2021年北京朝阳区北京市国际艺术学校九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区北京市国际艺术学校九年级上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图，点 A 与点 B 关于点 O 中心对称，则下列说法错误的是
A. O 为 AB 中点
B. 点 A，B，O 共线
C. 点 A 绕 O 旋转 90∘ 与点 B 重合
D. 点 A 绕 O 旋转 180∘ 与点 B 重合

2. 下列四组线段中，不构成比例线段的一组是
A. 1 cm，2 cm，3 cm，6 cmB. 2 cm，3 cm，4 cm，6 cm
C. 1 cm，2 cm，3 cm，6 cmD. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm

3. 式子 2cs30∘−tan45∘−1−tan60∘2 的值是
A. 23−2B. 0C. 23D. 2

4. 在下列命题中，真命题是
A. 两个钝角三角形一定相似B. 两个等腰三角形一定相似
C. 两个直角三角形一定相似D. 两个等边三角形一定相似

5. 如图，⊙O 中，CD⊥AB 于点 E，若 ∠B=60∘，则 ∠A=
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

6. 已知 A 为 ⊙O 外一点，若点 A 到 ⊙O 上的点的最短距离为 2，最长距离为 4，则 ⊙O 半径为
A. 4B. 3C. 2D. 1

7. 已知 ⊙O 的半径为 5，直线 l 是 ⊙O 的切线，则点 O 到直线 l 的距离是
A. 2.5B. 3C. 5D. 10

8. 如图，点 D 在 △ABC 的边 AC 上，要判断 △ADB 与 △ABC 相似，添加一个条件，不正确的是
A. ∠ABD=∠ACBB. ∠ADB=∠ABC
C. ADAB=ABACD. ABBD=CBCD

9. 已知圆的半径是 23，则该圆的内接正六边形的面积是
A. 33B. 93C. 183D. 363

10. 如图，从热气球 C 处测得地面 A，B 两点的俯角分别为 30∘，45∘，如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米，点 A，D，B 在同一直线上，则 A，B 两点的距离是
A. 200 米B. 2003 米
C. 2203 米D. 1003+1 米

二、填空题（共6小题；共30分）
11. △ABC 的三边之比为 3:4:5，与其相似的 △DEF 的最短边是 9 cm，则其最长边的长是 ．

12. 把二次函数的表达式 y=x2−4x+6 化为 y=ax−h2+k 的形式，那么 h+k= ．

13. 一个底面直径为 10 cm，母线长为 15 cm 的圆锥，它的侧面展开图圆心角是 度．

14. 抛物线 y=4x2−8 的顶点坐标是 ．

15. 如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为 20 cm，到屏幕的距离为 60 cm，且幻灯片中图形的高度为 6 cm，则屏幕上图形的高度为 cm．

16. 如图，将 △ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A 、点 B 、点 C 均落在格点上．
（Ⅰ）线段 AB 的长度 = ．
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在 ∠ABC 的平分线上找一点 P，在 BC 上找一点 Q，使 CP+PQ 的值最小，并简要说明点 P，Q 的位置是如何找到的 （不要求证明）．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算：2sin45∘+2cs60∘−3tan60∘+18．

18. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，点 E 在对角线 AC 上，EC=BC=DC．
（1）若 ∠CBD=39∘，求 ∠BAD 的度数；
（2）求证：∠1=∠2．

19. 如图，在正方形网格中有两个三角形 △A1B1C1 和 △A2B2C2，试说明 △A1B1C1∽△A2B2C2．

20. 已知抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 A3,0，B−1,0．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．

21. 如图所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架 AB 和 CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在 AD 上．为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平线夹角为 θ1，且在水平线上的射影 AF 为 1.4 m．现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为 θ2，并已知 tanθ1=1.082，tanθ2=0.412．如果安装工人已确定支架 AB 高为 25 cm，求支架 CD 的高（结果精确到 1 cm）?

22. 如图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是 1 m，拱桥的跨度为 10 m，桥洞与水面的最大距离是 5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4 m 的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求两盏景观灯之间的水平距离．

23. 如图，Rt△ABC 的斜边 AC 的两个顶点在反比例函数 y=k1x 的图象上，点 B 在反比例函数 y=k2x 的图象上，AB 与 x 轴平行，BC=2，点 A 的坐标为 1,3．
（1）求 C 点的坐标．
（2）求点 B 所在函数图象的解析式．

24. 如图，⊙O 是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面 AB 宽 10 cm，水最深的地方深 3 cm，求输水管的半径．

25. 如图，在等腰 △ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 上一点，以 BD 为直径的 ⊙O 过点 A，连接 AD，∠CAD=∠C．
（1）求证：AC 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AC=4，CD=2，求 ⊙O 的半径．

26. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=90∘，∠C=40∘，点 D 是线段 BC 上的动点，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 50∘ 至 ADʹ，连接 BDʹ．已知 AB=2 cm，设 BD 为 x cm，BDʹ 为 y cm．
小明根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）
（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
线段 BDʹ 的长度的最小值约为 cm；
若 BDʹ≥BD，则 BD 的长度 x 的取值范围是 ．

