2022届高考大一轮复习知识点精练：直线的一般式方程

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：直线的一般式方程，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 过点 P1,3，且与 x，y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于 6 的直线 l 的方程是
A. 3x+y−6=0B. x+3y−10=0C. 3x−y=0D. x−3y+8=0

2. 若直线 2x−y−4=0 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a 和 b，则 a−b 的值为
A. 6B. 2C. −2D. −6

3. 将直线 x3+y4=1 化成一般式方程为
A. y=−43x+4B. y=−43x−3
C. 4x+3y−12=0D. 4x+3y+12=0

4. 直线 l1:kx−y−2k+4=0 与 x 轴交于点 M，直线 l2:x+ky−4k−2=0 与 y 轴交于点 N，线段 MN 的中点为 P，则点 P 的坐标 x,y 满足的方程为
A. x+2y−52x−y=0B. x+2y−5=0
C. 2x+y+42x+y=0D. 2x+y−4=0

5. 已知 x,ym+3x+y=3m−4∩x,y7x+5−my−8=0=∅，则直线 m+3x+y=3m+4 与坐标轴围成的三角形面积是
A. 2B. 4C. 1287D. 2 或 1287

6. 下列说法中不正确的是
A. 平面上任一条直线都可以用一个关于 x，y 的二元一次方程 Ax+By+C=0（A，B 不同时为 0）表示
B. 当 C=0 时，方程 Ax+By+C=0（A，B 不同时为 0）表示的直线过原点
C. 当 A=0，B≠0，C≠0 时，方程 Ax+By+C=0 表示的直线与 x 轴平行
D. 任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化

7. 下列方程能表示如图所示的直线的是
A. x−y=0B. x2−y2=0C. x−∣y∣=0D. 2x−2y=0

8. 关于直线 l：x−3y+2=0，下列说法正确的是
A. 直线 l 的倾斜角为 60∘
B. 向量 v=3,1 是直线 l 的一个方向向量
C. 直线 l 经过点 1,−3
D. 向量 n=1,3 是直线 l 的一个法向量

9. 若点 Ma,1b 和 Nb,1c 都在直线 l:x+y=1 上，则点 Pc,1a，Q1c,b 和 l 的关系是
A. P 和 Q 都在 l 上B. P 和 Q 都不在 l 上
C. P 在 l 上，Q 不在 l 上D. P 不在 l 上，Q 在 l 上

10. 已知直线 l：ax+y−2−a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是
A. 1B. −1C. −2 或 −1D. −2 或 1

11. 已知直线 a1x+b1y+1=0 和直线 a2x+b2y+1=0 都过点 A2,1，则过不同的两点 P1a1,b1 和 P2a2,b2 的直线方程是
A. 2x+y−1=0B. 2x+y+1=0C. 2x−y+1=0D. x+2y+1=0

12. 方程 y=−x2−2x+1 的图形是下图中的
A. B.
C. D.

13. 已知直线 l 的方程为 Ax+By+C=0，AB>0，BC1，则点 M，N 在直线 l 的同侧且直线 l 与线段 MN 的延长线相交．
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

16. 若动点 Ax1,y1，Bx2,y2 分别在直线 l1:x+y−11=0 和 l2:x+y−1=0 上移动，则 AB 中点 M 所在直线方程为
A. x−y−6=0B. x+y+6=0C. x−y+6=0D. x+y−6=0

17. 已知直线 ax+by+1=0 与直线 4x+3y+5=0 平行，且直线 ax+by+1=0 在 y 轴上的截距为 13，则 a+b 的值为
A. −7B. −1C. 1D. 7

18. 直线 a−1x+y−a−3=0a>1，当此直线在 x，y 轴上的截距和最小时，实数 a 的值是
A. 1B. 2C. 2D. 3

19. 已知 Px0,y0 是直线 l:Ax+By+C=0 外一点，则方程 Ax+By+C+Ax0+By0+C=0 表示
A. 过点 P 且与 l 垂直的直线B. 过点 P 且与 l 平行的直线
C. 不过点 P 且与 l 垂直的直线D. 不过点 P 且与 l 平行的直线

20. 若方程 2m2+m−3x+m2−my−4m+1=0 表示一条直线，则实数 m 满足
A. m≠0B. m≠−32
C. m≠1D. m≠1，m≠−32，m≠0

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知直线 a−2x+y−a=0a∈R 在两坐标轴上的截距互为相反数，则实数 a 的值等于 ．

22. 已知直线 l:ax+y−2−a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是 ．

23. 已知直线 x+2y=2 分别与 x 轴，y 轴相交于 A，B 两点，若动点 Pa,b 在线段 AB 上，则 ab 的最大值为 ．

24. 直线 7x−5y+2=0 绕着它与 x 轴的交点顺时针旋转 arctan16，所得直线的一般式方程是 ．

25. 函数 y=a1−xa>0,a≠1 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 y=−mnx+1nmn>0 上，则 1m+1n 的最小值为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. “平面直角坐标系上所有直线的集合”与“方程 Ax+By+C=0（其中 A，B 不同时为 0）所表示的直线的集合”相等，对吗?

