2021年北京朝阳区中科院附属实验学校（初中部）九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区中科院附属实验学校（初中部）九年级上期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若 5:x=3:2，则 x 的值是
A. 152B. 215C. 310D. 103

2. 如图，已知 △ADE∼△ABC，相似比为 2:5，则 AF:AG 为
A. 2:5B. 5:2C. 5:1D. 1:5

3. 在 △ABC 中，∠C=90∘，sinB=32，则 ∠B 的度数是
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

4. 已知在 Rt△ABC 中， ∠C=90∘ ， sinA=35 ，则 tanB 的值为
A. 43B. 45C. 54D. 34

5. 如图，△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，下列判断错误的是( )
A. ADDB=AEECB. ADDB=DEBCC. ADAB=AEACD. ADAB=DEBC

6. 如图，一个三角尺 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，点 D 对应的刻度是 46∘，则 ∠ACD 的度数为
A. 46∘B. 23∘C. 44∘D. 67∘

7. 选一选。
在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2+(2m−1)x+2m−4与y=x2−(3m+n)x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）
A. m=57，n=−187B. m=5，n=−6C. m=−1，n=6D. m=1，n=−2

8. 如图，在半径为 5 cm 的 ⊙O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3 cm，则弦 AB 的长是
A. 4 cmB. 6 cmC. 8 cmD. 10 cm

9. 在 △ABC 中，∠ACB 为直角，∠A=30∘，CD⊥AB 于 D，若 BD=1，则 AB 的长度是
A. 4B. 3C. 2D. 1

10. 在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，连接 DE，那么下列条件中不能判断 △ADE 和 △ABC 相似的是
A. DE∥BCB. ∠AED=∠B
C. AE:AD=AB:ACD. AE:DE=AC:BC

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 将二次函数 y=x2−4x+7 化为 y=x−h2+k 的形式，结果为 y= ．

12. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，根据图象可知：方程 ax2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为 ．

13. 如图，小明同学站在离墙 BC5 m 的 A 处，发现小强同学在离墙 BC20 m 远且与墙平行的一条公路 l 上骑车，已知墙 BC 长为 24 m，则小明看不见小强的距离为 m．

14. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为 D，则 tan∠BCD 的值是 ．

15. 如图，AB 为半圆 O 的直径，C 是半圆上一点，且 ∠COA=60∘，设扇形 AOC，△COB 、弓形 BmC 的面积分别为 S1，S2，S3，则它们之间面积最大的是 ．

16. 用直尺和圆规作一个角等于已知角得到两个角相等的依据是 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 如图，∠A=50∘，∠B=80∘，∠D=50∘，∠E=80∘．求证：△ABC∽△DEF．

18. 将二次函数 y=2x2+4x−1 的解析式化为 y=ax+m2+k 的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．

19. 如图，某同学欲测量公园内一棵树 DE 的高度，他在这棵树的正前方的台阶上 A 点处测得树顶端 D 的仰角为 30∘，朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C 处，测得树顶端 D 的仰角为 60∘．已知 A 点的高度 AB 为 2 米，台阶 AC 的坡度为 1:3（即 AB:BC=1:3），且 B，C，E 三点在同一条直线上，求树 DE 的高度．

20. 求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值．
（1）y=x2−2x−3；
（2）y=−2x2−5x+7；
（3）y=x2−2x−32≤x≤3．

21. 烟花厂为第 100 届广交会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度 hm 与飞行时间 ts 的关系式是 h=−4t2+40t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间是多少?此时的高度为多少米?

