2021年北京海淀区北京外国语大学附属中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区北京外国语大学附属中学九年级上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知 ∠BAC=45∘，一动点 O 在射线 AB 上运动（点 O 与点 A 不重合），设 OA=x，如果半径为 1 的 ⊙O 与射线 AC 有公共点，那么 x 的取值范围是
A. 00，
∴m=3，n=23．
∴Pʹ 的坐标为 −3,−23．
9. C
10. B
第二部分
11. 60∘
12. ρ=9.9v
13. 15+53
14. 6
【解析】如图所示，C1 平移至 C2 处所扫过的面积是 2×3=6．
15. π2
16. 3
【解析】过点 D 作 DE⊥AC 于 E，
则 ∠DOE+∠AOP=90∘，∠DOE+∠ODE=90∘，
∴∠ODE=∠AOP．
∵OD=OP，∠DEO=∠OAP=90∘，
∴△DEO≌△OAP，
∴DE=OA=CE=2，
∴AP=OE=7−4=3．
第三部分
17. （1） sin60∘；cs30∘；tan45∘⋅sin60∘ 等
（2） tan45∘+sin30∘⋅ct45∘−cs60∘÷tan45∘=1 等
18. （1） ∵ 抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 A3,0，B−1,0，
∴ 抛物线的解析式为 y=−x−3x+1，
即 y=−x2+2x+3．
（2） ∵y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴ 抛物线的顶点坐标为 1,4．
19. 过点 O 作 OE⊥AB 于点 E．
∵O 为圆心，且 OE⊥AB．
∴AE=BE，
同理 CE=DE．
∴AC=BD．
20. 列表如下：
男男女女男−−−男,男女,男女,男男男,男−−−女,男女,男女男,女男,女−−−女,女女男,女男,女女,女−−−
所有等可能的情况有 12 种，其中选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况有 8 种，则 P （ 选出的两名主持人
“恰好为一男一女”） =812=23 .
21. 如图，作 CD⊥AB 于点 D，
在 Rt△BCD 中，CD=BC⋅sinB=6×22=32，
BD=BC⋅csB=6×22=32，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B=45∘，
在 Rt△ACD 中，∠ACD=75∘−45∘=30∘，
∴tan30∘=ADCD，
∴AD=32×33=6，
∴S△ABC=12×32+6×32=9+33．
22. （1） 把点 A1,3 代入反比例函数 y=k1x 得 k1=1×3=3，
∴ 过 A 点与 C 点的反比例函数解析式为 y=3x，
∵AB 与 x 轴平行，
∴B 点的纵坐标为 3，
∵BC 平行 y 轴，BC=2，
∴C 点的纵坐标为 1，
把 y=1 代入 y=3x 得 x=3，
∴C 点坐标为 3,1．
（2） 把 B3,3 代入反比例函数 y=k2x 得 k2=3×3=9，
∴ 点 B 所在函数图象的解析式为 y=9x．
23. （1） 26．
（2） 在 Rt△ADE 中，∠DAE=45∘，AE=26，
∴DE=AE⋅tan45∘=26×1=26．
在 Rt△BCE 中，∠CBE=62∘，BE=15．
∴CE=BE⋅tan62∘≈15×1.88=28.2．
∴CD=CE−DE=28.2−26=2.2≈2m．
24. y=x−40300−x−50×5=−5x2+750x−22000.
25. ∵∠A:∠B:∠C=1:2:3，
∴∠A=180∘×11+2+3=30∘，∠B=60∘，∠C=90∘．
∴sinB=sin60∘=bc=32．
∴b=32c．
∵c−b=4−23，
∴c−32c=4−23，
解得 c=4．
则 b=23，a=42−232=2．
26. （1） ∵PC 与 ⊙O 相切于点 C，
∴OC⊥PC．
∴∠OCP=90∘．
∵∠AOC=∠CPB，∠AOC+∠BOC=180∘，
∴∠BOC+∠CPB=180∘．
在四边形 PBOC 中，∠PBO=360∘−∠CPB−∠BOC−∠PCO=90∘．
∴ 半径 OB⊥PB．
∴PB 是 ⊙O 的切线．
（2） 解法 1：
连接 OP，如图．
∵AB 是 ⊙O 的直径，AB=43，
∴OC=OB=12AB=23．
∵ 弦 CD⊥AB 于点 E，CD=6，
∴CE=12CD=3．
在 Rt△CEO 中，sin∠COE=CECO=32．
∴∠COE=60∘．
∵PB，PC 都是 ⊙O 的切线，
∴∠CPO=∠BPO，∠OCP=∠OBP．
∴∠COP=∠BOP=60∘．
∴PB=OB⋅tan60∘=6．
【解析】解法 2：
连接 BC，如图．
∵AB 是 ⊙O 的直径，AB=43，
∴OC=12AB=23，
∵ 弦 CD⊥AB 于点 E，CD=6，
∴CE=12CD=3．
在 Rt△CEO 中，sin∠COE=CECO=32，
∴∠COE=60∘，
∴∠CPB=∠COE=60∘，∠ABC=12∠COE=30∘．
∴BC=2CE=6．
∵PB，PC 都是 ⊙O 的切线，
∴PB=PC．
∴△PBC 为等边三角形．
∴PB=BC=6．
27. （1） ∵ 二次函数 y1=x2+bx+c 的图象 C1 经过 −1,0，0,−3 两点，
∴1−b+c=0,c=−3.
