2021年北京朝阳区北京市朝阳区石油大学附属三中分校九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区北京市朝阳区石油大学附属三中分校九年级上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 2sin45∘ 的值等于
A. 1B. 2C. 3D. 2

2. 如果一弧长是其所在圆周长的 118，那么这弧长所对的圆心角为
A. 15 度B. 16 度C. 20 度D. 24 度

3. 下列交通标识中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 如图，△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，下列判断错误的是( )
A. ADDB=AEECB. ADDB=DEBCC. ADAB=AEACD. ADAB=DEBC

5. 如图，一个三角尺 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，点 D 对应的刻度是 46∘，则 ∠ACD 的度数为
A. 46∘B. 23∘C. 44∘D. 67∘

6. 点 −2,6 在反比例函数 y=kx 的图象上，下列各点在此函数图象上的是
A. 3,4B. −3,−4C. 4,−3D. 4,3

7. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表：
x⋯−4−3−2−10⋯y⋯−3m10−3⋯
有以下几个结论：
①抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向上；
②抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=−2；
③关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的根为 −3 和 −1；
④当 y<0 时，x 的取值范围是 −3其中正确的是 ．
A. ①④B. ②④C. ②③D. ③④

8. 如图，四边形 ABCD 中，∠DAB=60∘，∠B=∠D=90∘，BC=1，CD=2，则对角线 AC 的长为
A. 21B. 213C. 2213D. 5213

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 在数学里，如果 ab=cd，则称 a，b，c，d 成比例，例如 12=36，则 1，2，3，6 成比例．下列是成比例线段的请打“√”．
（1）1，2，4，8
（2）1，2，3，4
（3）3，1，6，2
（4）1，2，2，2

10. 如图，点 A 在反比例函数 y=kx 的图象上，AB 垂直于 x 轴，若 S△AOB=4，那么这个反比例函数的解析式为 ．

11. 如图，在 ⊙O 的内接四边形 ABCD 中，点 E 在 DC 的延长线上．若 ∠A=50∘，则 ∠BCE= ．

12. 抛物线 y=12x2 向上平移 2 个单位长度后得到的新抛物线的解析式为 ．

13. 如图，D 是 △ABC 的边 AB 上一点，添加一个条件 后，可使 △ABC∽△ACD．

14. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 H，若 AB=10，CD=8，则 OH 的长度为 ．

15. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=33，AB=6，则 ∠A= ∘．

16. 如图，长方体长、 宽、高分别为 4 cm，3 cm，12 cm，则 BD1= cm．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 如图，BD 与 CE 交与点 A，AB⋅AD=AC⋅AE．
求证：△ABC∽△AED．

18. 已知：如图，点 M 为锐角 ∠APB 的边 PA 上一点．
求作：∠AMD，使得点 D 在边 PB 上，且 ∠AMD=2∠P．
作法：
①以点 M 为圆心，MP 长为半径画圆，交 PA 于另一点 C，交 PB 于点 D；
②作射线 MD．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）．
（2）完成下面的证明．
证明：
∵P，C，D 都在 ⊙M 上，
∠P 为 CD 所对的圆周角，∠CMD 为 CD 所对的圆心角，
∴∠P=12∠CMD（ ）（填推理依据）．
∴∠AMD=2∠P．

19. 如图，已知二次函数 y=x2+ax+3 的图象经过点 P−2,3．
（1）求 a 的值和图象的顶点坐标．
（2）点 Qm,n 在该二次函数图象上．
①当 m=2 时，求 n 的值；
②若点 Q 到 y 轴的距离小于 2，请根据图象直接写出 n 的取值范围．

20. 某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段 MN 的长），直线 MN 垂直于地面，垂足为点 P．在地面 A 处测得点 M 的仰角为 58∘，点 N 的仰角为 45∘，在 B 处测得点 M 的仰角为 31∘，AB=5 米，且 A，B，P 三点在一直线上，请根据以上数据求广告牌的宽 MN 的长．
（参考数据：sin58∘≈0.85，cs58∘≈0.53，cs58∘≈1.60，sin31∘≈0.52，cs31∘≈0.86，tan31∘≈0.60．）

21. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=mxx<0 的图象相交于点 A−3,n，B−1,−3 两点，过点 A 作 AC⊥OP 于点 C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形 ABOC 的面积．

22. 如图，⊙O 的直径 AB=4，∠ABC=30∘，BC 交 ⊙O 于 D，D 是 BC 的中点．
（1）求 BC 的长；
（2）过点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E，求证：直线 DE 是 ⊙O 的切线．

