点 F2,0，由 y2=8x,y=kx−2. 可得 ky2−8y−16k=0，因为 ∣FA∣=2∣FB∣，所以 yA=−2yB .则 yA+yB=−2yB+yB=8k，所以 yB=−8k，yA⋅yB=−16，所以 −2yB2=−16，即 yB=±22，又 k>0，故 k=22 .
第二部分
21. x=1
22. 1,±4
【解析】因为抛物线 y2=16x=2px，
所以 p=8，准线方程为 x=−4，
由抛物线定义可知，拋物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
所以 ∣PF∣=x+4=5，
所以 x=1，
所以 P 点的坐标为 1,±4，
故答案为：1,±4．
23. 32
【解析】设抛物线的焦点为 F，过点 A，B，M 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 A1，B1，M1，连接 AF，BF，如图，
抛物线 y=x22 的焦点坐标为 0,12．
根据抛物线的定义得，∣MM1∣=∣AA1∣+∣BB1∣2=∣AF∣+∣BF∣−12≥∣AB∣−12=32，
当直线 l 过点 F 时取等号，则 32 即为要求的最小值．
24. x25−y220=1
【解析】因为抛物线 y2=20x 的准线方程为 x=−5，
所以由题意知，点 F−5,0 是双曲线的左焦点，
所以 a2+b2=c2=25, ⋯⋯①
又双曲线的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10，
所以 ba=2, ⋯⋯②
由 ①② 解得 a2=5，b2=20，
所以双曲线的方程为 x25−y220=1．
25. x−12+y−12=5
【解析】抛物线的焦点为 3,0，直线 3x−y+3=0 与 x 轴，y 轴的交点分别为 −1,0 0,3，
设圆的方程 x−a2+y−b2=r2 并代入三点，则
3−a2+b2=r2,a+12+b2=r2,a2+3−b2=r2, 解得 a=1,b=1,r=5,
所以圆的方程为 x−12+y−12=5．
第三部分
26. x2=−4y，a=±4．
27. （1） 设抛物线方程 y=ax2+3.5a0．
因为点 C5,−5 在抛物线上，
所以该抛物线的方程为 x2=−5y．
（2） 设车辆高为 h 米，则 ∣DB∣=h+0.5，
故 D3.5,h−6.5，代入方程 x2=−5y，解得 h=4.05，
所以通过隧道的车辆限制高度为 4.05 米．
29. 如图，设动圆圆心 Px,y，过点 P 作 PD⊥l 于点 D，
作直线 lʹ:x=2，过点 P 作 PDʹ⊥lʹ 于点 Dʹ，连接 PA．
设动圆 P 的半径为 R，由题知圆 A 的半径为 1．
因为圆 P 与圆 A 外切，
所以 ∣PA∣=R+1．
又因为圆 P 与直线 l:x=1 相切，
所以 ∣PDʹ∣=∣PD∣+∣DDʹ∣=R+1．
因为 ∣PA∣=∣PDʹ∣，即动点 P 到定点 A 与到定直线 lʹ 的距离相等，
所以点 P 的轨迹是以 A 为焦点，以 lʹ 为准线的抛物线．
设抛物线的方程为 y2=−2pxp>0，可知 p=4，
所以所求动圆圆心 P 的轨迹方程为 y2=−8x．
30. 因为抛物线过点 Am,−3，
所以抛物线的开口可以向下、向右或向左．
①当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为 x2=−2pyp>0，准线方程为 y=p2．由抛物线的定义得 p2−−3=5，解得 p=4，
所以抛物线的方程为 x2=−8y．
因为点 Am,−3 在抛物线上，
所以代入得 m2=24，即 m=±26．
②当抛物线开口向右或向左时设抛物线的方程为 y2=2axa≠0，准线方程可统一为 x=−a2，
由题意可得 a2+m=5,2am=9, 解得 a=1,m=92 或 a=−1,m=−92 或 a=9,m=12 或 a=−9,m=−12,
所以当 m=92 时，抛物线的方程为 y2=2x；当 m=−92 时，抛物线的方程为 y2=−2x；
当 m=12 时抛物线的方程为 y2=18x；当 m=−12 时，抛物线的方程为 y2=−18x．
综上所述，当 m=±26 时，抛物线的方程为 x2=−8y；当 m=92 时，抛物线的方程为 y2=2x；
当 m=−92 时，抛物线的方程为 y2=−2x；当 m=12 时，抛物线的方程为 y2=18x；当 m=−12 时，抛物线的方程为 y2=−18x．
31. （1） 当 p=116 时，C2 的方程为 y2=18x，
故抛物线 C2 的焦点坐标为 132,0．
（2） 设 Ax1,y1，Bx2,y2，Mx0,y0，I:x=λy+m．
由 x2+2y2=2,x=λy+m⇒2+λ2y2+2λmy+m2−2=0，
所以 y1+y2=−2λm2+λ2，y0=−λm2+λ2，x0=λy0+m=2m2+λ2．
由 M 在抛物线上，所以 λ2m22+λ22=4pm2+λ2⇒λ2m2+λ2=4p．
又 y2=2px,x=λy+m⇒y2=2pλy+m⇒y2−2pλy−2pm=0，
所以 y1+y0=2pλ，所以 x1+x0=λy1+m+λy0+m=2pλ2+2m．
所以 x1=2pλ2+2m−2m2+λ2．
由
x22+y2=1,y2=2px⇒x2+4px=2,即 x2+4px−2=0⇒x1=−4p+16p2+82=−2p+4p2+2⇒−2p+4p2+2=2pλ2+2m⋅1+λ22+λ2=2pλ2+8pλ2+8p≥16p.
所以 4p2+2≥18p，p2≤1160，p≤1040，
所以，p 的最大值为 1040，此时 A2105,55．
法 2：
设直线 l:x=my+tm≠0,t≠0，Ax0,y0．
将直线 l 的方程代入椭圆 C1:x22+y2=1 得：m2+2y2+2mty+t2−2=0，
所以点 M 的纵坐标为 yM=−mtm2+2．
将直线 l 的方程代入抛物线 C2:y2=2px 得：y2−2pmy−2pt=0，
所以 y0yM=−2pt，解得 y0=2pm2+2m，因此 x0=2pm2+22m2，
由 x022+y02=1 解得 1p2=4m+2m2+2m+2m2≥160，
所以当 m=2，t=105 时，p 取到最大值为 1040．