2022届高考大一轮复习知识点精练：曲线与方程

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：曲线与方程，共12页。试卷主要包含了选择题，四象限；，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 若点 P 的坐标为 a,b，曲线 C 的方程为 Fx,y=0，则 Fa,b=0 是点 P 在曲线 C 上的
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件

2. 曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线方程是
A. y2=8−4xB. y2=4x−8C. y2=16−4xD. y2=4x−16

3. 方程 2x2−9xy+8y2=0 的曲线 C 所满足的性质为
①不经过第二、四象限；
②关于 x 轴对称；
③关于原点对称；
④关于直线 y=x 对称．
A. ①③B. ②③C. ①④D. ①②

4. 参数方程 x=3t2+4,y=t2−20≤t≤3 所表示的曲线是
A. 一支双曲线B. 线段C. 圆弧D. 射线

5. 下列各组方程中表示相同曲线的是
A. y=x，yx=1B. y=x，y=x2
C. ∣x∣=∣y∣，x=yD. ∣x∣=∣y∣，x2=y2

6. 方程为 2x2−5xy+2y2=1 的曲线
A. 关于 x 轴对称
B. 关于 y 轴对称
C. 关于直线 y=x 对称，也关于直线 y=−x 对称
D. 关于原点对称，但不关于直线 y=x 对称

7. 方程 x−22+y2+x+22+y2=10，化简的结果是
A. x225+y216=1B. x225+y221=1C. x225+y24=1D. y225+x221=1

8. 若 θ∈R，则方程 x2+y2sinθ=1 所表示的曲线一定不是
A. 直线B. 圆C. 抛物线D. 双曲线

9. 已知“曲线 C 上的点的坐标都满足方程 fx,y=0”是正确的，则下列命题中正确命题的序号是
①不是曲线 C 上的点的坐标，一定不满足方程 fx,y=0；
②坐标满足方程 fx,y=0 的点均在曲线 C 上；
③曲线 C 是方程 fx,y=0 的曲线；
④方程 fx,y=0 的曲线不一定是曲线 C．
A. ①②③B. ①③④C. ②③D. ④

10. 已知曲线 C1:Fx,y=0，曲线 C2:Gx,y=0．若点 M 的坐标为 Mx,y，则 M∉C1∩C2 是 Fx,y≠0,Gx,y≠0 的
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件

11. 在同一直角坐标系中，方程 ax2+by2=ab 与方程 ax+by+ab=0 表示的曲线可能是
A. B.
C. D.

12. 已知平面直角坐标系内曲线 C1：Fx,y=0，曲线 C2：Fx,y−Fx0,y0=0，若点 Px0,y0 不在曲线 C1 上，则下列说法正确的是
A. 曲线 C1 与 C2 无公共点
B. 曲线 C1 与 C2 至少有一个公共点
C. 曲线 C1 与 C2 至多有一个公共点
D. 曲线 C1 与 C2 的公共点的个数无法确定

13. 已知圆锥曲线 C 的方程是 5x2−6xy+5y2=8，则下列命题中是假命题的是
A. 曲线 C 上的点的横坐标 x 的取值范围是 −102,102
B. 曲线 C 关于直线 y=x 对称
C. 曲线 C 上的点到曲线 C 的对称中心的最远距离为 2
D. 曲线 C 的离心率是 12

14. 方程 x2−y2=x+y 表示的曲线是
A. 一个点B. 一条直线C. 两条直线D. 双曲线

15. “λ>2”是圆锥曲线 y2λ+5−x22−λ=1 的焦距与实数 λ 无关的
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件

16. 关于曲线 C:x4+y2=1，给出下列四个命题：
①曲线 C 关于原点对称；
②曲线 C 关于直线 y=x 对称；
③曲线 C 围成的面积大于 π；
④曲线 C 围成的面积小于 π．
上述命题中，真命题的序号为
A. ①②③B. ①②④C. ①④D. ①③

17. 已知两定点 A−2,0，B1,0，如果动点 P 满足 ∣PA∣=2∣PB∣，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于
A. πB. 4πC. 8πD. 9π

18. 方程 x−1=1−y−12 表示的曲线是
A. 一个圆B. 两个半圆C. 两个圆D. 半圆

19. 下列四个选项中正确的是
A. 关于 x，y 的方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0D,E,F∈R 的曲线是圆
B. 设复数 z1，z2 是两个不同的复数，实数 a>0，则关于复数 z 的方程 ∣z−z1∣+∣z−z2∣=2a 的所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆
C. 设 A，B 为两个不同的定点，k 为非零常数，若 ∣PA∣−∣PB∣=k，则动点 P 的轨迹为双曲线的一支
D. 双曲线 x225−y29=1 与椭圆 x235+y2=1 有相同的焦点

20. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C：x2+y2=1+∣x∣y 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
①曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2；
③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3．
其中，所有正确结论的序号是
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 若曲线 y=2x+1 与直线 y=b 没有公共点，则 b 的取值范围是 ．

