2022届高考大一轮复习知识点精练：数列模型的实际应用问题

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：数列模型的实际应用问题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：“一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯多少?”现有类似问题：一座 5 层塔共挂了 363 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 3 倍，则塔的中间一层共有灯
A. 3 盏B. 9 盏C. 27 盏D. 81 盏

2. 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲，乙，丙，丁分别衰分得 100，60，36，21.6 个单位，递减的比例为 40%．今共有粮 mm>0 石，按甲，乙，丙，丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得 80 石，乙，丁衰分所得的和为 164 石，则“衰分比”与 m 的值分别为
A. 20%，369B. 80%，369C. 40%，360D. 60%，365

3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有
A. 17×87−8 人B. 17×89−8 人
C. 8+17×87−8 人D. 8+17×89−84 人

4. 某地为了保护水土资源，实行退耕还林政策，如果 2018 年退耕 a 万亩，以后每年比上一年增加 10%，那么到 2025 年一共退耕
A. 10a1.18−1 万亩B. a1.18−1 万亩
C. 10a1.17−1 万亩D. a1.17−1 万亩

5. 《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，如《张邱建算经》卷上第 22 题为利用等差数列求和公式解决织布问题．若有一女善织布，从第 2 天起每天比前一天多织相同量的布，第一天织 5 尺布，一个月（按 30 天计）共织 420 尺布，则第 2 天织布的尺数为
A. 16329B. 16129C. 8115D. 8015

6. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智玩具，它由九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”．在某种玩法中，用 an 表示解下 nn≤9,n∈N+ 个圆环所需的最少移动次数，an 满足 a1=1，且 n≥2 时，an=2an−1−1,n为偶数,2an−1+2,n为奇数, 则解下 4 个圆环所需的最少移动次数为
A. 7B. 8C. 9D. 10

7. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 122．若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为
A. 32fB. 322fC. 1225fD. 1227f

8. 我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重 4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤?
A. 6 斤B. 7 斤C. 9 斤D. 15 斤

9. 我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996 斤棉花，分别赠送给 8 个子女做旅费，从第 1 个孩子开始，以后每人依次多 17 斤，直到第 8 个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第 8 个孩子分到的棉花为
A. 184 斤B. 176 斤C. 65 斤D. 60 斤

10. 银行按“复利”计算利息，即把上一个月的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一个月的利息．某人在银行贷款金额为 A 元，采用的还款方式为“等额本息”，即每个月还款 1 次，每次还款的金额固定不变，直到贷款的本金和利息全部还完为止．若月利率 p 固定不变，按“复利”计算本息和，分 n 个月还清（贷款 1 个月后开始第 1 次还款），则此人每月还款金额为
A. An 元B. A1+pnn 元
C. A1+pn1+pn−1 元D. Ap1+pn1+pn−1 元

11. 标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E”形视标，且从视力 5.2 的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E"边长的 1010 倍，若视力 4.2 的视标边长为 a，则视力 5.1 的视标边长为
A. 10−910aB. 10−45aC. 1045aD. 10910a

12. 《九章算术》的盈不足章第 19 个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里 ⋯”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是 3000 里．良马第一天行 193 里，之后每天比前一天多行 13 里．驽马第一天行 97 里，之后每天比前一天少行 0.5 里 ⋯”试问前 4 天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为
A. 1235B. 1800C. 2600D. 3000

13. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”从下至上共 7 层，从第二层起，上层的数量是下层的 2 倍，总共有 1016 个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上的“浮雕像”的数量构成数列 an，则 lg2a3⋅a5 的值为
A. 8B. 10C. 12D. 16

14. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个情境：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其意思是“有一个人要去 378 里外的地方，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了 6 天后到达目的地．”请问他第三天走了
A. 60 里B. 48 里C. 36 里D. 24 里

15. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升．”其大意为“官府陆续派遭 1984 人前往修筑堤坝，第一天派出 64 人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多 8，且给修筑堤坝的每人每天分发大米 3 升．”在该问题中，前 5 天共分发大米
A. 1200 升B. 1440 升C. 1512 升D. 1772 升

16. 有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个，现在有 1 个这种细菌和 200 个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要
A. 6 秒钟B. 7 秒钟C. 8 秒钟D. 9 秒钟