22. 计算
（1）2sin30∘−12+tan60∘．
（2）sin260∘+∣tan45∘−2∣−2cs45∘．

23. 请阅读下面材料，并回答所提出的问题．
三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．
已知：如图，
△ABC 中，AD 是角平分线，
求证：ABAC=BDDC．
证明：如图，
过点 C 作 CE∥DA，交 BA 的延长线于 E．
则 ∠1=∠E，∠2=∠3．
因为 AD 平分 ∠BAC，
所以 ∠1=∠2．
所以 ∠3=∠E，
所以 AC=AE．
因为 CE∥DA，
所以 ABAE=BDDC ⋯⋯①，
所以 ABAC=BDDC．
（1）上述证明过程中，步骤①处的理由是 ；
（2）用三角形内角平分线定理解答：已知，△ABC 中，AD 是角平分线，AB=7 cm，AC=4 cm，BC=6 cm，则 BD 的长为 cm．

24. 定义：若函数 y=x2+bx+cc≠0 与 x 轴的交点 A，B 的横坐标为 xA，xB，与 y 轴交点的纵坐标为 yC，若 xA，xB 中至少存在一个值，满足 xA=yC（或 xB=yC），则称该函数为友好函数．如图，函数 y=x2+2x−3 与 x 轴的一个交点 A 的横坐标为 3，与 y 轴交点 C 的纵坐标为 −3，满足 xA=yC，称 y=x2+2x−3 为友好函数．
（1）判断 y=x2−4x+3 是否为友好函数，并说明理由．
（2）请探究友好函数 y=x2+bx+c 表达式中的 b 与 c 之间的关系．
（3）若 y=x2+bx+c 是友好函数，且 ∠ACB 为锐角，求 c 的取值范围．

25. 已知在 △ABC 中，点 D 是 BC 边上一点，以 AD 为直径的 ⊙O 与 BC 相切于点 D，与 AB，AC 分别交于点 E，F．
（1）如图①，若 ∠AEF=52∘，求 ∠C 的度数；
（2）如图②，若 EF 经过点 O，且 ∠AEF=35∘，求 ∠B 的度数．

26. 在下列网格中，每个小正方形的边长都是 1，点 A，B，P，Q 均为格点．
（1）线段 AB 的长度等于 ．
（2）点 M，N 是线段 AB 上的两个动点（ M 较靠近点 B ），且始终满足 MN=1426，若点 M，N 运动到恰好使四边形 MNPQ 的周长最小时，请在给定的网格中用无刻度直尺画出点 M 的位置，并简要说明你的作图方法： ．

27. 在 △ABC 中，∠B=45∘，∠C=30∘．点 D 是 BC 上一点，连接 AD．过点 A 作 AG⊥AD．在 AG 上取点 F，连接 DF．延长 DA 至 E，使 AE=AF，连接 EG，DG，且 GE=DF．
（1）若 AB=22，求 BC 的长；
（2）如图1，当点 G 在 AC 上时，求证：BD=12CG；
（3）如图2，当点 G 在 AC 的垂直平分线上时，直接写出 ABCG 的值．

28. 如图，若 b 是正数，直线 l:y=b 与 y 轴交于点 A；直线 a:y=x−b 与 y 轴交于点 B；抛物线 L:y=−x2+bx 的顶点为 C，且 L 与 x 轴右交点为 D．
（1）若 AB=8，求 b 的值，并求此时 L 的对称轴与 a 的交点坐标；
（2）当点 C 在 l 下方时，求点 C 与 l 距离的最大值；
（3）设 x0≠0，点 x0,y1，x0,y2，x0,y3 分别在 l，a 和 L 上，且 y3 是 y1，y2 的平均数，求点 x0,0 与点 D 间的距离；
（4）在 L 和 a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出 b=2019 和 b=2019.5 时“美点”的个数．