22. 设 Px,y 是曲线 C：x225+y29=1 上的点，F1−4,0，F24,0，则 ∣PF1∣+∣PF2∣ 的最大值 = ．

23. 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 C:x2+y23=4x2y2 被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）．
给出下列三个结论：
① 曲线 C 关于直线 y=x 对称；
② 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 1；
③ 存在一个以原点为中心、边长为 2 的正方形，使得曲线 C 在此正方形区域内（含边界）．
其中，正确结论的序号是 ．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中，动点 Px,y 到两坐标轴的距离之和等于它到定点 1,1 的距离，记点 P 的轨迹为 C．给出下面四个结论：
①曲线 C 关于原点对称；
②曲线 C 关于直线 y=x 对称；
③点 −a2,1a∈R 在曲线 C 上；
④在第一象限内，曲线 C 与 x 轴的非负半轴、 y 轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于 12．
其中所有正确结论的序号是 ．

25. 在平面直角坐标系中，当 Px,y 不是原点时，定义 P 的“伴随点”为 Pʹyx2+y2,−xx2+y2；当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点”为它自身．平面曲线 C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 Cʹ 定义为曲线 C 的“伴随曲线”，现有下列命题：
①若点 A 的“伴随点”是点 Aʹ，则点 Aʹ 的“伴随点”是点 A；
②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线”Cʹ 关于 y 轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．
其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 画出下列方程的曲线的图象．
（1）x2−y2=0．
（2）x2+2xy−3y2=0．

27. 抛物线与二次函数的图象有什么关系?

28. 若 k 是实数，试讨论方程 kx2+2y2−8=0 表示何种曲线．

29. 已知点 A−1,0，B1,0，不与 A，B 重合的动点 M 满足 MA⋅MB=0，求点 M 到点 N0,12 的距离的最小值．

30. 如图所示，定点 F 到定直线 l 的距离 MF=3．动点 P 到定点 F 的距离等于它到定直线 l 距离的 2 倍．设动点 P 的轨迹是曲线 Γ．
（1）请以线段 MF 所在的直线为 x 轴，以线段 MF 上的某一点为坐标原点 O，建立适当的平面直角坐标系 xOy，使得曲线 Γ 经过坐标原点 O，并求曲线 Γ 的方程；
（2）请指出（1）中曲线 Γ 的如下两个性质：①范围；②对称性．并选择其一给予证明．
（3）设（1）中的曲线 Γ 除了经过坐标原点 O，还与 x 轴交于另一点 C，经过点 F 的直线 m 交曲线 Γ 于 A，B 两点，求证：CA⊥CB．

31. 如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 是一个棱长为 2 的空心蔬菜大棚，由 8 个钢结构（地面没有）组合搭建而成的，四个侧面及顶上均被可采光的薄膜覆盖，已知 E 为柱 AA1 上一点（不在点 A，A1 处），EA=2λ（λ>1），菜农需要在地面正方形 ABCD 内画出一条曲线 Γ 将菜地分隔为两个不同的区域来种植不同品种的蔬菜以加强管理，现已知点 P 为地面正方形 ABCD 内的曲线 Γ 上任意一点，设 α，β 分别为在 P 点处观测 E 和 D1 的仰角．
（1）若 α=β，请说明曲线 Γ 是何种曲线，为什么?
（2）若 E 为柱 AA1 的中点，且 α0，此时直线斜率 k=−ab0,λ−2>0,λ+5≠λ−2, 解得 λ>2．
若圆锥曲线 y2λ+5−x22−λ=1 为双曲线，则 c2=λ+5+2−λ=7，与 λ 无关．
此时 λ+52−λ>0，解得 −50 时，方程变为 y2−xy+x2−1=0，
所以 Δ=x2−4x2−1≥0，解得 x∈0,233，
所以 x 只能取整数 1，当 x=1 时，y2−y=0，解得 y=0 或 y=1，即曲线经过 1,0，1,1，
根据对称性可得曲线还经过 −1,0，−1,1，
故曲线一共经过 6 个整点，故①正确．
当 x>0 时，由 x2+y2=1+xy 得 x2+y2−1=xy≤x2+y22，（当 x=y 时取等），
所以 x2+y2≤2，
所以 x2+y2≤2，即曲线 C 上 y 轴右边的点到原点的距离不超过 2，
根据对称性可得：曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2；故②正确．
在 x 轴上图形面积大于矩形面积 =1×2=2，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积 =12×2×1=1，
因此曲线 C 所围成的“心形”区域的面积大于 2+1=3，故③错误．
第二部分
21. −1,1
【解析】如图所示，当 −1≤b≤1 时，曲线 y=2x+1 与直线 y=b 没有公共点．
22. 10
【解析】曲线 C 可化为：∣x∣5+∣y∣3=1，它表示顶点分别为 ±5,0，0,±3 的平行四边形，根据图形的对称性可知 ∣PF1∣+∣PF2∣ 的最大值为 10，当且仅当点 P 为 ±5,0，0,±3 时取最大值．
23. ①②
24. ②③④
【解析】因为动点 Px,y 到两坐标轴的距离之和等于它到定点 1,1 的距离，
所以 ∣x∣+∣y∣=x−12+y−12 平方得，
∣xy∣=1−x−y．
所以 xy>0 时，x+1y+1=2 或 xy0 时，开口向上，顶点为 0,0，焦点为 0,14a，对称轴为 y 轴；当 a