27. 如图，已知矩形 OABC 的顶点 A 的坐标为 5,2，求直线 AB 的方程．

28. 已知直线 l 与直线 2x+y−5=0 平行，并且直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 4，求直线 l 的一般式方程．

29. 已知直线 l：5ax−5y−a+3=0 .
（1）求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限；
（2）为了使直线不经过第二象限，求实数 a 的取值范围．

30. 如图，射线 OA，OB 分别与 x 轴正半轴成 45∘ 和 30∘ 角，过点 P1,0 作直线 AB 分别交 OA，OB 于 A，B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y=12x 上时，求直线 AB 的方程．

31. 求分别满足下列条件的直线 l 的一般方程式：
（1）斜率是 34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是 6；
（2）经过两点 A1,0，Bm,1；
（3）经过点 4,−3，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
答案
第一部分
1. A
2. A【解析】令 y=0，得 x=2；令 x=0，得 y=−4，则 a=2，b=−4，所以 a−b=6．
3. C【解析】因为 x3+y4=1，
所以 4x+3y=12，
所以 4x+3y−12=0．
故选C．
4. B【解析】由题意得 k≠0，M2−4k,0，N0,4+2k，因此 P1−2k,2+1k．令 x=1−2k，y=2+1k，消去 k 得 x+2y−5=0．
5. A
【解析】因为 x,ym+3x+y=3m−4∩x,y7x+5−my−8=0=∅，
所以 m+37=15−m≠3m−48，解得 m=−2．
所以直线 m+3x+y=3m+4 为 x+y+2=0，它与坐标轴的交点为 −2,0 与 0,−2．
所以直线 x+y+2=0 与坐标轴围成的三角形面积是 12×2×2=2．故选A．
6. D【解析】对于选项A，在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角 α，当 α≠90∘ 时，直线的斜率 k 存在，其方程可写成 y=kx+b，它可变形为 kx−y+b=0，与 Ax+By+C=0 比较，可得 A=k，B=−1，C=b；当 α=90∘ 时，直线的斜率不存在，其方程可写成 x=x1，与 Ax+By+C=0 比较，可得 A=1，B=0，C=−x1，显然 A，B 不同时为 0，所以此说法是正确的．
对于选项B，当 C=0 时，方程 Ax+By+C=0（A，B 不同时为 0），即 Ax+By=0，显然有 A×0+B×0=0，即直线过原点 0,0，故此说法正确．
对于选项C，因为当 A=0，B≠0，C≠0 时，方程 Ax+By+C=0 可化为 y=−CB，它表示的直线与 x 轴平行，故此说法正确．
D说法显然错误．
7. D
8. B
9. A【解析】因为点 Ma,1b 和 Nb,1c 都在直线 l:x+y=1 上，
所以 a+1b=1，b+1c=1，则 b=11−a，
即 11−a+1c=1，
化简得 c+1a=1，
所以点 Pc,1a 在直线 l 上．
又因为 b+1c=1，
所以 Q1c,b 在直线 l 上．
故选A．
10. D
【解析】令 x=0，y=2+a，
令 y=0，x=2+aa，
则 2+a=2+aa．
即 a+2a−1=0，
所以 a=−2 或 a=1．
11. B【解析】把 A2,1 的坐标代入两条直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0，得 2a1+b1+1=0，2a2+b2+1=0，所以过点 P1a1,b1，P2a2,b2 的直线的方程为 2x+y+1=0．故选B．
12. C
13. C
14. A
15. D
16. D
17. A【解析】因为直线 ax+by+1=0 与直线 4x+3y+5=0 平行，
所以 4b=3a 且 5a≠4，5b≠3．
又直线 ax+by+1=0 在 y 轴上的截距为 13，
所以 13b+1=0，解得 b=−3．
所以 a=−4，
所以 a+b=−7．
故选A．
18. D【解析】当 x=0 时，y=a+3，当 y=0 时，x=a+3a−1，
令 t=a+3+a+3a−1=5+a−1+4a−1．
因为 a>1，所以 a−1>0．
所以 t≥5+2a−1⋅4a−1=9．
当且仅当 a−1=4a−1，
即 a=3 时，等号成立．
