2022届高考大一轮复习知识点精练：椭圆的概念与方程

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：椭圆的概念与方程，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知椭圆 x225+y216=1 上的点 P 到椭圆一个焦点的距离为 7，则 P 到另一焦点的距离为
A. 2B. 3C. 5D. 7

2. 已知椭圆的焦点为 F1−1,0，F21,0，P 是椭圆上一点，且 ∣F1F2∣ 是 ∣PF1∣ 与 ∣PF2∣ 的等差中项，则该椭圆的方程为
A. x216+y29=1B. x216+y212=1C. x24+y23=1D. x23+y24=1

3. 已知椭圆 x225+y216=1 的两个焦点分别为 F1，F2，斜率不为 0 的直线 l 过点 F1，且交椭圆于 A，B 两点，则 △ABF2 的周长为
A. 10B. 16C. 20D. 25

4. 设 F1，F2 是椭圆 x216+y212=1 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且点 P 到两个焦点的距离之差为 2，则 △PF1F2 是
A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 斜三角形D. 直角三角形

5. 若直线 l:2x+by+3=0 过椭圆 C:10x2+y2=10 的一个焦点，则实数 b 的值是
A. −1B. 12C. −1 或 1D. −12 或 12

6. 下列说法中正确的是
A. 已知 F1−4,0，F24,0，平面内到 F1，F2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆
B. 已知 F1−4,0，F24,0，平面内到 F1，F2 两点的距离之和等于 6 的点的轨迹是椭圆
C. 平面内到两点 F1−4,0，F24,0 的距离之和等于点 M5,3 到 F1，F2 的距离之和的点的轨迹是椭圆
D. 平面内到点 F1−4,0，F24,0 距离相等的点的轨迹是椭圆

7. 已知椭圆 C 的焦点为 F1−1,0，F21,0，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若 ∣AF2∣=2∣F2B∣，∣AB∣=∣BF1∣，则 C 的方程为
A. x22+y2=1B. x23+y22=1C. x24+y23=1D. x25+y24=1

8. 已知方程 x2m2+n−y23m2−n=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是
A. −1,3B. −1,3C. 0,3D. 0,3

9. 已知动点 M 在以 F1，F2 为焦点的椭圆 x2+y24=1 上，动点 N 在以 M 为圆心，半径长为 MF1 的圆上，则 NF2 的最大值为
A. 2B. 4C. 8D. 16

10. 已知两点 F1−2,0，F22,0，且 ∣F1F2∣ 是 ∣PF1∣ 与 ∣PF2∣ 的等差中项，则动点 P 的轨迹方程是
A. x216−y212=1B. x216+y212=1C. x24+y23=1D. x23+y24=1

11. 如图所示，F1，F2 分别为椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，△POF2 是面积为 3 的正三角形，则 b2 的值为
A. 3B. 23C. 33D. 43

12. 一种作图工具如图所示．O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 DN=ON=1，MN=3．当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为 C．以 O 为原点，AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则 C 的轨迹方程是
A. x29+y2=1B. x29−y2=1C. x216+y24=1D. x216−y24=1

13. 已知 F 是椭圆 C:x22+y2=1 的左焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，点 Q4,3，则 ∣PQ∣+∣PF∣ 的最大值为
A. 52B. 32C. 34D. 42

14. 设椭圆 x216+y212=1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，且满足 PF1⋅PF2=9，则 ∣PF1∣⋅∣PF2∣ 的值为
A. 8B. 10C. 12D. 15

