2021年北京西城区北京三中（初中部）九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京西城区北京三中（初中部）九年级上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在 △ABC 中，∠C=90∘，sinB=32，则 ∠B=
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

2. 在同一时刻，身高 1.6 米的小强在阳光下的影长为 0.8 米，一棵大树的影长为 4.8 米，则树的高度为
A. 10 米B. 9.6 米C. 6.4 米D. 4.8 米

3. 如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB=90∘，OB=2OA，点 A 在反比例函数 y=1x 的图象上．若点 B 在反比例函数 y=kx 的图象上，则 k 的值为
A. 2B. −2C. 4D. −4

4. 如图，AD，BC 是 ⊙O 的两条互相垂直的直径，点 P 从点 O 出发，沿 O→C→D→O 的路线匀速运动．设 ∠APB=y（单位：度），那么 y 关于点 P 运动的时间 x（单位：秒）的函数图象大致是
A. B.
C. D.

5. 若 5:x=3:2，则 x 的值是
A. 152B. 215C. 310D. 103

6. 矩形 ABCD 中，AD=8 cm，AB=6 cm．动点 E 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以 2 cm/ s 的速度运动，动点 F 从点 C 同时出发沿边 CD 向点 D 以 1 cm/ s 的速度运动至点 D 停止．如图可得到矩形 CFHE，设运动时间为 x（单位：s），此时矩形 ABCD 去掉矩形 CFHE 后剩余部分的面积为 y（单位：cm2），则 y 与 x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的
A. B.
C. D.

7. 如图，△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，下列判断错误的是( )
A. ADDB=AEECB. ADDB=DEBCC. ADAB=AEACD. ADAB=DEBC

8. 如果一种变换是将抛物线向右平移 2 个单位或向上平移 1 个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是 y=x2+1，则原抛物线的解析式不可能是
A. y=x2−1B. y=x2+6x+5C. y=x2+4x+4D. y=x2+8x+17

9. 如图，在平面直角坐标系中，直线 OA 过点 2,1，则 tanα 的值是
A. 55B. 5C. 12D. 2

10. 正六边形的周长为 12，则该正六边形的内切圆的半径为
A. 1B. 3C. 2D. 3

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象写出一条此函数的性质 ．

13. 数学课上，老师让学生用尺规作图画 Rt△ABC，使其斜边 AB=c，一条直角边 BC=a．小明的作法如图所示，你认为小明这种作法中判断 ∠ACB 是直角的依据是 ．

14. 在平面直角坐标系中，A4,0，B0,3，在 x 轴上取一点 C，使以 B，O，C 为顶点的三角形与 △AOB 相似，请写出符合条件的 C 点坐标 ．

15. 已知 △ABC∽△AʹBʹCʹ，AD，AʹDʹ 分别是 △ABC 和 △AʹBʹCʹ 的角平分线，且 ADAʹDʹ=32，AB=12 ， 则 AʹBʹ= ．

16. 如图，点 A 在 ⊙O 上，弦 BC 垂直平分 OA，垂足为 D．若 OA=4，则 BC 的长为 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 已知抛物线 y=m−2x2+2mx+m+3 与 x 轴有两个交点．
（1）求 m 的取值范围；
（2）当 m 取满足条件的最大整数时，求抛物线与 x 轴的两个交点的坐标．

18. 如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分 ∠DAB，∠ADC=∠ACB=90∘，E 为 AB 中点．
（1）求证：AC2=AB⋅AD；
（2）若 AD=4，AB=6，求 ACAF 的值．

19. 某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图 1 所示，点 A 是栏杆转动的支点，点 E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆 AEF 最多只能升起到如图 2 所示的位置，其示意图如图 3 所示（栏杆宽度忽略不计），其中 AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143∘，AB=AE=1.4 米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米?（结果精确到 0.1．参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75）

20. 如图 1，水平放置一个直角三角板和一个量角器，三角板的边 AB 和量角器的直径 DE 在一条直线上，AB=BC=6 cm，OD=3 cm，开始的时候 BD=1 cm，现在三角板以 2 cm/s 的速度向右移动．
（1）当 B 与 O 重合的时候，求三角板运动的时间 t；
（2）如图 2，当 AC 与半圆相切时，求 AD 长；
（3）如图 3，当 AB 和 DE 重合时，求证：CF2=CG⋅CE．

