2022届高考大一轮复习知识点精练：平面向量的分解

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：平面向量的分解，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F．若 AC=a，BD=b，则 AF=
A. 14a+12bB. 23a+13bC. 12a+14bD. 13a+23b

2. 如图，设 e1，e2 为互相垂直的单位向量，则向量 a−b 可表示为
A. 2e2−e1B. 3e1−2e2C. 2e1−e2D. e1−2e2

3. 如图，向量 e1，e2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，若 a=λe1+μe2，则 λ+μ=
A. −1B. 3C. 1D. −3

4. 在 △ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 EB=
A. 34AB−14ACB. 14AB−34ACC. 34AB+14ACD. 14AB+34AC

5. 在 △ABC 中，点 D 在 BC 边上，点 E 在 AC 边上，且 BD=12CD，CE=13AE，若 AB=a，BC=b，则 DE=
A. −14a+512bB. 34a+112bC. −34a+112bD. 34a−112b

6. 在 △ABC 中，点 D 是线段 BC 上靠近 B 的三等分点，下列等式成立的是
A. AD=23AC+13ABB. AD=13AC+23AB
C. AD=43AC+13ABD. AD=43AB−13AC

7. 设 P 是 △ABC 边 BC 上的任意一点，Q 为 AP 的中点，若 AQ=λAB+μAC，则 λ+μ=
A. 14B. 13C. 12D. 1

8. 如图，在 △ABC 中，AN=14NC，P 是直线 BN 上的一点，若 AP=mAB+25AC，则实数 m 的值为
A. −4B. −1C. 1D. 4

9. 已知 △ABC 的外接圆圆心为 O，∠A=120∘，若 AO=xAB+yACx,y∈R，则 x+y 的最小值为
A. 12B. 23C. 32D. 2

10. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 边的中点，且 AB=a，AD=b，则 BE=
A. b−12aB. b+12aC. a+12bD. a−12b

11. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AB∥DC，AD⊥DC，AD=DC=2AB，E 为 AD 的中点，若 CA=λCE+μDB，则 λ+μ 的值为
A. 65B. 85C. 2D. 83

12. 如图，在 △ABC 中，AD⊥AB，BD=xAB+yACx,y∈R，AD=2 且 AC⋅AD=12，则 2x+y 等于
A. 1B. −23C. −13D. −34

13. 如图所示，在 △ABC 中，AD=DB，点 F 在线段 CD 上，设 AB=a，AC=b，AF=xa+yb，则 1x+4y+1 的最小值为
A. 6+22B. 63C. 6+42D. 3+22

14. 如图，在 △ABC 中，AN=12AC，P 是 BN 的中点，若 AP=mAB+14AC，则实数 m 的值是
A. 14B. 1C. 12D. 32

15. 在 △ABC 中，点 D 为 BC 边的中点，已知 AB=a，AC=b，则下列向量中与 AD 同方向的是
A. a+b∣a+b∣B. a∣a∣+b∣b∣C. a−b∣a−b∣D. a∣a∣−b∣b∣

16. 在 △ABC 中，若 13OA+OB+OC=OG，则点 G 是 △ABC 的
A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心

17. 如图，在矩形 OACB 中，E 和 F 分别是边 AC 和 BC 上的点，且满足 AC=3AE，BC=3BF，若 OC=λOE+μOF，其中 λ,μ∈R，则 λ+μ 是
A. 83B. 32C. 53D. 1

18. 在正方形 ABCD 中，E 是 DC 的中点，F 是 BC 上靠近点 B 的三等分点．若 EF=mAB+nAD，则 2m−3n=
A. 1B. 2C. 3D. 4

19. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 满足 BC=2BD，CA=3CE．若 DE=xAB+yACx,y∈R，则 x+y=
A. −12B. −13C. 12D. 13

20. 如图所示，在 △ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交线段 AB 的延长线线段 AC 于不同的两点 M，N．若 AB=mAM，AC=nAN，则 m+n 的值为
A. 1B. 32C. 2D. 3

