2022届高考大一轮复习知识点精练：圆的标准方程

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：圆的标准方程，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 设 A2,−1，B4,1，则以线段 AB 为直径的圆的方程是
A. x−32+y2=2B. x−32+y2=8
C. x+32+y2=2D. x+32+y2=8

2. 已知圆的方程是 x2+y2−2x−8=0，则该圆的圆心坐标及半径分别为
A. −1,0 与 9B. 1,0 与 9
C. −1,0 与 3D. 1,0 与 3

3. 练习 1．圆心为 1,1 且过原点的圆的标准方程是
A. x−12+y−12=1B. x+12+y+12=1
C. x+12+y+12=2D. x−12+y−12=2

4. 已知垂直竖在水平地面上相距 20 米的两根旗杆的高分别为 10 米和 15 米，地面上的动点 P 到两旗杆顶点的仰角相等，则点 P 的轨迹是
A. 椭圆B. 圆C. 双曲线D. 抛物线

5. 已知圆 C 与圆 x−12+y2=1 关于原点对称，则圆 C 的方程为
A. x2+y2=1B. x2+y+12=1
C. x2+y−12=1D. x+12+y2=1

6. 若点 1,1 在圆 x−a2+y+a2=4 的内部，则实数 a 的取值范围是
A. 0,1B. −1,1
C. −1,1D. −∞,−1∪1,+∞

7. 如图所示，F1 和 F2 分别是双曲线 x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的两个焦点，A 和 B 是以 O 为圆心、以 OF1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 △F2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为
A. 3B. 5C. 52D. 3+1

8. 已知定点 B3,0，点 A 在圆 x+12+y2=4 上运动，则线段 AB 的中点 M 的轨迹方程是
A. x+12+y2=1B. x−22+y2=4
C. x−12+y2=1D. x+22+y2=4

9. 经过点 1,0 且圆心是两直线 x=1 与 x+y=2 的交点的圆的方程为
A. x−12+y2=1B. x−12+y−12=1
C. x2+y−12=1D. x−12+y−12=2

10. 若原点在圆 x−32+y+42=m 的外部，则实数 m 的取值范围是
A. −∞,25B. −∞,5C. 0,25D. 0,5

11. 已知某圆圆心 C 在 x 轴上，半径为 5，且在 y 轴上截得线段 AB 的长为 8，则圆的标准方程为
A. x+32+y2=25B. x2+y±32=25
C. x±32+y2=5D. x±32+y2=25

12. 圆心在直线 x+y=0 上，且与 x 轴交于点 A−3,0 和 B1,0 的圆的方程为
A. x+12+y−12=5B. x−12+y+12=5
C. x−12+y+12=5D. x+12+y−12=5

13. 已知一圆的圆心为点 2,−3，一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上，则此圆的方程是
A. x−22+y+32=13B. x+22+y−32=13
C. x−22+y+32=52D. x+22+y−32=52

14. 过点 A1,−1 、点 B−1,1 且圆心在直线 x+y−2=0 上的圆的方程是
A. x−32+y+12=4B. x+32+y−12=4
C. x−12+y−12=4D. x+12+y+12=4

15. 点 P4,−2 与圆 x2+y2=4 上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为
A. x−22+y+12=1B. x−22+y+12=4
C. x+42+y−22=4D. x+22+y−12=1

16. 已知点 Px,y 为圆 x2+y2=1 上的动点，则 3x+4y 的最小值为
A. 5B. 1C. 0D. −5

17. 给出下列说法：
①方程 x2+y2−2x+4y+8=0 表示一个圆；
②若 m>n>0，则方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆；
③已知点 M−1,0，N1,0，若 ∣PM∣−∣PN∣=2，则动点 P 的轨迹是双曲线的右支；
④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切；
其中正确说法的个数是
A. 0B. 1C. 2D. 3

18. 阿波罗尼斯（约公元前 262∼190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 k（k>0 且 k≠1）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点 A，B 间的距离为 2，动点 P 与 A，B 距离之比为 2，当 P，A，B 不共线时，△PAB 面积的最大值是
A. 22B. 2C. 223D. 23

19. 如图所示，正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，M 为 CC1 的中点，P 在底面 ABCD 内运动，且满足 ∠DPD1=∠CPM，则点 P 的轨迹为
A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分

20. 若方程 x24−t+y2t−1=1 所表示的曲线为 C，给出下列四个命题：
①若 C 为椭圆，则实数 t 的取值范围为 1,4；
②若 C 为双曲线，则实数 t 的取值范围为 −∞,1∪4,+∞；
③ 曲线 C 不可能是圆；
④ 若 C 表示椭圆，且长轴在 x 轴上，则实数 t 的取值范围为 1,52．
其中真命题的序号为
A. ②③B. ①②C. ②④D. ②③④