21. （1）探究活动：利用函数 y=x−1x−2 的图象（如图 1）和性质，探究函数 y=x−1x−2 的图象与性质．下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数 y=x−1x−2 的自变量 x 的取值范围是 ；
（2）如图 2，他列表描点画出了函数 y=x−1x−2 图象的一部分，请补全函数图象；
（2）解决问题：设方程 x−1x−2−14x−b=0 的两根为 x1，x2，且 x1
22. 如图，∠ADE=60∘，∠B=60∘．求证：△ADE∽△ABC．

23. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=4，AB=42，解这个直角三角形．

24. 已知圆内接四边形 ABCD 中，∠A:∠C=2:3，∠B:∠D=1:3，求 ∠A:∠B 的值．

25. 计算
（1）2sin30∘−12+tan60∘．
（2）sin260∘+∣tan45∘−2∣−2cs45∘．

26. 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 1,0 和 0,1．求这个二次函数的解析式，并求出它的图象的顶点坐标．

27. 如图，抛物线 y=ax2+bx+6 经过点 A−2,0，B4,0．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点 D 是抛物线上一动点，点 D 的横坐标为 m0
28. 如图，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，F 为 AD 上一点，且 BF=BD．BF 的延长线交 AC 于点 E．
（1）求证：AB⋅AD=AF⋅AC．
（2）若 ∠BAC=60∘，AB=4，AC=6，求 DF 的长．
（3）若 ∠BAC=60∘，∠ACB=45∘，直接写出 EFCD 的值．