27. 如图，抛物线 y=12x2+bx+c 经过 A−1,0，C2,−3 两点，与 y 轴交于点 D，与 x 轴交于另一点 B．
（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若将此抛物线平移，使其顶点为点 D，需如何平移?写出平移后抛物线的解析式；
（3）过点 Pm,0 作 x 轴的垂线 1≤m≤2，分别交平移前后的抛物线于点 E，F，交直线 OC 于点 G，求证：PF=EG．

28. 如图1，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠B=60∘，D 为 AB 的中点，∠EDF=90∘，DE 交 AC 于点 G，DF 经过点 C．
（1）tan∠ACD= ；
（2）将图1中的 ∠EDF 绕点 D 顺时针方向旋转一定的角度，旋转过程中的 DE 交直线 AC 于点 P，DF 交直线 BC 于点 Q：
①如图2，当 DE⊥AC 时，求 PDQD 的值；
②当旋转到如图3位置时，求 PDQD 的值．

29. 数学课上学习了圆周角概念和性质：“顶点在圆上，两边与圆相交”，“同弧所对的圆周角相等”，小明在课后继续对圆外角和圆内角进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完整：
（1）定义概念：
顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角，顶点在圆内，两边与圆相交的角叫做圆内角．如图 1，∠M 为 AB 所对的一个圆外角．
请在图 2 中画出 AB 所对的一个圆内角；
（2）提出猜想：
通过多次画图、测量，获得了两个猜想：一条弧所对的圆外角 这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角 这条弧所对的圆周角（填“大于”、“等于”或“小于”）；
（3）推理证明：
利用图 1 或图 2，在以上两个猜想中任选一个进行证明；
（4）问题解决：
经过证明后，上述两个猜想都是正确的，继续探究发现，还可以解决下面的问题．
如图 3，F，H 是 ∠CDE 的边 DC 上两点，在边 DE 上找一点 P 使得 ∠FPH 最大．请简述如何确定点 P 的位置（写出思路即可，不要求写出作法和画图）．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. B
4. D
5. A
【解析】∵CD⊥AB，
∴∠AED=90∘，
∵∠D=∠B=60∘，
∴∠A=90∘−∠D=30∘．
6. D【解析】∵ 点 A 在 ⊙O 外，点 A 与 ⊙O 上的点的最短距离为 2，最长距离为 4，
∴⊙O 的半径 =12×4−2=1．
7. C
8. D
9. C【解析】连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是 23，高为 3，因而等边三角形的面积是 33 .
∴ 正六边形的面积为 183．
10. D
【解析】由已知，得 ∠A=30∘，∠B=45∘，CD=100，
因为 CD⊥AB 于点 D，
所以在 Rt△ACD 中，AD=CDtanA=10033=1003，
在 Rt△BCD 中，DB=CD=100 米，
所以 AB=AD+DB=1003+100=1003+1 米．
第二部分
11. 15 cm
12. 4
13. 120
【解析】设圆锥展开图的扇形圆心角为 n 度，则 10π=n⋅2π×15360，解得 n=120．
14. 0,−8
15. 18
【解析】如图，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ACB．
∴AEAC=DEBC．
设屏幕上图形的高度是 x cm，．
则 2060=6x．
解得 x=18cm．
16. 5，
构造边长为 5 的菱形 ABKD，连接 BD，射线 BD 为 ∠ABC 的平分线，构造 △CEF≌△CAB，作直线 CF 交 BD 于 P，交 AB 于 Qʹ，再作点 P 关于直线 BC 的对称点 J，连接 PJ 交 BC 于点 Q，点 P 、 Q 即为所求
【解析】（Ⅰ）AB=32+42=5．
第三部分
17. 原式=2×22+2×12−3×3+32=2+1−3+32=42−2.
18. （1） ∵BC=DC，
∴BC=DC．
∴∠BAC=∠CAD=∠CBD．
∵∠CBD=39∘，
∴∠BAC=∠CAD=39∘．
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=78∘．
（2） ∵EC=BC，
∴∠CBE=∠CEB．
∵∠CBE=∠1+∠CBD，∠CEB=∠2+∠BAC，
∴∠1+∠CBD=∠2+∠BAC．
∵∠BAC=∠CBD，
∴∠1=∠2．
19. 设小正方形的边长为 1，由勾股定理可知
A1B1=12+22=5；
A2B2=12+12=2；
A1C1=12+32=10；
B2C2=12+32=10．
∵B1C1=5，A2C2=2，
∴A1B1A2B2=52=102，B1C1B2C2=510=102，A1C1A2C2=102．
∴A1B1A2B2=B1C1B2C2=A1C1A2C2．
∴△A1B1C1∽△A2B2C2．
