2022届高考大一轮复习知识点精练：直线与抛物线的位置关系

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：直线与抛物线的位置关系，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F，过点 F 且斜率为 2 的直线为 l，M−4,0，若抛物线 C 上存在一点 N，使 M，N 关于直线 l 对称，则抛物线 C 的方程为
A. y2=2xB. y2=4xC. y2=6xD. y2=8x

2. 设 O 为坐标原点，直线 x=2 与抛物线 C：y2=2pxp>0 交于 D，E 两点，若 OD⊥OE，则 C 的焦点坐标为
A. 14,0B. 12,0C. 1,0D. 2,0

3. 设直线 l1:y=2x，直线 l2 经过点 P2,1，抛物线 C:y2=4x，已知直线 l1，l2 与抛物线 C 共有三个交点，则满足条件的直线 l2 的条数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

4. 过点 2,4 作直线与抛物线 y2=8x 只有一个公共点，这样的直线有
A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条

5. 已知双曲线 C:x2a2−4y2=1a>0 的右顶点到其一条渐近线的距离等于 34，抛物线 E:y2=2px 的焦点与双曲线 C 的右焦点重合，则抛物线 E 上的动点 M 到直线 l1:4x−3y+6=0 和 l2:x=−1 的距离之和的最小值为
A. 1B. 2C. 3D. 4

6. 过点 M−1,0 的直线与抛物线 C:y2=4x 相交于 A，B 两点，若 2MA=AB，则点 A 到抛物线 C 的焦点的距离为
A. 53B. 52C. 43D. 32

7. 已知抛物线 C：y2=2pxp>0 的焦点为 F，点 P 是抛物线 C 上位于第一象限内的一点，M 为线段 PF 的中点，MQ 垂直 y 轴于点 Q，若直线 QF 的倾斜角为 α，α∈π2,π，则直线 PF 的倾斜角为
A. αB. 2αC. π−αD. 2α−π

8. 已知抛物线 C:x2=2py 的焦点为 F，定点 M2,0，若直线 FM 与抛物线 C 相交于 A，B 两点（点 B 在 F，M 中间），且与抛物线 C 的准线交于点 N，若 ∣BN∣=3∣BF∣，则 AF 的长为
A. 34B. 1C. 32D. 3

9. 已知抛物线 C：x2=2pyp>0 的焦点为 F，定点 M2,0，若直线 FM 与抛物线 C 相交于 A，B 两点（点 B 在 F，M 之间），且与抛物线 C 的准线交于点 N，若 ∣BN∣=3∣BF∣，则 AF 的长为
A. 34B. 1C. 32D. 3

10. 已知直线 y=22x−1 与抛物线 C:y2=4x 交于 A，B 两点，点 M−1,m，若 MA⋅MB=0，则 m=
A. 2B. 22C. 12D. 0

11. 已知直线 y=−3x−2 与抛物线 C:y2=2pxp>0 的准线相交于 M，与 C 的其中一个交点为 N，若线段 MN 的中点在 x 轴上，则 p=
A. 2B. 4C. 23D. 43

12. 已知斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C:y2=4x 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M1,mm>0，则斜率 k 的取值范围是
A. −∞,1B. −∞,1C. 1,+∞D. 1,+∞

13. 已知 F 为抛物线 y2=4x 的焦点，过点 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，则 ∣∣FA∣−∣FB∣∣ 的值等于
A. 82B. 8C. 42D. 4

14. 抛物线方程为 y2=4x，一直线与抛物线交于 A，B 两点，其弦 AB 的中点坐标为 1,1，则直线的方程为
A. 2x−y−1=0B. 2x+y−1=0
C. 2x−y+1=0D. −2x−y−1=0

15. 已知抛物线 C:y2＝x 的焦点为 F，过点 F 且斜率为 3 的直线交抛物线 C 于点 A，B 两点，则 ∣AF∣⋅∣BF∣ 等于
A. 13B. 43C. 1D. 4

16. 已知抛物线 C:y2=x 的焦点为 F，过点 F 且斜率为 3 的直线交抛物线 C 于点 A，B 两点，则 ∣AF∣⋅∣BF∣ 等于
A. 13B. 43C. 1D. 4

17. 练习 3．已知抛物线 C:y2=3x 的焦点为 F，斜率为 32 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P．若 AP=3PB，则 ∣AB∣=
A. 4133B. −4133C. 133D. −133