19. D【解析】因为 Px0,y0 是直线 l1:Ax+By+C=0 外一点，
所以 Ax0+By0+C=k，k≠0．
若方程 Ax+By+C+Ax0+By0+C=0，
则 Ax+By+C+k=0．
因为直线 Ax+By+C+k=0 和直线 l 斜率相等，但在 y 轴上的截距不相等，
故直线 Ax+By+C+k=0 和直线 l 平行．
因为 Ax0+By0+C=k，而 k≠0，
所以 Ax0+By0+C+k≠0，
所以直线 Ax+By+C+k=0 不过点 P．
20. C
【解析】提示：表示一条直线，则 2m2+m−3 和 m2−m 不同时为零．
第二部分
21. 0 或 1
【解析】若 a=0，则直线 y=2x，它在坐标轴上的截距都为 0，符合题设．当 a≠0，且 a≠2 时，令 x=0 可得 y=a；令 y=0 可得 x=aa−2．由题设 aa−2=−a，解得 a=1．当 a=2 时，不合题意，故应填 0 或 1．
22. −2 或 1
【解析】由题意可知 a≠0．当 x=0 时，y=a+2．
当 y=0 时，x=a+2a．
所以 a+2a=a+2，解得 a=−2 或 a=1．
23. 12
【解析】直线方程可化为 x2+y=1，故直线与 x 轴的交点为 A2,0，与 y 轴的交点为 B0,1．由动点 Pa,b 在线段 AB 上，可知 0≤b≤1，且 a+2b=2，从而 a=2−2b，故 ab=2−2b⋅b=−2b2+2b=−2b−122+12．由于 0≤b≤1，故当 b=12 时，ab 取得最大值 12．
24. 7x−7y+2=0
25. 4
第三部分
26. 对．平面直角坐标系上的直线与方程 Ax+By+C=0（其中 A，B 不同时为 0）一一对应，即直线都可以用方程 Ax+By+C=0（其中 A，B 不同时为 0）表示，同时任何一个方程 Ax+By+C=0（其中 A，B 不同时为 0）都表示一条直线．
27. 5x+2y−29=0．
28. 根据题意设直线 l 的方程为 2x+y+m=0，
令 x=0，得 y=m，
令 y=0，得 x=−m2，
所以直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 12m−m2=4，
所以 m2=16，解得 m=±4，
所以直线 l 的方程为 2x+y+4=0 或 2x+y−4=0．
29. （1） 方法一：将直线 l 的方程整理为 y−35=ax−15，
所以 l 的斜率为 a，且过定点 A15,35，
而点 A15,35 在第一象限，故不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限．
【解析】方法二：直线 l 的方程可化为 5x−1a−5y−3=0．
因为上式对任意的 a 都成立，
所以 5x−1=0,5y−3=0, 即 x=15,y=35. 即 l 过定点 A15,35，以下同方法一．
（2） 由（1）知，要使 l 不经过第二象限，只需它在 y 轴上的截距不大于零．
令 x=0，则 y=−a−35≤0，
所以 a≥3，即实数 a 的取值范围为 3,+∞．
30. 由题意可得 kOA=tan45∘=1，kOB=tan180∘−30∘=−33，
所以直线 lOA:y=x，lOB:y=−33x．
设 Am,m，B−3n,n，所以 AB 的中点 Cm−3n2,m+n2，
由点 C 在直线 y=12x 上，且 A，P，B 三点共线得 m+n2=12⋅m−3n2,m−0⋅−3n−1=n−0⋅m−1,
解得 m=3，所以 A3,3．
又 P1,0，所以 kAB=kAP=33−1=3+32，
所以 lAB:y=3+32x−1，
即直线 AB 的方程为 3+3x−2y−3−3=0．
31. （1） 设直线 l 的方程为 y=34x+b．令 x=0，得 y=b．
令 y=0，得 x=−43b，
所以 12b×−43b=6，解得 b=±3．
所以直线 l 的方程为 y=34x±3，化为一般式为 3x−4y±12=0．
（2） 当 m≠1 时，直线 l 的方程式是 y−01−0=x−1m−1，即 y=1m−1x−1；
当 m=1 时，直线 l 的方程是 x=1 .
综上，所求直线 l 的方程是 x−m−1y−1=0 或 x−1=0．
（3） 设 l 在 x 轴，y 轴上的截距分别为 a，b．
当 a≠0，b≠0 时，l 的方程为 xa+yb=1．
因为直线过点 4,−3，
所以 4a−3b=1．
又因为 ∣a∣=∣b∣，
所以 4a−3b=1,a=±b,
解得 a=1,b=1 或 a=7,b=−7.
当 a=b=0 时，直线过原点且过点 4,−3，
所以 l 的方程为 y=−34x．
综上所述，直线 l 的方程为 x+y−1=0 或 x−y−7=0 或 3x+4y=0．