29. 在平面直角坐标系 xOy 中，当点 M 不与坐标原点 O 重合时，将点 Ma,b 绕点 O 顺时针旋转 90∘，得到点 Mʹ，再作点 Mʹ 关于直线 x=a 的对称点，得到点 Mʺ，则称点 Mʺ 为点 M 的旋转对称点．
（1）点 A2,1 的旋转对称点为 ．
（2）若点 Ba,−3 的旋转对称点为 1,1，则 a 的值为 ．
（3）如图，点 C 是直线 y=2x+2 上一点，点 C 为抛物线 L1:y=x2+b1x+c1 的顶点，点 C 的旋转对称点为点 D，点 D 为抛物线 L2:y=−x2+b2x+c2 的顶点，设点 C 的横坐标为 m．
①直接用含 m 的代数式表示点 D 的坐标．
②当抛物线 L1 经过点 D 时，抛物线 L2 是否也同时经过点 C?若同时经过，求出此时 m 的值；若不同时经过，说明理由．
③当点 C，D 同时分别在抛物线 L2 内部、抛物线 L1 外部，且抛物线 L1，L2 分别与 x 轴围成的封闭区域内（不包含边界）横、纵坐标均为整数的点的个数相同时，直接写出此时 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. C【解析】∵ sin60∘=32，
∴ ∠B=60∘．
2. B【解析】设树高为 x 米，
因为 人的身高人的影长=树的高度树的影长，
所以 ，
解得：x=9.6．
答：这棵树的高度为 9.6 米．
3. D【解析】过点 A，B 作 AC⊥x 轴，BD⊥x 轴，
设点 A 的坐标是 m,n，则 AC=n，OC=m，
∵ ∠AOB=90∘，
∴ ∠AOC+∠BOD=90∘，
∵ ∠DBO+∠BOD=90∘，
∴ ∠DBO=∠AOC，
∵ ∠BDO=∠ACO=90∘，
∴ △BDO∽△OCA，
∴ BDOC=ODAC=OBOA，
∵ OB=2OA，
∴ BD=2m，OD=2n，
∵ 点 A 在反比例函数 y=1x 的图象上，
∴ mn=1，
∵ 点 B 在反比例函数 y=kx 的图象上，B 点的坐标是 −2n,2m，
∴ k=−2n⋅2m=−4mn=−4．
4. B【解析】（1）当点 P 沿 O→C 运动时，当点 P 在点 O 的位置时，y=90∘，当点 P 在点 C 的位置时，
∵OA=OC，AD⊥BC，
∴y=45∘，
∴y 由 90∘ 逐渐减小到 45∘；
（2）当点 P 沿 C→D 运动时，根据圆周角定理，可得 y=90∘÷2=45∘；
（3）当点 P 沿 D→O 运动时，当点 P 在点 D 的位置时，y=45∘，当点 P 在点 O 的位置时，y=90∘，
∴y 由 45∘ 逐渐增加到 90∘．
5. D
【解析】由比例的基本性质，得 3x=10，解得 x=103．
6. A
7. B【解析】【分析】如图，证明△ADE∽△ABC，得到ADAB=DEBC=AEAC；证明ADDB=AEEC≠DEBC，即可解决问题．
【解析】解：如图，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC=AEAC，
∴C、D正确．
∵DE∥BC，
∴ADDB=AEEC≠DEBC，
故选：B．
【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；观察图形、数形结合，正确写出比例式是解题的关键．
8. B【解析】因为抛物线 y=x2−1 可以向上平移两次得到 y=x2+1，所以 A可能．
因为抛物线 y=x2+4x+4=x+22 可以先向右平移一次再向上平移一次得到 y=x2+1，所以C可能．
因为抛物线 y=x2+8x+17=x+42+1 可以向右平移两次得到 y=x2+1，所以D可能．
因为抛物线 y=x2+6x+5=x+32−4，所以经过任意两次简单变换都不能得到 y=x2+1．
9. C
10. B
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. 对称轴为直线 x=1（答案不唯一）
【解析】由图象可知，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线 x=1；开口向下；与 x 轴交于点 −1,0，3,0；
当 x<1 时，y 随 x 的增大而增大；
当 x>1 时，y 随 x 的增大而减小．
13. 直径所对的圆周角是直角
【解析】根据“直径所对的圆周角是直角”得出．
14. −4,0 或 94,0 或 −94,0
【解析】因为 A4,0，B0,3，
所以 OA=4，OB=3，
因为在 x 轴上取一点 C，使以 B，O，C 为顶点的三角形与 △AOB 相似，
所以分两种情况：如图所示：
①当 C 与 A 是对应顶点时，OCOA=OBOB=1，
所以 OC=OA=4，
所以 C 点坐标为 −4,0；
②当 C 与 B 是对应顶点时，OCOB=OBOA，
即 OC3=34，
所以 OC=94，
所以 C 点坐标为 94,0 或 −94,0；
综上所述：符合条件的 C 点坐标为 −4,0 或 94,0 或 −94,0．
15. 8
16. 43
【解析】如图所示，连接 OB，
∵ 点 A 在 ⊙O 上，
∴OA 为 ⊙O 的半径，
又弦 BC 垂直平分 OA，垂足为 D，OA=4，
∴OB=OA=4，OD=AD=12OA=2，OA⊥BC，
Rt△OBD 中由勾股定理得：OB2=BD2+OD2，
∴BD=OB2−OD2=42−22=23，
又 OD⊥BC，
∴ 由垂径定理得 BD=CD=12BC，
∴BC=2BD=2×23=43，
故 BC 长为 43．
第三部分
17. （1） ∵ 抛物线 y=m−2x2+2mx+m+3 与 x 轴有两个交点，
∴ y=0 时，m−2x2+2mx+m+3=0，则 Δ=2m2−4×m−2×m+3>0，m−2≠0，