解得 b=−2,c=−3.
∴ 抛物线 C1 的函数解析式为 y=x2−2x−3．
（2） ∵y1=x2−2x−3=x−12−4，
∴ 抛物线的顶点坐标为 1,−4．
∵C1 先向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位长度，得到抛物线 C2，
∴ 平移后 C2 的顶点坐标为 0,0，C2 对应的函数表达式记为 y2=x2．
（3） 如图所示．
由图象，得 a≥−1．
28. （1） EH=BH，EH⊥BH，理由如下：
延长 EF 交 AB 于点 G，并连接 HG．
在正方形 ABCD 中，EF⊥CD，即 EG⊥AB．
易知三角形 △AGF，△CEF 为等腰直角三角形，
四边形 CEGB 为矩形．
∵ 点 H 为 AF 的中点
∴GH=12AF=HF．
在等腰直角三角形 △AGF 中，点 H 为 AF 的中点，∠HGF=∠GFH=45∘，∠GHF=90∘，
∴∠HGB=∠HFE=135∘，
在等腰直角三角形 △CEF 和矩形 CEGB 中，GB=EC=EF，
∴△HGB≌△HFE .
∴BH=EH，∠GHB=∠FHE．
又 ∠GHF=90∘，即 ∠GHB+∠BHF=90∘，
∴∠EHF+∠BHF=90∘，即 BH⊥EH．
（2） EH=BH，EH⊥BH．
【解析】过 F 作 FG⊥AB 垂足为 G 交 CD 于 N，连接 AC，GH，CH .
∵△CEF 绕点 C 顺时针旋转 90 度，
∴B 、 C，E 共线．
∵∠ACD=45∘ ，
∴∠ACF=90∘ .
∵H 为 AF 中点，
∴CH=HF .
∵CE=EF，HE=HE ，
∴△HCE≌△HFE .
∴HE 平分 ∠CEF .
∴HE 与 CD 的交点为 N .
∵FG⊥AB，H 为 AF 中点，
∴GH=HF，GB=EF .
∴∠HGF=∠HFG .
∴∠HGB=∠HFE .
∴△HGB≌△HFE .
∴HB=HE，∠GBH=∠FEH=45∘ .
∵∠HEB=45∘ ，
∴HB⊥HE .
（3） EH=BH，EH⊥BH．理由如下：
延长 FE 交 AB 的延长线于点 G，并连接 HG．
在正方形 ABCD 中，EF⊥CD，即 FG⊥AB．
易知三角形 △AGF，△CEF 为等腰直角三角形，
四边形 CEGB 为矩形．
∵ 点 H 为 AF 的中点，
∴GH=12AF=HF．
在等腰直角三角形 △AGF 中，点 H 为 AF 的中点，
∠HGA=∠F=45∘，∠GHF=90∘．
在等腰直角三角形 △CEF 和矩形 CEGB 中，GB=EC=EF，
∴△HGB≌△HFE，
∴BH=EH，∠GHB=∠FHE．
又 ∠GHF=90∘，即 ∠FHE+∠EHG=90∘，
∴∠EHG+∠GHB=90∘，即 BH⊥EH．
29. （1） ∵ 一次函数 y=−23x+2 中，
令 x=0 得：y=2；
令 y=0，解得 x=3，
∴B 的坐标是 0,2，A 的坐标是 3,0．
（2） 如图，作 CD⊥x 轴于点 D．
∵∠BAC=90∘，
∴∠OAB+∠CAD=90∘．
又 ∵∠CAD+∠ACD=90∘，
∴∠ACD=∠BAO．
在 △ABO 与 △CAD 中，
∠BAO=∠ACD,∠BOA=∠ADC,AB=CA,
∴△ABO≌△CAD（AAS）．
∴OB=AD=2，OA=CD=3，OD=OA+AD=5．
则 C 的坐标是 5,3，
设直线 BC 的解析式是 y=kx+b，
根据题意得：5k+b=3,b=2,
解得：k=15，b=2，
∴ 直线 BC 的解析式是 y=15x+2．