2022届高考大一轮复习知识点精练：直线与椭圆的位置关系

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：直线与椭圆的位置关系，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 直线 y=kx−k+1 与椭圆 x29+y24=1 的位置关系为
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定

2. 直线 y=kx−k+1 与椭圆 x29+y24=1 的位置关系是
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定

3. 直线 y=kx−k+1（k 为实数）与椭圆 x29+y24=1 的位置关系为
A. 相交B. 相切
C. 相离D. 相交、相切、相离都有可能

4. 设椭圆 C:x24+y2=1 的左焦点为 F，直线 l:y=kxk≠0 与椭圆 C 交于 A，B 两点，则 AF+BF 的值是
A. 2B. 23C. 4D. 43

5. 若直线 mx+ny=4 与 ⊙O:x2+y2=4 没有交点，则过点 Pm,n 的直线与椭圆 x29+y24=1 的交点个数是
A. 至多为 1B. 2C. 1D. 0

6. 已知直线 y=kx−k−1 与曲线 C：x2+2y2=mm>0 恒有公共点，则 m 的取值范围是
A. 3,+∞B. −∞,3C. 3,+∞D. −∞,3

7. 点 M 在直线 l:x=2 上，若椭圆 C:x2+y24=1 上存在两点 A，B，使得 △MAB 是等腰三角形，则称椭圆 C 具有性质 P．下列结论中正确的是
A. 对于直线 l 上的所有点，椭圆 C 都不具有性质 P
B. 直线 l 上仅有有限个点，使椭圆 C 具有性质 P
C. 直线 l 上有无穷多个点（但不是所有的点），使椭圆 C 具有性质 P
D. 对于直线 l 上的所有点，椭圆 C 都具有性质 P

8. 在椭圆 x216+y29=1 内，过点 M1,1 且被该点平分的弦所在的直线方程为
A. 9x−16y+7=0B. 16x+9y−25=0
C. 9x+16y−25=0D. 16x−9y−7=0

9. 过点 M−2,0 的直线 m 与椭圆 x22+y2=1 交于 P1，P2 两点，线段 P1P2 的中点为 P，设直线 m 的斜率为 k1k1≠0，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2 的值为
A. 2B. −2C. 12D. −12

10. 已知直线 y−kx−1=0k∈R 与椭圆 x24+y2m=1 恒有公共点，则实数 m 的取值范围为
A. 1,4B. 1,4
C. 1,4∪4,+∞D. 4,+∞

11. 练习 2．直线 x+my+1=0m∈R 与椭圆 x22+y2=1 的位置关系是
A. 相交B. 相切
C. 相离D. 以上三种关系都可能

12. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 及点 B0,a，过点 B 与椭圆相切的直线交 x 轴的负半轴于点 A，F 为椭圆的右焦点，则 ∠ABF 等于
A. 60∘B. 90∘C. 120∘D. 150∘

13. 若直线 kx−y+3=0 与椭圆 x216+y24=1 有两个公共点，则实数 k 的取值范围是
A. −54,54B. −54,54
C. −∞,−54∪54,+∞D. −∞,−54∪−54,54

14. 椭圆 ax2+by2=1a>0,b>0 与直线 y=1−x 交于 A，B 两点，过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 32，则 ba 的值为
A. 32B. 233C. 932D. 2327

15. 直线 y=x+2 与椭圆 x2m+y23=1 有两个公共点，则 m 的取值范围是
A. 1,+∞B. 1,3∪3,+∞
C. 3,+∞D. 0,3∪3,+∞

16. 椭圆 C:x24+y23=1 的左、右顶点分别为 A1，A2，点 P 在 C 上，且直线 PA2 斜率的取值范围是 −2,−1，那么直线 PA1 斜率的取值范围是
A. 38,34B. 12,34C. 12,1D. 34,1

17. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 和圆 O:x2+y2=b2，过椭圆 C 上一点 P 引圆 O 的两条切线，切点分别为 A，B．若椭圆上存在点 P，使得 PA⋅PB=0，则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是
A. 12,1B. 0,22C. 22,1D. 12,22

18. 已知椭圆 C 的焦点为 F1−1,0，F21,0，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若 AF2=2F2B，∣AB∣=BF1，则 C 的方程为
A. x22+y2=1B. x23+y22=1C. x24+y23=1D. x25+y24=1