18. 已知直线 l:y=kx−2k>0 与抛物线 C:y2=8x 交于 A，B 两点，F 为抛物线 C 的焦点，若 ∣AF∣=2∣BF∣，则 k 的值是
A. 13B. 223C. 22D. 24

19. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与曲线 y=x2x>0 和曲线 x=1−y2 均相切，切点分别为 A，B 两点，则两切点 AB 间的长为
A. 9+45B. 2+5C. 11+55D. 10+55

20. 已知点 A0,2，B2,0．若点 C 在函数 y=x2 的图象上，则使得 △ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为
A. 4B. 3C. 2D. 1

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知点 A，B 是抛物线 y2=pxp>0 上两个不同的动点，且均位于 x 轴上方，若 ∠AOx+∠BOx=90∘（O 为坐标原点），则 kOA⋅kOB= ，直线 AB 过定点 ．

22. 设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，点 A，B 在抛物线上，直线 AB 过焦点 F，若 ∣BF∣−∣AF∣=32，则 ∣AF∣∣BF∣ 的值为 ．

23. 已知倾斜角为 60∘ 的直线过曲线 C:y=2x2 的焦点 F，且与 C 相交于不同的两点 A，B（A 在第一象限），则 AF= ．

24. 已知倾斜角为 60∘ 的直线过曲线 C:y=2x2 的焦点 F，且与 C 相交于不同的两点 A，B（A 在第一象限），则 AF= ．

25. 已知抛物线 y2=2pxp>0 的焦点 F，过其准线与 x 轴的交点 E 作直线 l，
（1）若直线 l 与抛物线相切于点 M，则 ∠EMF= ．
（2）设 p=6，若直线 l 与抛物线交于点 A，B，且 AB⊥BF，则 ∣AF∣−∣BF∣= ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 过抛物线 y2=2pxp>0 的焦点的一条直线与抛物线相交于两个不同的点，两个交点的纵坐标分别为 y1，y2，求证：y1y2=−p2．

27. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的顶点是原点，以 x 轴为对称轴，且经过点 P1,2．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）设点 A，B 在抛物线 C 上，直线 PA，PB 分别与 y 轴交于点 M，N，∣PM∣=∣PN∣．求直线 AB 的斜率．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A1,2，B 是一动点，直线 OA，OB，AB 的斜率分别为 k1，k2，k3，且 1k1+1k2=1k3，记 B 点的轨迹为 E．
（1）求 E 的方程．
（2）过 C1,0 的直线与 E 交于 M，N 两点，过线段 MN 的中点 D 且垂直于 MN 的直线与 x 轴交于 H 点，若 ∣MN∣=4∣DH∣，求直线 MN 的方程．

29. 已知以 F 为焦点的抛物线 C:y2=2pxp>0 过点 P1,−2，直线 l 与 C 交于 A，B 两点，M 为 AB 中点，且 OM+OP=λOF．
（1）当 λ=3 时，求点 M 的坐标；
（2）当 OA⋅OB=12 时，求直线 l 的方程．

30. 已知过点 P0,2 的直线 l 与抛物线 C:y2=4x 交于 A，B 两点，O 为坐标原点．
（1）若以 AB 为直径的圆经过原点 O，求直线 l 的方程；
（2）若线段 AB 的中垂线交 x 轴于点 Q ，求 △POQ 面积的取值范围．