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 在 △ABC 中，点 M，N 满足 AM=2MC，BN=NC．若 MN=xAB+yAC，则 x= ，y= ．

22. 在 △ABC 中，∠A=60∘，∠A 的平分线交 BC 于点 D，若 AB=3，且 AD=13AC+μABμ∈R，则 AD 的长为 ．

23. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=a，AD=b，AN=2NC，CM=2MB，则 MN= （用 a，b 表示）．

24. 在 △ABC 中，点 D 满足 BD=34BC，当点 E 在射线 AD（不含点 A）上移动时，若 AE=λAB+μAC，则 λ+1μ 的最小值为 ．

25. 在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60∘．动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 BE=λBC，DF=19λDC，则 AE⋅AF 的最小值为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 如图，在平行四边形 OADB 中，设 OA=a，OB=b，BM=13BC，CN=13CD，试用 a，b 表示 OM，ON，及 MN．

27. 如图，已知平面内有三个向量 OA，OB，OC，其中 OA 与 OB 的夹角为 120∘，OA 与 OC 的夹角为 30∘，且 ∣OA∣=∣OB∣=1，∣OC∣=23．若 OC=λOA+μOBλ,μ∈R，求 λ+μ 的值．

28. 已知平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，设向量 OA=a，OB=b．
（1）用向量 a，b 分别表示向量 DC，BC；
（2）若 P 为直线 AB 上一点，k 是实数，且 AP=kAB，用向量 a，b 表示 OP．

29. 如图在 △AOB 中，D 是边 OB 的中点，C 是 OA 上靠近 O 的三等分点，AD 与 BC 交于 M 点，设 OA=a，OB=b．
（1）用 a，b 表示 OM；
（2）过点 M 的直线与边 OA，OB 分别交于 E，F．设 OE=pOA，OF=qOB，求 1p+2q 的值．

30. 设向量 e1，e2 是不共线的非零向量，且向量 a=e1−2e2，b=e1+3e2．
（1）证明：a,b 可以作为一组基底；
（2）以 a,b 为基底，求向量 c=3e1−e2 的分解式；
（3）若 4e1−3e2=λa+μb，求实数 λ，μ 的值．