19. 若双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 与直线 y=3x 无交点，则离心率 e 的取值范围是
A. 1,2B. 1,2C. 1,5D. 1,5

20. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 上存在 A，B 两点恰好关于直线 l:x−y−1=0 对称，且直线 AB 与直线 l 的交点的横坐标为 2，则椭圆 C 的离心率为
A. 13B. 33C. 22D. 12

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点，直线 y=b2 与椭圆交于 B，C 两点，且 ∠BFC=90∘，则该椭圆的离心率是 ．

22. 已知椭圆 C：x29+y27=1，F 为其左焦点，过原点 O 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，点 A 在第二象限，且 ∠FAB=∠BFO，则直线 l 的斜率为 ．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A，F 分别为椭圆 C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右顶点、右焦点，过坐标原点 O 的直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，线段 AP 的中点为 M，若 Q，F，M 三点共线，则椭圆 C 的离心率为 ．

24. 椭圆 x236+y29=1 的一条弦被 A4,2 平分，则这条弦所在的直线方程是 ．

25. 已知椭圆 C：x22+y24=1，过椭圆 C 上一点 P1,2 作倾斜角互补的两条直线 PA，PB，分别交椭圆 C 于 A，B 两点，则直线 AB 的斜率为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0，其左右焦点为 F1，F2，过 F1 直线 l：x+my+3=0 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且椭圆离心率 e=32．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若椭圆存在点 M，使得 2OM=OA+3OB，求直线 l 的方程．

27. 设椭圆 x2m2+1+y2m2=1m>0 的两个焦点分别是 F1，F2，M 是椭圆上任意一点，△F1MF2 的周长为 2+22．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆在 y 轴负半轴上的顶点 B 及椭圆右焦点 F2 作一直线交椭圆于另一点 N，求 ∠F1NB 的大小（结果用反三角函数值表示）．

28. 已知椭圆 x24+y29=1 及直线 l:y=32x+m．
（1）当直线 l 与该椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；
（2）若直线 l 被此椭圆截得的弦的中点 M 的横坐标为 1，求直线 l 的方程．

29. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 e=12，过点 2,0．
（1）求椭圆 C 的标准方程．
（2）设椭圆左、右焦点分别为 F1，F2，经过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若 AF1⊥BF1，求直线 l 方程．

30. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一个顶点为 A0,−3，右焦点为 F，且 OA=OF，其中 O 为原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点 C 满足 3OC=OF，点 B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点 P，且 P 为线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程．