29. 对于平面直角坐标系中的任意点 Px,y，点 P 到 x，y 轴的距离分别为 d1，d2 我们把 d1+d2 称为点 P 的直角距离．记作 d，即 d=d1+d2．直线 y=−2x+4 分别与 x，y 轴交于点 A，B，点 P 在直线上．
（1）当 P 为线段 AB 的中点时，d= ；
（2）当 d=3 时，求点 P 的坐标；
（3）若在线段 AB 上存在无数个 P 点，使 d1+ad2=4 （ a 为常数），求 a 的值．
答案
第一部分
1. D【解析】由比例的基本性质，得 3x=10，解得 x=103．
2. A
3. C
4. A【解析】在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，则 sinA=ac，tanB=ba 和 a2+b2=c2．
由 sinA=35 知，若设 a=3k，则 c=5k，结合 a2+b2=c2，得 b=4k，
∴ tanB=ba=4k3k=43．
5. B
【解析】【分析】如图，证明△ADE∽△ABC，得到ADAB=DEBC=AEAC；证明ADDB=AEEC≠DEBC，即可解决问题．
【解析】解：如图，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC=AEAC，
∴C、D正确．
∵DE∥BC，
∴ADDB=AEEC≠DEBC，
故选：B．
【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；观察图形、数形结合，正确写出比例式是解题的关键．
6. D【解析】如图，连接 OD，
∵ 三角尺 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，
∴A，B，C，D 四点共圆，
∵ 点 D 对应的刻度是 46∘，
∴∠BOD=46∘，
∴∠BCD=12∠BOD=23∘，
∴∠ACD=90∘−∠BCD=67∘．
7. D【解析】∵抛物线y=x2+(2m−1)x+2m−4与y=x2−(3m+n)x+n关于y轴对称，
∴
2m−1=3m+n2m−4=n
，解之得
m=1n=−2
，
故选：D．
8. C【解析】连接 OA，
∵OD⊥AB，如图，
∴AD=BD，OD=3 cm，
在 Rt△AOD 中，OA=5 cm，OD=3 cm，
∴AD=OA2−OD2=4 cm，
∴AB=2AD=8 cm．
9. A【解析】因为 ∠ACB 为直角，∠A=30∘，
所以 ∠B=90∘−∠A=60∘，
因为 CD⊥AB 于 D，
所以 ∠DCB=90∘−∠B=30∘，
所以 AB=2BC，BC=2BD，
所以 AB=4BD=4．
10. D
第二部分
11. x−22+3
【解析】y=x2−4x+7=x2−4x+4+3=x−22+3．
12. k<2
13. 120
14. 34
15. S3
【解析】过 O 点作 OD⊥BC 于点 D，
如图，
设 ⊙O 的半径为 R，
则 BD=DC，
∵∠COA=60∘，
∴∠B=30∘，
∴OD=12R，
BD=32R，
∴BC=3R，
∴S2=12⋅12R⋅3R=34R2，
S1=60⋅π⋅R2360=π6R2，
S3=120⋅π⋅R2360−34R2=π3−34R2，
34<π6<π3−34，
∴S216. SSS
第三部分
17. 如图，将 △ABC 与 △DEF 重合于点 A，点 D，
∵∠B=∠E=80∘，
∴BC∥EF，
∴△ABC∽△DEF．
18. y=2x2+2x−1，
y=2x2+2x+1−2−1，
y=2x+12−3，
开口方向：向上，
顶点坐标：−1,−3，
对称轴：直线 x=−1．
19. 如图，过点 A 作 AF⊥DE 于 F，
则四边形 ABEF 为矩形，
∴ AF=BE，EF=AB=2．
设 DE=x，
在 Rt△CDE 中，CE=DEtan60∘=33x．
在 Rt△ABC 中，
∵ AB:BC=1:3，AB=2，
∴ BC=23．
在 Rt△AFD 中，DF=DE−EF=x−2，
∴ AF=DFtan30∘=3x−2．
∵ AF=BE=BC+CE，
∴ 3x−2=23+33x，
解得 x=6．
答：树 DE 的高度为 6 米．