31. 已知抛物线 C1：y2=4x 与圆 C2：x2+y2=r2 的一个交点的横坐标 x0=5−2，动直线 l 与 C1 相切于点 P，与 C2 交于不同的两点 A，B，O 为坐标原点．
（1）求 C2 的方程；
（2）若 OA⊥OB，求 ∣PA∣∣PB∣ 的值．
答案
第一部分
1. B【解析】由抛物线的方程可得焦点 F 的坐标 p2,0，
由题意直线 l 的方程为：y=2x−p2，即 2x−y−p=0，
由题意设 Ny022p,y0，
由题意可得 2⋅y022p−42−y0+02−p=0,y02=−12,y022p+4, 整理可得 y0=−16−2p5, ⋯⋯①
再由 ∣MF∣=∣FN∣（中垂线的性质），∣MF∣=p2+4，∣NF∣=y022p+p2，
所以 y022p=4，所以 y02=8p, ⋯⋯②
由①②可得 −16−2p52=8p，
解得：p=32（舍）或 p=2，
所以抛物线的方程为：y2=4x．
2. B【解析】因为直线 x=2 与抛物线 y2=2pxp>0 交于 E，D 两点，且 OD⊥OE，根据抛物线的对称性可以确定 ∠DOx=∠EOx=π4，所以 D2,2，代入抛物线方程 4=4p，求得 p=1，所以其焦点坐标为 12,0，
故选：B．
3. C【解析】因为点 P2,1 在抛物线内部，且直线 l1 与抛物线 C 有两个交点，设相交于 A，B 两点，所以当过点 P 的直线 l2 过点 A 或过点 B 或与 x 轴平行时符合题意．所以满足条件的直线 l2 共有 3 条．
4. B【解析】由题意知，点 2,4 在抛物线 y2=8x 上，所以过点 2,4 作与抛物线 y2=8x 只有一个公共点的直线有 2 条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．
5. B
【解析】x2a2−4y2=1 的右顶点坐标为 a,0，一条渐近线为 x−2ay=0．
由点到直线的距离公式得 d=∣a∣12+4a2=34，解得 a=32 或 a=−32（舍去），故双曲线的方程为 4x23−4y2=1．
因为 c=34+14=1，故双曲线的右焦点为 1,0，即抛物线的焦点为 1,0，所以 p=2，x=−1 是抛物线的准线，如图，作 MA⊥l1，MB⊥l2，设抛物线的焦点为 F，连接 MF，
则由抛物线的定义知 ∣MB∣=∣MF∣，当 M，A，F 三点共线时，距离之和最小，其最小值是点 F 到 l1 的距离，
由点到直线的距离公式可得 d1=∣4+6∣−32+42=105=2，即距离之和的最小值为 2．
6. C【解析】如图所示，
设 Ax1,y1，Bx2,y2，由抛物线的几何性质可知抛物线的准线方程 x=−1，
则抛物线的焦点坐标 F1,0，2MA=AB，M−1,0，
则 3x1+1=x2+1，且 3y1=y2，
所以 9y12=y22，即 9×4x1=4x2，
所以 x2=9x1，则 3x1+1=9x1+1，
解得 x1=13，∣AF∣=13+1=43．
7. D【解析】设 Py022p,y0，Fp2,0，My02+p24p,y02，
所以 Q0,y02，kQF=−y0p，kPF=2py0y02−p2，
设 QF 倾斜角度为 α，PF 倾斜角为 β，
则 tanα=kQF，tanβ=kPF，
则 kPF=2kQF1−kQF2，
即 tanβ=2tanα1−tan2α=tan2α，
从而 β=2α+kπ，k∈Z，
由于 2α∈π,2π，β∈0,π，
故 β=2α−π．
8. C【解析】如图所示，过点 B 作 BBʹ 垂直于准线，垂足为点 Bʹ，
则 ∣BF∣=∣BBʹ∣，
由 ∣BN∣=3∣BF∣，
得 ∣BN∣=3∣BBʹ∣，
可得 sin∠BNBʹ=13，
所以 cs∠BNBʹ=223，tan∠BNBʹ=24，
又 M2,0，
所以直线 AB 的方程为 y=−24x−2，
取 x=0，得 y=12，
即 F0,12，则 p=1，
所以抛物线方程为 x2=2y，
联立 y=−24x−2,x2=2y, 解得 yA=1，
所以 ∣AF∣=yA+12=1+12=32．
9. C【解析】如图所示，过点 B 作 BBʹ 垂直于准线，垂足为点 Bʹ，
则 ∣BF∣=∣BBʹ∣，由 ∣BN∣=3∣BF∣ 得 ∣BN∣=3∣BBʹ∣，可得 sin∠BNBʹ=13，
所以 cs∠BNBʹ=223，tan∠BNBʹ=24，
又 M2,0，
所以直线 AB 的方程为 y=−24x−2，