23. 如图 1，在 △CAB 和 △CDE 中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，连接 AD，BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）如图 2，当 α=90∘ 时，取 AD，BE 的中点 P，Q，连接 CP，CQ，PQ，判断 △CPQ 的形状，并加以证明．

24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+mx+n 与 x 轴正半轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C．
（1）若 △OBC 是等腰直角三角形，且其腰长为 3，求抛物线的解析式．
（2）在（1）的条件下，点 P 为抛物线对称轴上的一点，则 PA+PC 的最小值为 ．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于半径为 rr>0 的 ⊙O 和点 P，给出如下定义：若 r≤PO≤32r，则称 P 为 ⊙O 的“近外点”．
（1）当 ⊙O 的半径为 2 时，点 A4,0，B−52,0，C0,3，D1,−1 中，⊙O 的“近外点”是 ；
（2）若点 E3,4 是 ⊙O 的“近外点”，求 ⊙O 的半径 r 的取值范围；
（3）当 ⊙O 的半径为 2 时，直线 y=33x+bb≠0 与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N，若线段 MN 上存在 ⊙O 的“近外点”，直接写出 b 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】2sin45∘=2×22=2．
2. C【解析】118×360∘=20∘．
故选C．
3. D
4. B【解析】【分析】如图，证明△ADE∽△ABC，得到ADAB=DEBC=AEAC；证明ADDB=AEEC≠DEBC，即可解决问题．
【解析】解：如图，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC=AEAC，
∴C、D正确．
∵DE∥BC，
∴ADDB=AEEC≠DEBC，
故选：B．
【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；观察图形、数形结合，正确写出比例式是解题的关键．
5. D
【解析】如图，连接 OD，
∵ 三角尺 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，
∴A，B，C，D 四点共圆，
∵ 点 D 对应的刻度是 46∘，
∴∠BOD=46∘，
∴∠BCD=12∠BOD=23∘，
∴∠ACD=90∘−∠BCD=67∘．
6. C【解析】∵ 点 −2,6 在反比例函数 y=kx 的图象上，
∴k=−12，
∵ 点 4,−3 在 y=−12x 上．
7. C【解析】①由抛物线上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值可知：
当 x<−2 时，y 随 x 的增大而增大；
当 x>−2 时，y 随 x 的增大而减小；
所以抛物线 y=ax2+bx+c 的图象开口向下，故①错误；
②当 x=−4 时，y=−3；当 x=0 时，y=−3，
由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为直线 x=−4+0÷2=−2，故②正确；
③ x=−1 时，y=0，即点 −1,0 为抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点，
对称轴为直线 x=−2，
所以抛物线与 x 轴另一个交点为 −3,0，则 y=0时，x=−1 或 x=−3；
故关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的根为 −3 和 −1，故③正确；
④抛物线图象开口向下，与 x 轴交点为 −3,0，−1,0，
所以当 y<0 时，x<−3 或 x>−1，故④错误；
故②③正确．
故选C．
8. C【解析】如图，延长 DC 交 AB 的延长线手点 K，
在 Rt△ADK 中，
因为 ∠DAK=60∘，
所以 ∠AKD=30∘．
因为在 Rt△CBK 中，BC=1，
所以 CK=2，BK=3，
所以 DK=CD+CK=4，
所以 AD=DKtan60∘=433．
所以在 Rt△ADC 中，AC=AD2+DC2=2213．
第二部分
9. √，×，√，√
10. y=−8x
11. 50∘．