17. 某种细胞开始有 2 个，1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个，2 小时后分裂成 6 个并死去 1 个，3 小时后分裂成 10 个并死去 1 个，⋯⋯，按此规律进行下去，6 小时后细胞的存活数是
A. 33B. 65C. 66D. 129

18. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少?它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1 斗 =10 升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食?
A. 257，507，1007B. 2514，257，507C. 1007，2007，4007D. 507，1007，2007

19. 某林场计划第一年造林 1000 公顷，以后每年比前一年多造林 20%，则第四年该林场造林
A. 1440 公顷B. 17280 公顷C. 1728 公顷D. 2073.6 公顷

20. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数 N:N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂．那么该款软件的激活码是
A. 440B. 330C. 220D. 110

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 某校的“希望工程”募捐小组在假期中进行了一次募捐活动．他们第一天得到 15 元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多 10 元．要募捐到不少于 1100 元，这次募捐活动至少需要 天．（结果取整）

22. 某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植树 2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍，则需要的最少天数 nn∈N+ 等于 ．

23. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图，实心点个数为 1，5，12，22，⋯，被称为五角形数，其中第 1 个五角形数记作 a1=1，第 2 个五角形数记作 a2=5，第 3 个五角形数记作 a3=12，第 4 个五角形数记作 a4=22，⋯，第 n 个五角形数记作 an，已知 an−an−1=3n−2n≥2，则前 n 个五角形数中，实心点的总数为 ．（参考公式：12+22+32+⋯+n2=nn+12n+16）

24. 我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．那么，第 6 天截取之后，剩余木棍的长度是 尺；要使剩余木棍的长度小于 12018 尺，需要经过 次截取．

25. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价 a，最高销售限价 bb>a 以及实数 x0100，
② 1+2+4+−2−n=0，解得：n=5，总共有 1+5×52+3=18，不满足 N>100，
③ 1+2+4+8+−2−n=0，解得：n=13，总共有 1+13×132+4=95，不满足 N>100，
④ 1+2+4+8+16+−2−n=0，解得：n=29，总共有 1+29×292+5=440，满足 N>100，
所以该款软件的激活码 440．
第二部分
21. 14
22. 6
【解析】易知每天植树的棵数构成以 2 为首项，2 为公比的等比数列，则第 nn∈N+ 天植树 2n 棵，
则有 21−2n1−2≥100，得 2n≥51，
因为 25=32，26=64，
所以 n≥6．
23. n2n+12
【解析】由题得
an=an−an−1+an−1−an−2+⋯+a2−a1+a1=3n−2+3n−5+⋯+4+1=n1+3n−22=3n2−n2=3n22−n2.
故前 n 个五角形数中，实心点的总数为
3212+22+⋯+n2−nn+12×2=32×nn+12n+16−nn+14=nn+12n+1−nn+14=n2n+12.
24. 164，11
【解析】记第 n 天后剩余木棍的长度 an，则 an 是首项为 12，公比为 12 的等比数列，
所以 an=12n，所以 a6=126=164，
由 an=12n10，所以 n 的最小值为 11．
所以第 6 天截取之后，剩余木棍的长度是 164 尺，要使剩余木棍的长度小于 12018 尺，需要经过 11 次截取．
25. 5−12
【解析】已知 c−a 是 b−c 和 b−a 的等比中项，即 c−a2=b−cb−a，把 c=a+xb−a 代入上式，得 x2b−a2=b−a−xb−ab−a，即 x2b−a2=1−xb−a2，
因为 b>a，
所以 b−a≠0，x2=1−x，即 x2+x−1=0，解得 x=−1±52，
因为 0an．
即至少经过 4 年，该企业进行技术改造后的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润．
31. （1） 设第 n 区每平方米的重量为 an 千克，
则 an=10001−2%n−1=1000×0.98n−1，
第 1225 米位于第 25 区，
所以 a25=1000×0.9824=616（千克）．
故第 1225 米处每平方米火山灰约重 616 千克．
（2） 设第 n 区内的面积为 bn 平方米，
则 bn=π502n2−π502n−12=2500π2n−1，
则第 n 区内火山灰的总重量为 Cn=anbn=25×105π2n−1×0.98n−1（千克）．
设第 n 区火山灰总重量最大，
则 25×105π2n−1×0.98n−1≥25×105π2n−3×0.98n−2,25×105π2n−1×0.98n−1≥25×105π2n+1×0.98n,
解得 49.5≤n≤50.5，即得第 50 区火山灰的总重量最大．