取 x=0，得 y=12 即 F0,12，则 p=1，
所以抛物线方程为 x2=2y，
联立 y=−24x−2,x2=2y, 解得 yA=1，
所以 ∣AF∣=yA+12=1+12=32 .
10. B
【解析】由直线与抛物线的方程可取 A2,22，B12,−2，
因为 M−1,m，
所以 MA=3,22−m，MB=32,−2−m．且 MA⋅MB=0，
所以 2m2−22m+1=0，解得 m=22．
11. B
12. C
13. C【解析】F1,0，故直线 AB 的方程为 y=x−1，
联立方程组 y2=4x,y=x−1, 可得 x2−6x+1=0，
设 Ax1,y1，Bx2,y2，由根与系数的关系可知 x1+x2=6，x1x2=1，
由抛物线的定义可知：∣FA∣=x1+1，∣FB∣=x2+1，
所以
∣∣FA∣−∣FB∣∣=x1−x2=x1+x22−4x1x2=36−4=42.
故选：C．
14. A【解析】设 Ax1,y1，Bx2,y2，所以 y1+y2=2，
又 y12=4x1,y22=4x2, 两式相减得：y12−y22=4x1−x2，
所以 y1+y2y1−y2=4x1−x2，
所以 y1−y2x1−x2=42=2，
所以直线 AB 的斜率为 2，又所以过点 1,1，
所以直线 AB 的方程为：y−1=2x−1，即 2x−y−1=0．
15. A
【解析】抛物线 C:y2＝x 的焦点为 F，过点 F 且斜率为 3 的直线交抛物线 C 于点 A，B 两点，
以 F 为极点的抛物线的极坐标方程为：ρ=p1−csα=12−2csα，Aρ,α，Bρ,π+α，
∣AF∣=p1−csα=p1−cs60∘，∣BF∣=p1+csα=p1+cs60∘，∣AF∣∣BF∣=p1−cs60∘×p1+cs60∘=p2sin260∘=1434=13．
16. A【解析】抛物线 C:y2=x 的焦点为 F，过点 F 且斜率为 3 的直线交抛物线 C 于点 A，B 两点，
以 F 为极点的抛物线的极坐标方程为：ρ=P1−csα=12−2csα，Aρ,α，Bρ,π+α，
∣AF∣=P1−csα=P1−cs60∘，∣BF∣=P1+csα=P1+cs60∘，
∣AF∣∣BF∣=P1−cs60∘×P1+cs60∘=P2sin260∘=1434=13．
17. A【解析】设直线 l 的方程为 y=32x−t，
将其代入抛物线 y2=3x 得：94x2−92t+3x+94t2=0，
设 Ax1,y1，Bx2,y2，
则 x1+x2=92t+394=2t+43, ⋯⋯①x1x2=t2, ⋯⋯②
若 AP=3PB，则 y1=−3y2，
所以 32x1−t=−3×32x2−t，化简得 x1=−3x2+4t, ⋯⋯③
由 ①②③ 解得 t=1，x1=3，x2=13，
所以 ∣AB∣=1+943+132−4=4133．
故选：A．
18. C【解析】法一 据题意画图，
作 AA1⊥lʹ，BB1⊥lʹ，BD⊥AA1 .
设直线 l 的倾斜角为 θ，∣AF∣=2∣BF∣=2r，
则 ∣AA1∣=2∣BB1∣=2∣AD∣=2r，
所以有 ∣AB∣=3r，∣AD∣=r，
则 ∣BD∣=22r，k=tanθ=tan∠BAD=∣BD∣∣AD∣=22 .
法二 直线 y=kx−2 恰好经过抛物线 y2=8x 的焦点 F2,0，由 y2=8x,y=kx−2. 可得 ky2−8y−16k=0，因为 ∣FA∣=2∣FB∣，所以 yA=−2yB .则 yA+yB=−2yB+yB=8k，所以 yB=−8k，yA⋅yB=−16，所以 −2yB2=−16，即 yB=±22，又 k>0，故 k=22 .
19. D【解析】设切点 Ax0,y0，因为切点 A 在曲线 y=x2x>0 上，
所以 y0=x02，所以 Ax0,x02x0>0，
y=x2，所以 yʹ=2x，
所以以 A 为切点的切线的斜率为 k=2x0，
所以直线 l 的方程为 y−x02=2x0x−x0，即 2x0x−y−x02=0，
因为直线 l 与曲线 x=1−y2（以原点为圆心，以 1 为半径的半圆）相切，
所以 −x022x02+12=1，
所以 x04=4x02+1，所以 x02=2+5 或 2−5（舍），
所以 x0=±2+5，
因为 x0>0，所以 x0=2+5，
所以切点坐标为 A2+5,2+5，
由切线长定理可得，
AB=AO2−r2=2+52+2+52−12=10+55.
20. A
【解析】根据题意，
S△ABC=12×AB×h=12×22×h=2,