31. 如图，在 △ABC 中，AQ=QC，AR=13AB，BQ 与 CR 相交于点 I，AI 的延长线与边 BC 交于点 P．
（1）用 AB 和 AC 分别表示 BQ 和 CR；
（2）如果 AI=AB+λBQ=AC+μCR，求实数 λ 和 μ 的值；
（3）确定点 P 在边 BC 上的位置．
答案
第一部分
1. B
2. D【解析】以 e1，e2 为互相垂直的单位向量所在的直线分别为 x 轴和 y 轴，建立直角坐标系，
则向量 a 的终点坐标为 3,−1，b 的终点坐标为 2,1，故向量 a−b 可表示为：3,−1−2,1=1,−2=e1−2e2．
3. A【解析】根据图象可知 a=−3e1+e2+e1=−2e1+e2，
所以 λ=−2，μ=10，λ+μ=−2+1=−1．
4. A
5. A
6. B【解析】因为点 D 是线段 BC 上靠近 B 的三等分点，
所以 CB=3DB，
即 AB−AC=3AB−AD=3AB−3AD，
即 3AD=2AB+AC，
则 AD=23AB+13AC，
故选：B．
7. C【解析】设 BP=tBC，则
AQ=12AP=12AB+BP=12AB+12BP=12AB+12×tBC=12AB+t2AC−AB=12−t2AB+t2AC,
因为 AQ=λAB+μAC，
所以 λ=12−t2，μ=t2，
所以 λ+μ=12．
8. B【解析】由题意，设 BP=nBN，则
AP=AB+BP=AB+nBN=AB+nAN−AB=AB+n14NC−AB=AB+n15AC−AB=1−nAB+n5AC,
又因为 AP=mAB+25AC，
所以 m=1−n，n5=25．
解得 n=2，m=−1．
9. D
10. A
11. B
12. C【解析】因为 BD=AD−AB=xAB+yAC，AB⋅AD=0，
所以 AD=1+xAB+yAC，
因为 B，C，D 三点共线，
所以 1+x+y=1，
所以 x+y=0，
所以 y=−x，AC=1+xxAB−1xAD，
所以
AC⋅AD=1+xxAB⋅AD−1xAD2=−4x=12,
所以 x=−13，
所以 y=13，
所以 2x+y=−13．
13. D【解析】在 △ABC 中，
因为 C，F，D 三点共线，
所以
AF=μAC+1−μAD0≤μ≤1=μAC+1−μ2AB=μb+1−μ2a,
所以 μ=y,1−μ2=x,
所以
1x+4y+1=21−μ+41+μ=2+2μ+4−4μ1−μ2=6−2μ1−μ2=2⋅1μ−3+8μ−3+6,
因为 0≤μ≤1，
所以 μ−3≤0，
所以
原式≥2⋅16−28=3+22.
14. C【解析】因为 P，N 分别是 BN，AC 的中点，
所以
AP=AB+BP=AB+12BN=AB+12AN−AB=12AB+12AN=12AB+14AC.
又 AP=mAB+14AC，
所以 m=12．
15. A
【解析】因为点 D 为 BC 边的中点，
所以 AB+AC=2AD，
所以 a+b 与 AD 共线，
又因为 a+b∣a+b∣ 与 a+b 共线，
所以选项A正确．
16. D【解析】因为 13OA+OB+OC=OG，
所以 GA−GO+GB−GO+GC−GO=3OG，
化简得 GA+GB+GC=0，
故点 G 为三角形 ABC 的重心．
17. B【解析】以 O 为原点，OA 为 x 轴、 OB 为 y 轴建立平面直角坐标系．
设 OA=a，OB=b，则 Ea,b3，Fa3,b，Ca,b．
由已知，得 a,b=λa,b3+μa3,b，则有
a=λa+μa3,b=λb3+bμ,
解得 λ=μ=34，因此 λ+μ=32．
18. C【解析】因为在正方形 ABCD 中，E 是 DC 的中点，F 是 BC 上靠近点 B 的三等分点，
所以 EF=EC+CF=12AB+23CB=12AB−23AD，
所以 m=12，n=−23，
所以 2m−3n=3．
19. B【解析】连接 AD，
因为 BC=2BD，CA=3CE，
所以 BD=12BC，AE=23AC，
所以
DE=AE−AD=23AC−AB−BD=23AC−AB−12BC=23AC−AB−12AC−AB=−12AB+16AC,
又 DE=xAB+yACx,y∈R，
所以 x=−12，y=16，
所以 x+y=−12+16=−13．
20. C
【解析】连接 AO，AO=12AB+AC=m2AM+n2AN．
因为 M，O，N 三点共线，
所以 m2+n2=1，
所以 m+n=2．
第二部分
21. 12，−16
【解析】由 AM=2MC 知 M 为 AC 上靠近 C 的三等分点，