【解析】因为四边形 ABCD 内接于 ⊙O，所以 ∠BCE=∠A=50∘．
12. y=12x2+2
13. ∠ABC=∠ACD（答案不唯一）
14. 3
【解析】连接 OC，
Rt△OCH 中，OC=12AB=5，CH=12CD=4，
由勾股定理，得：OH=OC2−CH2=52−42=3，
即线段 OH 的长为 3．
15. 30
16. 13
第三部分
17. ∵AB⋅AD=AC⋅AE，
∴ABAE=ACAD．
又 ∵BD 与 CE 相交，
∠BAC=∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
18. （1） 如图所示：
（2） 同一圆中，同弧所对圆周角等于圆心角的一半
19. （1） 把点 P−2,3 代入 y=x2+ax+3 中，
∴a=2．
∴y=x2+2x+3．
∴ 顶点坐标为 −1,2．
（2） ①当 m=2 时，n=11．
②点 Q 到 y 轴的距离小于 2，
∴∣m∣<2．
∴−2 ∴2≤n<11．
20. 在 Rt△APN 中，∠NAP=45∘，
∴PA=PN．
在 Rt△APM 中，tan∠MAP=MPAP．
设 PA=PN=x，
∵∠MAP=58∘．
∴MP=AP⋅tan∠MAP=1.6x，
在 Rt△BPM 中，tan∠MBP=MPBP，
∵∠MBP=31∘，AB=5，
∴0.6=1.6x5+x．
∴x=3，
∴MN=MP−NP=0.6x=1.8（米）．
答：广告牌的宽 MN 的长为 1.8 米．
21. （1） 将 B−1,−3 代入 y=mx 得，m=3，
∴ 反比例函数的关系式为 y=3x；
把 A−3,n 代入 y=3x 得，n=−1，
∴ 点 A−3,−1；
把点 A−3,−1，B−1,−3 代入一次函数 y=kx+b 得，
−3k+b=−1,−k+b=−3, 解得 k=−1,b=−4,
∴ 一次函数的关系式为 y=−x−4．
（2） 如图，过点 B 作 BM⊥OP，垂足为 M，
由题意可知，OM=1，BM=3，AC=1，
MC=OC−OM=3−1=2，
S四边形ABOC=S△BOM+S梯形ACMB=12×1×3+12×1+3×2=112.
22. （1） 连接 AD，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘．
又 ∵∠ABC=30∘，AB=4，
∴BD=4×cs30∘=23．
∵D 是 BC 的中点，
∴BC=2BD=43．
（2） 连接 OD．
∵D 是 BC 的中点，O 是 AB 的中点，
∴DO 是 △ABC 的中位线，
∴OD∥AC，
则 ∠EDO=∠CED．
又 ∵DE⊥AC，
∴∠CED=90∘，∠EDO=∠CED=90∘．
∴DE⊥OD．
又 OD 是 ⊙O 的半径，
∴DE 是 ⊙O 的切线．
23. （1） 如图 1，
因为 ∠ACB=∠DCE=α，
所以 ∠ACD=∠BCE，
在 △ACD 和 △BCE 中，
CA=CB,∠ACD=∠BCE,CD=CE.
所以 △ACD≌△BCESAS，
所以 BE=AD．
（2） △CPQ 为等腰直角三角形．
如图 2，
由（1）可得，BE=AD，
因为 AD，BE 的中点分别为点 P，Q，
所以 AP=BQ，
因为 △ACD≌△BCE，
所以 ∠CAP=∠CBQ，
在 △ACP 和 △BCQ 中，
CA=CB,∠CAP=∠CBQ,AP=BQ.
所以 △ACP≌△BCQSAS，
所以 CP=CQ，且 ∠ACP=∠BCQ，
又因为 ∠ACP+∠PCB=90∘，
所以 ∠BCQ+∠PCB=90∘，
所以 ∠PCQ=90∘，
所以 △CPQ 为等腰直角三角形．
24. （1） 如图 1，连接 BC，
∵△OBC 是等腰直角三角形，∠BOC=90∘，
∴OB=OC，
∵ 腰长为 3，
∴OB=OC=3，
∴B3,0，C0,3，
将点 B3,0，C0,3 代入抛物线解析式 y=x2+mx+n 中，
得，9+3m+n=0,n=3,
∴m=−4,n=3,
∴ 抛物线的解析式为 y=x2−4x+3．
（2） 32
【解析】如图 2，
由（1）知，抛物线的解析式为 y=x2−4x+3=x−22−1，
∴ 抛物线的对称轴直线为 x=2，
∵ 点 C0,3，
∴ 点 C 关于抛物线的对称轴 x=2 的对称点 Cʹ4,3，
连接 ACʹ 交抛物线的对称轴于 P，此时，PA+PC 的值最小，最小值为 ACʹ，
针对于抛物线的解析式为 y=x2−4x+3，令 y=0，则 x2−4x+3=0，
解得，x=1 或 x=3，
∴A1,0，
∵Cʹ4,3，
∴ACʹ=4−12+32=32，
即 PA+PC 的最小值为 32，
故答案为：32．
25. （1） B，C
（2） ∵E3,4，
∴EO=5．
∴r≤5,32r≥5.
∴103≤r≤5．
（3） 233≤b≤23 或 −23≤b≤−233．