15. 已知 F1，F2 分别是椭圆 x24+y23=1 的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆 C 与 F1A 的延长线、 F1F2 的延长线以及线段 AF2 相切，若 Mt,0 为一个切点，则
A. t=2B. t>2
C. tb>0 的左、右焦点为 F1，F2，P 是椭圆上一点，M 在 PF1 上，且满足 F1M=λMP λ∈R，PO⊥F2M，O 为坐标原点．
（1）若椭圆方程为 x28+y24=1，且 P2,2，求点 M 的横坐标．
（2）若 λ=2，求椭圆离心率 e 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】设椭圆的两焦点分别为 F1，F2，则 7+∣PF2∣=10，PF2=3．
2. C
3. C【解析】由题意可得 a=5，
△ABF2 周长：
C=AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=4a=20.
4. D【解析】由椭圆的定义，知 ∣PF1∣+∣PF2∣=2a=8．由题可得 ∣PF1∣−∣PF2∣=2，则 ∣PF1∣=5，∣PF2∣=3，或 ∣PF1∣=3，∣PF2∣=5．又 ∣F1F2∣=2c=4，
所以 ΔPF1F2 为直角三角形．
5. C
【解析】将椭圆 C 的方程化标准形式，易知椭圆 x2+y210=1 的焦点为 F10,−3，F20,3，代入直线 l 的方程中解得 b=1或−1．
6. C【解析】∣F1F2∣=8，则平面内到 F1，F2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是线段 F1F2，所以A错误；平面内到 F1，F2 两点的距离之和等于 6，小于 ∣F1F2∣，这样的点不存在，所以B错误；点 M5,3 到 F1，F2 两点的距离之和为 5+42+32+5−42+32=410>∣F1F2∣=8，则所求动点的轨迹是椭圆，所以C正确；平面内到 F1，F2 距离相等的点的轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线，所以D错误．
7. B【解析】设椭圆 C 的标准方程为 x2a2+y2b2=1（a>b>0）．
因为 ∣AF2∣=2∣F2B∣，∣AB∣=∣BF1∣，
所以 ∣BF1∣=3∣F2B∣．
又因为 ∣BF1∣+∣F2B∣=2a，
所以 ∣F2B∣=a2，则 ∣AF2∣=a，∣AB∣=∣BF1∣=32a，
∣AF1∣=a．
方法一：在 △ABF1 中，由余弦定理，
得 cs∠BAF1=∣AB∣2+∣AF1∣2−∣BF1∣22∣AB∣⋅∣AF1∣=3a22+a2−3a222⋅3a2⋅a=13．
因为椭圆 C 的焦点为 F1−1,0，F21,0，
所以 c=1，∣F1F2∣=2．
在 △AF1F2 中，由余弦定理，得 ∣F1F2∣2=∣AF1∣2+∣AF2∣2−2∣AF1∣∣AF2∣⋅cs∠BAF1，
即 4=a2+a2−2a2⋅13，解得 a2=3，
所以 b2=a2−c2=2，
所以椭圆 C 的标准方程为 x23+y22=1．
方法二：
因为 ∣AF1∣=∣AF2∣=a，
所以点 A 为椭圆的上、下顶点．不妨设 A0,−b，F21,0，
因为 AF2=2F2B，
所以 B32,b2，代入椭圆方程得 94a2+b24b2=1，解得 a2=3．
又因为 c=1，
所以 b2=a2−c2=2，
所以椭圆 C 的标准方程为 x23+y22=1．
8. A【解析】因为方程 x2m2+n−y23m2−n=1 表示双曲线，所以 m2+n⋅3m2−n>0，解得 −m20 时，原式可变形为：x29−y29a=1，当 9+9a=16 时，a=79．所以 ③ 错，④ 对；
当 a0，n>0 且 m≠n）．
因为点 P−23,1，Q3,−2 在椭圆上，
所以 12m+n=1,3m+4n=1,
解得 m=115，n=15．
所以椭圆的标准方程为 x215+y25=1．
27. （1） 由条件可知 m≠0，m≠1，且 m2>m−12，解得 m>12．
所以实数 m 的取值范围是 12,1∪1,+∞．
（2） 由条件可知 m≠0，m≠1，且 m2≠m−12，解得 m≠12．
所以实数 m 的取值范围是 mm≠0,m≠12且m≠1．
（3） 原方程可化为 x2m+y26−2m=1．
因为方程是椭圆方程，所以 m>0，6−2m>0 且 6−2m≠m，
解得 0