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知以点 P 为圆心的圆经过 A−1,0 和 B3,4，线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D，且 ∣CD∣=410，则圆 P 的方程为 ．

22. 设直线 y=x+2a 与圆 C：x2+y2−2ay−2=0 相交于 A，B 点，若 ∣AB∣=23，则圆 C 的面积为 ．

23. 已知圆 O:x2+y2=1．圆 Oʹ 与圆 O 关于直线 x+y−2=0 对称，则圆 Oʹ 的方程是 ．

24. 已知圆 C 的圆心坐标是 0,m，若直线 2x−y+3=0 与圆 C 相切于点 A−2,−1，则圆 C 的标准方程为 ．

25. 已知曲线 C 的方程为 x2k−2+y26−k=1k∈R，有下列结论：
①当 k=4 时，曲线 C 为圆；
②“k>4”是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件；
③当 k=0 时，曲线 C 为双曲线，其渐近线方程为 y=±3x；
④存在实数 k 使得曲线 C 为双曲线，其离心率为 2；
其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 方程 x+a2+y+b2=m2 表示什么图形?

27. 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M2,0，AB 边所在直线的方程为 x−3y−6=0，点 T−1,1 在 AD 边所在直线上．
（1）求 AD 边所在直线的方程；
（2）求矩形 ABCD 外接圆的方程．

28. 已知 A0,1，B2,1，C−1,2 能否定圆?若能，判断 D3,4 与该圆的位置关系．

29. 求圆心在直线 x−2y−3=0 上，且过点 A2,−3，B−2,−5 的圆的标准方程．

30. 若圆 C 经过坐标原点，且圆心在直线 2x+y−3=0 上运动，求半径最小时圆的方程．

31. 已知椭圆 Γ:x24+y2=1 的左右顶点分别为 A，B，P 为直线 x=4 上的动点，直线 PA 与椭圆 Γ 的另一交点为 C，直线 PB 与椭圆 Γ 的另一交点为 D．
（1）若点 C 的坐标为 0,1，求点 P 的坐标；
（2）若点 P 的坐标为 4,1，求以 BD 为直径的圆的方程；
（3）求证：直线 CD 过定点．
答案
第一部分
1. A
2. D【解析】根据题意，圆的方程是 x2+y2−2x−8=0，即 x−12+y2=9，
其圆心为 1,0，半径 r=3．
3. D【解析】由题意知圆半径 r=2，
所以圆的方程为 x−12+y−12=2．
4. B
5. D
【解析】由题可知：圆 C 的圆心 C−1,0，半径为 1，
所以圆 C 的方程为：x+12+y2=1．
6. C【解析】因为点 1,1 在圆 x−a2+y+a2=4 的内部，
所以 1−a2+1+a20，则方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，故②错误；
对于③，点 M−1,0，N1,0，则 ∣MN∣=2，若 ∣PM∣−∣PN∣=2，则动点 P 的轨迹是一条射线（以 N 为端点向右的射线），故③错误；
对于④，设抛物线方程为 y2=2pxp>0，焦点坐标为 Fp2,0，准线方程为 x=−p2，过焦点的弦为 AB，过端点 A，B 分别做准线的垂线，垂足为 Aʹ，Bʹ，由抛物线的定义知，
∣FA∣=∣AAʹ∣，∣FB∣=∣BBʹ∣，则 ∣AB∣=∣FA∣+∣FB∣=∣AAʹ∣+∣BBʹ∣，
由梯形的中位线知，12∣AB∣=12∣AAʹ∣+∣BBʹ∣，即以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切，故④正确．
综上，正确说法的个数为 1 个．
18. A【解析】如图，以经过 A，B 的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系：
则：A−1,0，B1,0，设 Px,y，
因为 PAPB=2，所以 x+12+y2x−12+y2=2，
两边平方并整理得：x2+y2−6x+1=0⇒x−32+y2=8．
所以当点 P 在点 C 或点 D 时，△PAB 面积的最大值是 12×2×22=22．
19. A【解析】∠DPD1=∠CPM，M 为 CC1 中点，
所以 MCPC=DD1DP=2MCDP，可得 PDPC=2．
在平面 ABCD 内以 D 为原点建立平面直角坐标系，设 DC=1，Px,y．
因为 PDPC=2，
所以 PD=2PC．
所以 x2+y2=2x2+y−12．
x2+y−432=49．
因为 P 在底面 ABCD 内运动，
所以轨迹为圆的一部分．
20. C
【解析】①若 C 为椭圆，则 4−t>0 且 t−1>0 且 4−t≠t−1，
所以 11 且 t6−k>0，
所以“k>4”是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，故结论②错误；
③当 k=0，方程为 y26−x22=1 为双曲线，渐近线方程为 y=±62x=±3x，故结论③正确；
④若曲线 C 为双曲线，则 k−26−k6 或 k6 或 k