解得 m<6 且 m≠2．
即 m 的取值范围是：m<6 且 m≠2．
（2） ∵ m<6 且 m≠2，
∴ m 满足条件的最大整数是 m=5．
∴ y=3x2+10x+8．
当 y=0 时，3x2+10x+8=0．
解得 x1=−2，x2=−43．
即抛物线与 x 轴的两个交点的坐标是：−2,0，−43,0．
18. （1） ∵AC 平分 ∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90∘，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD:AC=AC:AB，
∴AC2=AB⋅AD．
（2） ∵∠ACB=90∘，E 为 AB 中点，
∴AE=CE，
∴∠CAE=∠ECA，
∵AC 平分 ∠DAB，
∴∠DAC=∠EAC，
∴∠DAC=∠ACE，
∴CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD:CE=AF:CF，
∵CE=12AB，
∴CE=12×6=3，
∵AD=4，
∴AFCF=43，
∴ACAF=74．
19. 如图，过点 A 作 BC 的平行线 AG，过点 E 作 EH⊥AG 于 H，
则 ∠EHG=∠HEF=90∘，
∵∠AEF=143∘，
∴∠AEH=∠AEF−∠HEF=53∘，∠EAH=37∘，
在 △EAH 中，∠EHA=90∘，∠EAH=37∘，AE=1.4，
∴EH=AE⋅sin∠EAH≈1.4×0.60=0.84，
∵AB=1.4，
∴AB+EH=1.4+0.84=2.24≈2.2（米）；
答：适合该地下车库的车辆限高标志牌约为 2.2 米．
20. （1） 由题意可得：BO=4 cm，t=42=2s．
（2） 如图 1，连接 O 与切点 H，
则 OH⊥AC，
∵ ∠A=45∘，
∴ AO=2OH=32，
∴ AD=AO−DO=32−3cm．
（3） 如图 2，连接 EF，
∵ OD=OF，
∴ ∠ODF=∠OFD，
∵ DE 为直径，
∴ ∠ODF+∠DEF=90∘，
∠DEC=∠DEF+∠CEF=90∘，
∴ ∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG，
又 ∵ ∠FCG=∠ECF，
∴ △CFG∽△CEF，
∴ CFCG=CECF，
∴ CF2=CG⋅CE．
21. （1） （1）x≤1 或 x≥2
（2）根据自变量 x 的取值范围可知，当 x≥2 时也有对应的函数图象，补全后的函数图象如图 1 所示：
【解析】（1）∵x−1x−2≥0，
∴x≤1 或 x≥2．
（2） x1【解析】方程 x−1x−2−14x−b=0 等价于方程 x−1x−2=14x+b，
方程的两根 x1，x2 相当于函数 y=x−1x−2 与函数 y=14x+b 图象的两个交点的横坐标，
方程 x2−3x+2=14x+b 的两根为 x3，x4，相当于函数 y=x2−3x+2=x−1x−2 与函数 y=14x+B 图象的两个交点的横坐标，
又 1 ∴ 在同一平面直角坐标系中，画出函数图象，如图 2 所示：
故 x122. ∵∠ADE=60∘，∠B=60∘，
∴∠ADE=∠B，
又 ∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC．
23. BC=AB2−AC2=4，
∴AC=BC，
∴∠A=∠B=45∘．
24. ∠A:∠C=85．
25. （1） 原式= 2×12−23+3，
= 1−3．
（2） 原式= 322+∣1−2∣−2×22，
= −14．
26. 根据题意，得 1+b+c=0,c=1. 解得 b=−2,c=1.
所以所求的二次函数的解析式为 y=x2−2x+1．
又因为 y=x2−2x+1=x−12，
所以函数图象的顶点坐标是 1,0．
27. （1） ∵ 拋物线经过点 A−2,0，B4,0，
∴ 抛物线的解析式为 y=ax+2x−4=ax2−2ax−8a．
∴−8a=6，解得 a=−34．
∴ 抛物线的解析式为 y=−34x2+32x+6．
（2） n 的取值范围为 028. （1） ∵AD 平分 ∠BAC，
∴∠BAF=∠DAC，
又 ∵BF=BD，
∴∠BFD=∠FDB，
∴∠AFB=∠ADC，
∴△AFB∽△ADC，
∴AFAD=ABAC，
∴AB⋅AD=AF⋅AC．
（2） 作 BH⊥AD 于 H，作 CN⊥AD 于 N，
则 BH=12AB=2，CN=12AC=3，
∴AH=3BH=23，AN=3CN=33，
∴HN=3，
∵∠BHD=∠CDN，
∴△BHD∽△CND，
∴HDDN=BHCN=23，
∴HD=235，
又 ∵BF=BD，BH⊥DF，
∴DF=2HD=435．
（3） 4−23．
【解析】由（1）得 BFCD=AFAD, ⋯⋯①
易证 △ABD，△AEF，△BFD 均为顶角为 30∘ 的等腰三角形，
∴AB=AD，AE=AF，BF=BD，
易证 △ABD∽△AEF，
∴EFBD=AEAD, ⋯⋯②
∴ ① × ②得 EFCD=AFAD2=AFAB2，
过 F 作 FG⊥AB 于 G，
设 FG=x，则 BF=2x，AG=3x，BG=x，
∴AB=3+1x，
∴EFCD=2x3+1x2=4−23．
29. （1） 3,−2
（2） −1
（3） ① D−2,−m．
②由题意可知，L1:y=x−m2+2m+2，L2:y=−x+22−m．
当点 D 在 L1 上时，有 −2−m2+2m+2=−m，
解得 m1=−1，m2=−6．
当点 C 在 L2 上时，有 −m+22−m=2m+2，
解得 m1=−1，m2=−6．
∴ 同时经过．
③ −2≤m<−3+2 或 −5+6≤m<−4+3．