由 BN=NC 知 N 为 BC 的中点，作出草图如下：
则有 AN=12AB+AC，
所以
MN=AN−AM=12AB+AC−23AC=12AB−16AC,
又因为 MN=xAB+yAC，
所以 x=12，y=−16．
22. 23
【解析】如图，作 DG∥AB，DH∥AC，
则 AD=AG+AH，
所以 AG=13AC，
因为 DG∥AB，DH∥AC，
所以四边形 AGDH 是平行四边形，
所以 AG=HD=13AC，
因为 AD 平分 ∠BAC，∠A=60∘，
所以 ∠BAD=∠DAC=30∘，
因为 DH∥AC，
所以 ∠ADH=∠DAC=∠BAD=30∘，
所以 HA=HD，
因为 △BDH∽△BCA，
所以 BH=13BA=1，
所以 HA=HD=2，
根据等腰三角形知识可知 AD=23．
23. −13a+13b
24. 233
25. 2918
【解析】
AE⋅AF=AB+λBC⋅AB+BC+1−9λ18λAB=9λ+118λAB⋅AB+9λ2+λ18λ+1AB⋅BC+λBC⋅BC=λ2+29λ+1718≥2918.
当且仅当 λ2=29λ，即 λ=23 时等号成立（−23 舍去）．
第三部分
26. 由题意知，在平行四边形 OADB 中，BM=13BC=16BA=16OA−OB=16a−b=16a−16b，
则 OM=OB+BM=b+16a−16b=16a+56b．ON=23OD=23OA+OB=23a+b=23a+23b，MN=ON−OM=23a+b−16a−56b=12a−16b．
27. 以 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A1,0，B−12,32，C3,3．
由 OC=λOA+μOB，得 3=λ−12μ,3=32μ, 解得 λ=4,μ=2.
所以 λ+μ=6．
28. （1）
因为平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，
所以 DC=AB=OB−OA=b−a，
BC=AC−AB=−2OA−OB−OA=−OB−OA=−b−a.
（2） OP=OA+AP=OA+kAB=OA+kOB−OA=1−kOA+kOB=1−ka+kb.
29. （1） 设 OM=xa+yb，则 AM=OM−OA=x−1OA+yOB=x−1a+yb，
AD=OD−OA=−a+12b，
因为 A，M，D 三点共线，
所以 AM，AD 共线，从而 12x−1=−y, ⋯⋯①
又 C，M，B 三点共线
所以 BM，BC 共线，
同理可得 13y−1=−x, ⋯⋯②
联立 ①②，解得 x=15,y=25,
故 OM=15a+25b．
（2） 因为 EM=OM−OE=15a+25b−pa=15−pa+25b．
EF=OF−OE=qb−pa．
因为 EM，EF 共线，
所以 15−pq=−25p，
整理得 1p+2q=5．
30. （1） 若 a，b 共线，则存在唯的实数 λ，使得 a=λb，
即 e1−2e2=λe1+3e2．
由 e1，e2 不共线，得 λ=1,3λ=−2⇒λ=1,λ=−23,
所以 λ 不存在，故 a 与 b 不共线，a,b 可以作为一组基底．
（2） 设 c=ma+nb（m,n∈R），
则
3e1−e2=me1−2e2+ne1+3e2=m+ne1+−2m+3ne2.
因为 e1，e2 不共线，
所以 m+n=3,−2m+3n=−1⇒m=2,n=1.
所以 c=2a+b．
（3） 由 4e1−3e2=λa+μb，得
4e1−3e2=λe1−2e2+μe1+3e2=λ+μe1+−2λ+3μe2.
因为 e1，e2 不共线，
所以 λ+μ=4,−2λ+3μ=−3⇒λ=3,μ=1.
故所求 λ，μ 的值分别为 3，1．
31. （1） 由 AQ=12AC，可得 BQ=BA+AQ=−AB+12AC；
又 AR=13AB，所以 CR=CA+AR=−AC+13AB．
（2） 将 BQ=−AB+12AC，CR=−AC+13AB 代入 AI=AB+λBQ=AC+μCR，则有
AB+λ−AB+12AC=AC+μ−AC+13AB,
即
1−λAB+12λAC=13μAB+1−μAC.

所以
1−λ=13μ,12λ=1−μ,
解得
λ=45,μ=35.
（3） 设 BP=mBC，AP=nAI．
由（2）知 AI=15AB+25AC，所以
BP=AP−AB=nAI−AB=n15AB+25AC−AB=2n5AC+n5−1AB=mBC=mAC−mAB,
所以
−m=n5−1,m=2n5,
解得
m=23,n=53.
所以 BP=23BC，即 BPPC=2．