解得 h=2，即点 C 到直线 AB 的距离为 2．
问题转化为与直线 AB 距离为 2 的直线与抛物线交点的个数．
由两平行线间的距离公式，得与直线 AB 距离为 2 的直线方程为
y=−x 或 y=−x+4,
分别将直线与抛物线方程联立，解得这两直线与抛物线分别有 2 个交点，因此，共有 4 个不同的 C 点满足条件．
第二部分
21. 1，−p,0
【解析】由题意知直线 AB 的斜率存在且不为 0，
设直线 AB 的方程为 x=my+tm≠1，
Ax1,y1，Bx2,y2，
将直线方程与抛物线方程联立，
得 x=my+t,y2=px,
得 y2−pmy−pt=0，
由根与系数的关系，得 y1+y2=mp，y1y2=−pt．
因为 ∠AOx+∠BOx=90∘，
所以
tan∠AOx=tan90∘−∠BOx=sin90∘−∠BOxcs90∘−∠BOx=cs∠BOxsin∠BOx=1tan∠BOx,
所以 kOA⋅kOB=1，
所以 y1my1+t⋅y2my2+t=1，
即 m2−1y1y2+mty1+y2+t2=0，
将 y1+y2=mp，y1y2=−pt 代入，
得 tt+p=0，t=0（舍），t=−p，
所以直线 AB 过定点 −p,0．
22. 12
【解析】设直线 AB 的方程为 x=ty+1，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立 x=ty+1,y2=4x, 得 y2−4ty−4=0，
所以 Δ>0,y1+y2=4t,y1y2=−4,
所以
x1⋅x2=ty1+1ty2+1=t2y1y2+ty1+y2+1=1,
因为 ∣BF∣−∣AF∣=32，
由抛物线的定义得，x2−x1=32，
所以 x1=12，x2=2，
故 ∣AF∣∣BF∣=12+12+1=12．
23. 2+32
【解析】过点 F0,18 作倾斜角为 60∘ 的直线方程为 y=3x+18，代入抛物线方程，
可得 2x2−3x−18=0，解得 x=3±24，
则 xA=3+24，yA=7+438．
则 AF=yA+18=2+32．
24. 2+32
【解析】过点 F0,18 作倾斜角为 60∘ 的直线方程为 y=3x+18，代入抛物线方程，
可得 2x2−3x−18=0，解得 x=3±24，则 xA=3+24，yA=7+438．
则 AF=yA+18=2+32．
25. π4，12
【解析】（1）由题意知，点 E−p2,0，点 Fp2,0，
设直线 l 与抛物线相切于第一象限，则 x=my−p2m>0，
代入抛物线方程并整理得：y2−2mpy+p2=0，
则 Δ=4m2p2−4p2=0，解得 m=1，直线 l：y=x+p2，
此时 y2−2py+p2=0，解得 y=p，
将 y=p 代入直线方程，解得 x=p2，所以点 Mp2,p，则 MF⊥x 轴，又直线 l 斜率为 1，
所以 ∠MEF=π4，所以 ∠EMF=π4；
（2）由已知，p=6，则抛物线 y2=12x，
则点 E−3,0，点 F3,0，
设直线 l 方程为 y=kx+3，
代入抛物线方程并整理得，k2x2+6k2−12x+9k2=0，
设点 Ax1,y1，点 Bx2,y2，由韦达定理，x1x2=9k2k2=9，
由 AB⊥BF，得 EB⊥BF，
所以 kEB⋅kBF=−1，即 0−y2−3−x2⋅0−y23−x2=−1，
整理得，x22+y22=9，又 y22=12x2，
所以 x22+12x2−9=0，
解得 x2=35−6，或 x2=−35−6（舍去），
由 x1x2=9，解得 x1=35+6，
∣AF∣=x1+p2=35+6+3=35+9，
∣BF∣=x2+p2=35−6+3=35−3，
所以 ∣AF∣−∣BF∣=35+9−35−3=12．
第三部分
26. 因为焦点 Fp2,0，过焦点的直线 l:y−0=kx−p2，
所以 y2=2px,y=kx−p2,
消去 x 并化简得 k2py2−y−pk2=0，
所以 y1y2=−pk2k2p=−p2，得证．
27. （1） 依题意，设抛物线 C 的方程为 y2=axa≠0．
由抛物线 C 经过点 P1,2，
得 a=4，
所以抛物线 C 的方程为 y2=4x．
（2） 因为 ∣PM∣=∣PN∣，
所以 ∠PMN=∠PNM，
所以 ∠1=∠2，
所以直线 PA 与 PB 的倾斜角互补，
所以 kPA+kPB=0．
依题意，直线 AP 的斜率存在，设直线 AP 的方程为：y−2=kx−1k≠0，