20. （1） ∵ 抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 A3,0，B−1,0，
∴ 抛物线的解析式为 y=−x−3x+1，
即 y=−x2+2x+3．
（2） ∵y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴ 抛物线的顶点坐标为 1,4．
21. 如图所示，过 A 作 AE∥BC，则 ∠EAF=∠CBG=θ2，且 EC=AB=25 cm．
Rt△DAF 中，∠DAF=θ1，DF=AFtanθ1，Rt△EAF 中，∠EAF=θ2，EF=AFtanθ2，
∴DE=DF−EF=AFtanθ1−tanθ2．
∵AF=140 cm，tanθ1=1.082，tanθ2=0.412，
∴DE=140×1.082−0.412=93.8，
∴DC=DE+EC=93.8+25=118.8≈119 cm．
答：支架 DC 的高应为 119 cm．
22. （1） y=−425x−52+50≤x≤10．
（2） 5 米．
23. （1） 把点 A1,3 代入反比例函数 y=k1x 得 k1=1×3=3，
∴ 过 A 点与 C 点的反比例函数解析式为 y=3x，
∵AB 与 x 轴平行，
∴B 点的纵坐标为 3，
∵BC 平行 y 轴，BC=2，
∴C 点的纵坐标为 1，
把 y=1 代入 y=3x 得 x=3，
∴C 点坐标为 3,1．
（2） 把 B3,3 代入反比例函数 y=k2x 得 k2=3×3=9，
∴ 点 B 所在函数图象的解析式为 y=9x．
24. 如答图，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，交 ⊙O 于点 E，
则 AD=BD=12AB=5，DE=3．
设输水管的半径为 r，则 OD=r−3．
在 Rt△OBD 中，OB2=BD2+OD2，即 r2=52+r−32．
解得 r=173．
∴ 输水管的半径为 173 cm．
25. （1） 如图：连接 OA．
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB．
∵AB=AC，
∴∠OBA=∠C．
∴∠OAB=∠C．
∵∠CAD=∠C，
∴∠OAB=∠CAD．
∵BD 是直径．
∴∠BAD=90∘．
∵∠OAC=∠BAD−∠OAB+∠CAD=90∘，
∴AC 是 ⊙O 的切线．
（2） 由（1）可知 AC 是 ⊙O 的切线，
∴∠OAC=90∘，∠AOD=2∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠AOC+∠C=2∠B+∠C=3∠C=90∘，
∴∠B=∠C=30∘，
在 Rt△ABC 中，BD=ABcsB=4cs30∘=833，
∴OB=433，
∴⊙O 的半径为 433．
26. （1） 0.9
（2） 如图所示．
（3） 0.7；0≤x≤0.9
27. （1） 把 A−1,0，C2,−3 代入 y=12x2+bx+c，
得 12−b+c=0,2+2b+c=−3, 解得 b=−32,c=−2,
∴ 抛物线的解析式为 y=12x2−32x−2，
∵y=12x2−32x−2=12x−322−258，
∴ 其顶点坐标为 32,−258．
（2） ∵y=12x2−32x−2，
∴ 当 x=0 时，y=−2，
∴D 点坐标为 0,−2．
∵ 将点 32,−258 向左平移 32 个单位长度，再向上平移 98 个单位长度，可得到点 D，
∴ 将 y=12x2−32x−2 向左平移 32 个单位长度，再向上平移 98 个单位长度，顶点为点 D，
此时平移后的抛物线解析式为 y=12x2−2．
（3） 设直线 OC 的解析式为 y=kx，
∵C2,−3，
∴2k=−3，解得 k=−32，
∴ 直线 OC 的解析式为 y=−32x．
当 x=m 时，yF=12m2−2，则 PF=−12m2−2=2−12m2，
当 x=m 时，yE=12m2−32m−2，yG=−32m，
则 EG=yG−yE=2−12m2，
∴PF=EG．
28. （1） 33
（2） ① ∵D 是 AB 的中点，DE⊥AC，
∴PD∥BC．
∴PD=12BC．
同理可证 DQ=12AC．
∴PDQD=BCAC．
∵∠B=60∘，
∴PDQD=BCAC=33．
②作 DG⊥AC 于 G，DH⊥BC 于 H．
∴∠DGC=∠DHC=90∘．
∵∠C=90∘，
∴ 四边形 CGDH 是矩形．
∴∠GDH=90∘．
∴∠PDG+∠EDH=90∘．
∵∠EDQ=90∘，
∴∠EDH+∠QDH=90∘．
∴∠PDG=∠QDH．
∴△PDG∽△QDH．
∴PDQD=DGDH．
由① DGDH=BCAC，
∴PDQD=33
29. （1） 如图 2 所示．
（2） 小于；大于
【解析】观察图形，可知：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角．
（3） 证明：
（i）如图 1，BM 与 ⊙O 相交于点 C，连接 AC．
∵∠ACB=∠M+∠MAC，
∴∠ACB>∠M；
（ii）如图 4，延长 BM 交 ⊙O 于点 C，连接 AC．
∵∠AMB=∠ACB+∠CAM，
∴∠AMB>∠ACB．
（4） 如图 3，当过点 F，H 的圆与 DE 相切时，切点即为所求的点 P．