20. （1） 方法 1：
因为 y=x2−2x−3=x−12−4，
所以顶点坐标为 1,−4．
因为 a=1>0，
所以当 x=1 时，y 有最小值 −4．
【解析】方法 2：
因为 −b2a=−−22×1=1，4ac−b24a=4×1×−3−−224×1=−4，
所以顶点坐标为 1,−4．
因为 a=1>0，
所以当 x=1 时，y 有最小值 −4．
（2） 方法 1：
因为 y=−2x2−5x+7=−2x+542+818，
所以顶点坐标为 −54,818．
因为 a=−2<0，
所以当 x=−54 时，y 有最大值 818．
【解析】方法 2：
因为 −b2a=−52×−2=−54，4ac−b24a=4×−2×7−−524×−2=818，
所以顶点坐标为 −54,818．
因为 a=−2<0，
所以当 x=−54 时，y 有最大值 818．
（3） 函数 y=x2−2x−32≤x≤3 的图象是抛物线 y=x2−2x−3 的一部分，如图实线所示．
因为 a=1>0，
所以抛物线 y=x2−2x−3 开口向上．
当 x≥1 时，y 随 x 的增大而增大，
所以当 x=3 时，y 有最大值，最大值为 32−2×3−3=0；
当 x=2 时，y 有最小值，最小值为 22−2×2−3=−3．
21. t=5 秒时，hmax=101 米．
22. （1） 原式= 2×12−23+3，
= 1−3．
（2） 原式= 322+∣1−2∣−2×22，
= −14．
23. （1） 平行线分线段成比例定理
（2） 4211
【解析】设 BD=x cm，则 CD=6−xcm，
因为 AD 平分 ∠BAC，
所以 ABAC=BDCD，
所以 74=x6−x，
解得 x=4211，
所以 BD=4211 cm．
24. （1） y=x2−4x+3 是友好函数，理由如下：
当 x=0 时，y=3；当 y=0 时，x=1 或 3，
∴y=x2−4x+3 与 x 轴一个交点的横坐标和与 y 轴交点的纵坐标都是 3，
∴y=x2−4x+3 是友好函数．
（2） 当 x=0 时，y=c，即与 y 轴交点的纵坐标为 c，
∴y=x2+bx+c 是友好函数，
∴x=c 时，y=0，即 c,0 在 y=x2+bx+c 上，
代入得：0=c2+bc+c，
∴0=cc+b+1，
而 c≠0，
∴b+c=−1．
（3） ①如图 1，当 C 在 y 轴负半轴上时，
由（2）可得：c=−b−1，即 y=x2+bx−b−1，
显然当 x=1 时，y=0，
即与 x 轴的一个交点为 1,0，
则 ∠ACO=45∘，
∴ 只需满足 ∠BCO<45∘，即 BO ∴c<−1
②如图 2，当 C 在 y 轴正半轴上，且 A 与 B 不重合时，
∴ 显然都满足 ∠ACB 为锐角，
∴c>0，且 c≠1；
③当 C 与原点重合时，不符合题意，
综上所述，c<−1 或 c>0，且 c≠1．
25. （1） 如图①，连接 DF．
∵ BC 与 ⊙O 相切于点 D，AD 为 ⊙O 的直径，
∴ BC⊥AD 于点 D．
∴ ∠ADC=90∘．
∴ ∠FAD+∠C=90∘．
∵ AD 为 ⊙O 的直径，
∴ ∠AFD=90∘．
∴ ∠FAD+∠ADF=90∘．
∴ ∠C=∠ADF．
∵ 同弧所对圆周角相等，∠AEF=∠ADF，
∴ ∠C=∠AEF=52∘．
（2） ∵ BC 与 ⊙O 相切于点 D，AD 为 ⊙O 的直径，
∴ BC⊥AD 于点 D．
∴ ∠ADB=90∘．
∵ OA=OE，
∴ ∠AEF=∠BAD，
∴ ∠B=90∘−∠BAD=55∘．
26. （1） 26
（2） 如图，取格点 C，D，E，连接 PC，ED 交于点 S；取格点 H，F，G，连接 HQ，FG；HQ，FG 相交得点 T．连接 ST，线段 ST 与 AB 相交于点 M，点 M 即为所求．
27. （1） 如图所示，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H．
∴ ∠AHB=∠AHC=90∘．
在 Rt△AHB 中，∵ AB=22，∠B=45∘，
∴ BH=AB⋅csB=22×22=2．
∴ AH=AB⋅sinB=22×22=2．
在 Rt△AHC 中，∵ ∠C=30∘，