31. 已知直线 l 与橢圆 C:x236+y218=1 交于 A，B 两点．
（1）若线段 AB 的中点为 2,1，求 l 的方程；
（2）若斜率不为 0 的直线 l 经过点 M23,0，证明：1MA2+1MB2 为定值．
答案
第一部分
1. A【解析】由题意得直线 y−1=kx−1 恒过定点 1,1，而点 1,1 在椭圆 x29+y24=1 的内部，所以直线与椭圆相交．
2. A【解析】直线 y=kx−k+1 过椭圆内一点 1,1．
3. A【解析】直线 y=kx−k+1=kx−1+1 恒过定点 1,1．
因为点 1,1 在椭圆内部，所以直线与椭圆相交．
4. C【解析】设椭圆的右焦点为 F2，连接 AF2，BF2．
因为 OA=OB，OF=OF2，
所以四边形 AFBF2 是平行四边形，所以 BF=AF2，
所以 AF+BF=AF+AF2=2a=4．
5. B
【解析】由题意知，4m2+n2>2，即 m2+n20 ，所以曲线 C 表示椭圆．因为直线 y=kx−k−1 与曲线 C：x2+2y2=mm>0 恒有公共点，所以点 1,−1 在椭圆内或椭圆上，即 12+2×−12≤m，所以 m≥3．
7. D【解析】设 AB:x=ky+t 交椭圆于点 Ax1,y1，Bx2,y2，x=ky+t,4x2+y2=4⇒4k2+1y2+8kty+4t2−4=0，
Δ>0⇒4k2+1>t2，
由韦达定理，y1+y2=−8kt4k2+1，
设 AB 中点为 T，则 Tt4k2+1,−4kt4k2+1，
AB 中垂线方程为 y=−kx−t4k2+1−4kt4k2+1，
令 x=2，y=−2k−3kt4k2+1，
故 M2,−2k−3kt4k2+1 是符合条件的点．
令 t=0，M2,−2k，
这意味着，对于 l 上任意一点 M2,m，在椭圆上都有 A，B 两点使 MA=MB，AB 方程为 x=−12my．
8. C【解析】设弦的两个端点的坐标分别是 x1,y1，x2,y2，
则有 x1216+y129=1，x2216+y229=1，
两式相减，又 x1+x2=y1+y2=2，因此 x1−x216+y1−y29=0，
即 y1−y2x1−x2=−916，所求直线的斜率是 −916，
弦所在的直线方程是 y−1=−916x−1，即 9x+16y−25=0．
9. D【解析】设 Px0,y0，P1x1,y1，P2x2,y2，
过点 M−2,0 的直线 m 的方程为 y−0=k1x+2，
代入椭圆的方程化简得 2k12+1x2+8k12x+8k12−2=0，
所以 x1+x2=−8k122k12+1，
所以点 P 的横坐标 x0=−4k122k12+1，纵坐标为 k1x0+2=2k12k12+1，即 P−4k122k12+1,2k12k12+1，
直线 OP 的斜率 k2=−12k1．
所以 k1k2=−12．
故选D．
10. C
【解析】方法一（代数法）：联立直线与椭圆方程 y−kx−1=0,x24+y2m=1,
得 m+4k2x2+8kx+4−4m=0．
因为直线与椭圆恒有公共点，
所以 Δ=64k2−4m+4k24−4m≥0，即 64k2m+16m2−16m≥0．
因为 m>0 且 m≠4，
所以 4k2+m−1≥0，
所以 m≥1−4k2．
因为 k∈R，
所以 m≥1 且 m≠4．
方法二（几何法）：
由题知直线过定点 0,1，当定点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆有公共点，如图，
所以 m≥1 且 m≠4，
所以实数 m 的取值范围为 1,4∪4,+∞．
11. A【解析】等效判别式为 Δʹ=2×12+1×m2−12=m2+1>0，
所以直线 x+my+1=0m∈R 与椭圆 x22+y2=1 相交，故选A．
标准解法：联立 x+my+1=0 与 x22+y2=1，消 x 得 my+12+2y2=2，
整理得 m2+2y2+2my−1=0，Δ=4m2+4m2+2>0 恒成立，
所以直线 x+my+1=0m∈R 与椭圆 x22+y2=1 相交，故选A．
12. B【解析】由题意知，切线的斜率存在，设切线方程为 y=kx+ak>0，
与椭圆方程联立得 y=kx+a,x2a2+y2b2=1,
消去 y，整理得 b2+a2k2x2+2a3kx+a4−a2b2=0，
由 Δ=4a6k2−4b2+a2k2⋅a4−a2b2=0，
得 k=ca，从而 y=cax+a．
因为直线交 x 轴的负半轴于点 A，
所以 A−a2c,0．
又 Fc,0，所以 BA=−a2c,−a，BF=c,−a，
则 BA⋅BF=0，
故 ∠ABF=90∘．
13. C【解析】由 y=kx+3,x216+y24=1 得 4k2+1x2+24kx+20=0．
当 Δ=1616k2−5>0，即 k>54 或 k0，得 m1．
因为 m>0 且 m≠3，
所以 m 的取值范围为 1,3∪3,+∞．
16. A【解析】由椭圆 C:x24+y23=1 可知，其左顶点为 A1−2,0，右顶点为 A22,0．
设 Px0,y0x0≠±2，则 y02x02−4=−34．
因为 kPA2=y0x0−2，kPA1=y0x0+2，
所以 kPA2⋅kPA1=y0x0−2⋅y0x0+2=y02x02−4=−34．
因为直线 PA2 斜率的取值范围是 −2,−1，
所以直线 PA1 斜率的取值范围是 38,34．
17. C【解析】由 PA⋅PB=0，可得 ∠APB=90∘，
利用圆的性质，可得 ∣OP∣=2b．
所以 ∣OP∣2=2b2≤a2，
所以 a2≤2c2，
所以 e2≥12，
又因为 0