将其代入抛物线 C 的方程，整理得 k2x2−2k2−2k+2x+k2−4k+4=0．
设 Ax1,y1，则 1×x1=k2−4k+4k2，y1=kx1−1+2=4k−2，
所以 Ak−22k2,4k−2．
以 −k 替换点 A 坐标中的 k，得 Bk+22k2,−4k−2．
所以 kAB=4k−−4kk−22k2−k+22k2=−1．
所以直线 AB 的斜率为 −1．
28. （1） 设 Bx,y，
依题意：12+xy=x−1y−2，
化简得：y2=4x，
则曲线 E 的方程为：y2=4xx≠0,x≠1．
（2） 依题意，设直线 MN 的方程为 x=ty+1，t≠0，
联立 x=ty+1,y2=4x, 得 y2−4ty−4=0，
设 Mx1,y1，Nx2,y2，由韦达定理得，y1+y2=4t，y1y2=−4，
所以 ∣MN∣=1+t2y1+y22−4y1y2=4t2+1，
由 D 为 MN 的中点，易知 D2t2+1,2t，
直线 DH 的方程为 y−2t=−tx−2t2−1，
所以点 H 的坐标为 2t2+3,0，所以 ∣DH∣=2t2+1，
因为 ∣MN∣=4∣DH∣，所以 4t2+1=8t2+1，解得 t=±3，
所以 MN 的方程为 x−3y−1=0 或 x+3y−1=0．
29. （1） 因为 P1,−2 在 y2=2px 上，代入方程可得 p=2，
所以 C 的方程为 y2=4x，焦点为 F1,0．
设 Mx0,y0，当 λ=3 时，由 OM+OP=3OF，
得 x0,y0+1,−2=31,0=3,0，可得 x0=2，y0=2，所以 M2,2．
（2） 法一：
设 Ax1,y1，Bx2,y2，Mx0,y0，
由 OM+OP=λOF，可得 x0+1,y0−2=λ,0，所以 y0=2．
所以直线 l 的斜率存在且斜率 k=y1−y2x1−x2=4y1+y2=2y0=1．
设直线 l 的方程为 y=x+b，联立 y=x+b,y2=4x,
得 x2+2b−4x+b2=0，可得 b0，
则 y1+y2=4m，y1y2=−4n，x1+x2=my1+y2+2n=4m2+2n，
所以 M2m2+n,2m．
由 OM+OP=λOF，得 2m2+n+1,2m−2=λ,0，
所以 m=1，所以直线 l 的方程为 x=y+n，
由 Δ=16+16n>0，得 n>−1，
由 y1y2=−4n，得 x1x2=y1y2216=n2，
所以 OA⋅OB=x1x2+y1y2=n2−4n=12，
解得 n=6 或 n=−2（舍去），所以直线 l 的方程为 y=x−6．
30. （1） 设直线 AB 的方程为 y=kx+2k≠0，设 Ax1,y1，Bx2,y2，
由 y2=4x,y=kx+2, 得 k2x2+4k−4x+4=0*，
则由 Δ=4k−42−16k2=−32k+16>0，
得 k2．
所以 △POQ 面积的取值范围为 2,+∞．
31. （1） 联立抛物线 C1 与圆 C2 的方程：得 x2+4x−r2=0，
由题意，x0=5−2 满足上述方程，所以 5−22+45−2−r2=0，
解得 r2=1，所以 C2 的方程为 x2+y2=1．
（2） 设直线 l 的方程为 x=ky+m，
联立直线 l 与抛物线 C1 的方程得 y2−4ky−4m=0，
由于直线 l 与 C1 相切，所以 Δ=−4k2−4−4m=0，即 k2+m=0, ⋯⋯①
联立直线 l 与圆 C2 的方程：得 1+k2y2+2kmy+m2−1=0，
设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 y1+y2=−2km1+k2，y1y2=m2−11+k2．
由 OA⊥OB，得 x1x2+y1y2=0，
即 ky1+mky2+m+y1y2=k2+1y1y2+kmy1+y2+m2=0，
故 1+k2m2−11+k2+km−2km1+k2+m2=0，
化简得，2m2−k2−1=0, ⋯⋯②
将①代入②得 2m2+m−1=0，解得 m=−1 或 m=12（舍去），k2=1，所以 k=±1，
故直线 l 的方程为 x=±y−1．
解方程得切点 P 的坐标为 P11,2，P21,−2．
i．当 P 的坐标为 P11,2 时，此时 A0,1，B−1,0，故 ∣PA∣∣PB∣=2×22=4；
ii．当 P 的坐标为 P21,−2 时，此时 A−1,0，B0,−1，故 ∣PA∣∣PB∣=22×2=4．
综上，∣PA∣⋅∣PB∣=4．