2021年北京顺义区顺义五中九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京顺义区顺义五中九年级上期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 抛物线 y=2x+12−3 的顶点坐标为
A. 1,3B. 1,−3C. −1,3D. −1,−3

2. 在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 在 △ABC 中，∠C=90∘，如果 BC=3，AC=4，那么 tanA 的值是
A. 34B. 43C. 35D. 45

4. 把抛物线 y=−12x2 向右平移 2 个单位，则平移后所得抛物线的表达式为
A. y=−12x2+2B. y=−12x+22
C. y=−12x2−2D. y=−12x−22

5. 在平面直角坐标系中，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A6,8，B10,2，若以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩短为原来的 12 后得到线段 CD，则点 A 的对应点 C 的坐标为
A. 5,1B. 4,3C. 3,4D. 1,5

6. 如图，⊙O 中，CD⊥AB 于点 E，若 ∠B=60∘，则 ∠A=
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

7. 如果在两个圆中有两条相等的弦，那么
A. 这两条弦所对的圆心角相等
B. 这两条弦所对的弧相等
C. 这两条弦都被与它垂直的半径平分
D. 这两条弦所对的弦心距相等

8. 若一个扇形的半径是 18 cm，且它的弧长是 12π cm，则此扇形的圆心角等于
A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘

9. 如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋楼顶部 B 的仰角为 30∘，看这栋楼底部 C 的俯角为 60∘，热气球 A 与楼的水平距离为 120 米，这栋楼的高度 BC 为
A. 160 米B. 60+1603 米
C. 1603 米D. 360 米

10. 下图是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，对于下列说法：① ac>0，② 2a+b>0，③ 4ackx+m 的解集是 ．

15. 旋转的三要素： 、 、 ．

16. 阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：
小亮的作法如下：
老师说："小亮的作法正确．"
请你回答：小亮的作图依据是

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算：ct45∘+tan60∘sin60∘−cs60∘−ct30∘．

18. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=10，AC=8，E 是 AC 上一点，AE=5，ED⊥AB 于 D．
（1）求证：△ACB∽△ADE；
（2）求 AD 的长度．

19. 小明家客厅是用若干块相同的正万形地砖铺成的，面积为 21.6 m2，小明数了一下正好是 60 块，请你帮忙算一下，每块地砖的边长是多少米?

20. 如图，飞机沿水平方向（A，B 两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶 M 到飞行路线 AB 的距离 MN．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方 N 处才测飞行距离），请设计一个求距离 MN 的方案，要求：
（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；
（2）用测出的数据写出求距离 MN 的步骤．

21. 已知四边形 ABCD 中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120∘，∠MBN=60∘，∠MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E，F．
（1）当 ∠MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时（如图 1），求证 AE+CF=EF；
（2）当 ∠MBN 绕 B 点旋转到 AE≠CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE，CF，EF 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并给出简单证明过程．

22. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象与 y 轴交于点 0,3，且经过点 A1,−8 和 B5,8．
（1）求二次函数的解析式，并写出其图象的顶点坐标；
（2）当 1≤x≤4 时，求二次函数的函数值 y 的取值范围．

23. 如图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是 1 m，拱桥的跨度为 10 m，桥洞与水面的最大距离是 5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4 m 的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求两盏景观灯之间的水平距离．

24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A，D 的 ⊙O 分别交 AB，AC 于点 E，F．
（1）求证：BC 是 ⊙O 切线；
（2）设 AB=m，AF=n，试用含 m，n 的代数式表示线段 AD 的长．

25. （1）如图所示，已知 AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，AC=8，CD=6 ， 求 cs∠ABC 的值．
（2）如图所示，在 △ABC 中，∠A=30∘，∠B=45∘，AC=23，求 AB 的长．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=x2−4x+2m−1 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧）．
（1）求 m 的取值范围；
（2）当 m 取最大整数时，求点 A 、点 B 的坐标．

27. 抛物线 M：y=ax2−4ax+a−1a≠0 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），抛物线的顶点为 D．
（1）抛物线 M 的对称轴是直线 ；
（2）当 AB=2 时，求抛物线 M 的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，直线 l：y=kx+bk≠0 经过抛物线的顶点 D，直线 y=n 与抛物线 M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为 x1，x2，直线 y=n 与直线 l 的交点的横坐标记为 x3x3>0，若当 −2≤n≤−1 时，总有 x1−x3>x3−x2>0，请结合函数的图象，直接写出 k 的取值范围．

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的任意两点 Mx1,y1，Nx2,y2，给出如下定义：点 M 与点 N 的“折线距离”为：dM,N=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣.
例如：若点 M−1,1，点 N2,−2，则点 M 与点 N 的“折线距离”为：dM,N=∣−1−2∣+∣1−−2∣=3+3=6．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）已知点 P3,−2．
①若点 A−2,−1，则 dP,A= ；
②若点 Bb,2，且 dP,B=5，则 b= ；
③已知点 Cm,n 是直线 y=−x 上的一个动点，且 dP,C0,c