∴ AC=2AH=4．
∴ CH=AC⋅csC=4×32=23．
∴ BC=BH+CH=2+23．
（2） ∵ AG⊥AD，
∴ ∠DAF=∠EAG=90∘．
在 Rt△DAF 和 Rt△GAE 中，
AF=AE,DF=GE,
∴ Rt△DAF≌Rt△GAE .
∴ AD=AG．
如图所示，过点 A 作 AP⊥AB 交 BC 于点 P，连接 PG．
∴ ∠BAP=90∘，即 ∠BAD+∠DAP=90∘．
∵ ∠DAG=90∘，即 ∠DAP+∠PAG=90∘．
∴ ∠BAD=∠PAG．
∵ ∠B=45∘，∠BAP=90∘，
∴ ∠APB=∠B=45∘．
∴ AB=AP．
在 △ABD 和 △APG 中，
AB=AP,∠BAD=∠PAG,AD=AG,
∴ △ABD≌△APG．
∴ BD=PG，∠B=∠APG．
∴ ∠APG=45∘．
∴ ∠BPG=∠APB+∠APG=45∘+45∘=90∘．
∴ ∠CPG=90∘．
在 Rt△CPG 中，∠C=30∘．
∴ PG=12CG．
∴ BD=12CG．
（3） ABCG=3+12．
28. （1） 当 x=0 时，y=x−b=−b，
∴B0,−b，
∵AB=8，而 A0,b，
∴b−−b=8，
∴b=4．
∴L:y=−x2+4x，
∴L 的对称轴 x=2，
当 x=2 时，y=x−4=−2，
∴L 的对称轴与 a 的交点为 2,−2．
（2） y=−x−b22+b24，
∴L 的顶点 Cb2,b24，
∵ 点 C 在 l 下方，
∴C 与 l 的距离 b−b24=−14b−22+1≤1，
∴ 点 C 与 l 距离的最大值为 1．
（3） 由題意得 y3=y1+y22，即 y1+y2=2y3，
得 b+x0−b=2−x02+bx0，
解得 x0=0 或 x0=b−12．但 x0≠0，取 x0=b−12，
对于 L，当 y=0 时，0=−x2+bx，即 0=−xx−b，
解得 x1=0，x2=b，
∵b>0，
∴ 右交点 Db,0．
∴ 点 x0,0 与点 D 间的距离 b−b−12=12．
（4） ①当 b=2019 时，抛物线解析式 L:y=−x2+2019x，
直线解析式 a:y=x−2019，
联立上述两个解析式可得：x1=−1，x2=2019，
∴ 可知每一个整数 x 的值都对应的一个整数 y 值，且 −1 和 2019 之间（包括 −1 和 −2019）共有 2021 个整数；
∵ 另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴ 线段和抛物线上各有 2021 个整数点，
∴ 总计 4042 个点，
∵ 这两段图象交点有 2 个点重复，
∴“美点”的个数：4042−2=4040（个）；
② 当 b=2019.5 时，
抛物线解析式 L:y=−x2+2019.5x，
直线解析式 a:y=x−2019.5，
联立上述两个解析式可得：x1=−1，x2=2019.5，
∴ 当 x 取整数时，在一次函数 y=x−2019.5 上，y 取不到整数值，因此在该图象上“美点”为 0，
在二次函数 y=x2+2019.5x 图象上，当 x 为偶数时，函数值 y 可取整数，
可知 −1 到 2019.5 之间有 1010 个偶数，因此“美点”共有 1010 个．
故 b=2019 时“美点”的个数为 4040 个，b=2019.5 时“美点”的个数为 1010 个．
29. （1） 3；
（2） 设 Pm,−2m+4，
∴d=d1+d2=∣m∣+∣−2m+4∣．
当 0≤m≤2 时，d=d1+d2=m−2m+4=4−m=3，
解得：m=1，此时 P11,2．
当 m>2 时，d=d1+d2=m+2m−4=3，
解得：m=73，此时 P73,−23．
当 m<0 时，d=d1+d2=−m−2m+4=3，
解得：m=13，因为 m<0，所以此时不存在点 P．
综上，P 的坐标为 1,2 或 73,−23．
（3） 设 Pm,−2m+4，
∴d1=∣−2m+4∣，d2=∣m∣．
∵P 在线段 AB 上，
∴0≤m≤2．
∴d1=−2m+4，d2=m．
∵d1+ad2=4，
∴−2m+4+am=4，即 a−2m=0．
∵ 有无数个点，
∴a=2．