2021年北京海淀区上地实验学校(初中部)九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区上地实验学校(初中部)九年级上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图，利用刻度尺和三角尺测得圆的直径是
A. 3 cmB. 3.5 cmC. 4 cmD. 7.5 cm

2. 下列事件中，随机事件是
A. 任意画一个圆的内接四边形，其对角互补
B. 现阶段人们乘高铁出行在购买车票时，采用网络购票方式
C. 从分别写有数字 1，2，3 的三个纸团中随机抽取一个，抽到的数字是 0
D. 通常情况下，北京在大寒这一天的最低气温会在 0∘C 以下

3. 如图，△ABC∽△AʹBʹCʹ，AD 和 AʹDʹ 分别是 △ABC 和 △AʹBʹCʹ 的高，若 AD=2，AʹDʹ=3，则 △ABC 与 △AʹBʹCʹ 的面积的比为
A. 4:9B. 9:4C. 2:3D. 3:2

4. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，C，D 为 ⊙O 上的两点，若 AB=14，BC=7．则 ∠BDC 的度数是
A. 15∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘

5. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC=4，以点 C 为中心，把 △ABC 逆时针旋转 45∘，得到 △AʹBʹC，则图中阴影部分的面积为
A. 2B. 2πC. 4D. 4π

6. 如图，一条抛物线与 x 轴相交于 M，N 两点（点 M 在点 N 的左侧），其顶点 P 在线段 AB 上移动．若点 A，B 的坐标分别为 −2,3，1,3，点 N 的横坐标的最大值为 4，则点 M 的横坐标的最小值为
A. −1B. −3C. −5D. −7

7. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

8. 已知甲、乙两地相距 s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间 t（单位：h）关于行驶速度 v（单位：km/h）的函数图象是
A. B.
C. D.

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

10. 如图，把 △ABC 绕着点 A 顺时针方向旋转，得到 △ABʹCʹ，点 C 恰好在 BʹCʹ 上，旋转角为 α，则 ∠Cʹ 的度数为 （用含 α 的式子表示）．

11. 在反比例函数 y=3−2mx 的图象上有两点 Ax1,y1，Bx2,y2，x1y2，则 m 的取值范围是 ．

12. 如图，PA，PB 分别与 ⊙O 相切于 A，B 两点，PO 与 AB 相交于点 C，PA=6，∠APB=60∘，则 OC 的长为 ．

13. 如图，双曲线 y=kx 与抛物线 y=ax2+bx+c 交于点 Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3，由图象可得不等式组 0
14. 如图，在平面直角坐标系中，△COD 可以看作是 △AOB 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、 旋转、位似）得到的，写出一种由 △AOB 得到 △COD 的过程： ．

15. “π 的估计”有很多方法，下面这个随机模拟实验就是一种，其过程如下：
如图，随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上，统计落在圆内的米粒数 m 与正方形内的米粒数 n，并计算频率 mn；在相同条件下，大量重复以上试验，当 mn 显现出一定稳定性时，就可以估计出 π 的值为 4mn．请说出其中所蕴含的原理： ．

16. 下面是“作顶角为 120∘ 的等腰三角形的外接圆”的尺规作图过程．
已知：△ABC，AB=AC，∠A=120∘．
求作：△ABC 的外接圆．
作法：（1）分别以点 B 和点 C 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧的一个交点为 O；
（2）连接 BO；
（3）以 O 为圆心，BO 为半径作 ⊙O，⊙O 即为所求作的圆．
请回答：该尺规作图的依据是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，对角线 AC 是 ⊙O 的直径，AB=2，∠ADB=45∘．求 ⊙O 半径的长．

18. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A3,3，B4,0，C0,−1．
（1）以点 C 为中心，把 △ABC 逆时针旋转 90∘，画出旋转后的图形 △AʹBʹC；
（2）在（1）中的条件下，
①点 A 经过的路径 AAʹ 的长为 （结果保留 π）；
②写出点 Bʹ 的坐标为 ．

19. 图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面 4 m 时，水面宽 8 m．水面上升 3 米，水面宽度减少多少?
下面给出了解决这个问题的两种方法．
方法一：如图 1，以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的表达式为 ；当 y=3 时，求出此时自变量 x 的取值，即可解决这个问题．
方法二：如图 2，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的表达式为 ；当 y= 时，求出此时自变量 x 的取值，即可解决这个问题．

20. 有两盏节能灯，每一盏能通电发亮的概率都是 50%，按照图中所示的并联方式连接电路，观察这两盏灯发亮的情况．
（1）列举出所有可能的情况；
（2）求出至少有一盏灯可以发亮的概率．

21. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=−2x−3 与双曲线 y=kx 交于 Ma,2，N1,b 两点．
（1）求 k，a，b 的值；
（2）若 P 是 y 轴上一点，且 △MPN 的面积是 7，直接写出点 P 的坐标 ．

22. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 是 CD 中点，点 P 在射线 AB 上，过点 P 作线段 AE 的垂线段，垂足为 F．
（1）求证：△PAF∽△AED；
（2）连接 PE，若存在点 P 使 △PEF 与 △AED 相似，直接写出 PA 的长 ．

23. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，以 BC 为直径的 ⊙O 交 AB 于点 D，⊙O 的切线 DE 交 AC 于点 E．
（1）求证：E 是 AC 中点；
（2）若 AB=10，BC=6，连接 CD，OE，交点为 F．求 OF 的长．

24. △ACB 中，∠C=90∘，以点 A 为中心，分别将线段 AB，AC 逆时针旋转 60∘ 得到线段 AD，AE，连接 DE，延长 DE 交 CB 于点 F．
（1）如图 1，若 ∠B=30∘，∠CFE 的度数为 ；
（2）如图 2，当 30∘<∠B<60∘ 时，
①依题意补全图 2；
②猜想 CF 与 AC 的数量关系，并加以证明．

25. 如图，直线 AM 和 AN 相交于点 A，∠MAN=30∘，在射线 AN 上取一点 B，使 AB=6 cm，过点 B 作 BC⊥AM 于点 C，D 是线段 AB 上的一个动点（不与点 B 重合），过点 D 作 CD 的垂线交射线 CA 于点 E．
（1）确定点 B 的位置，在线段 AB 上任取一点 D，根据题意，补全图形；
（2）设 AD=x cm，CE=y cm，探究函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律．
① 通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组对应值，如表：
（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）
② 建立平面直角坐标系 xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
③ 结合画出的函数图象，解决问题：当 AD 为 Rt△CDE 斜边 CE 上的中线时，AD 的长度约为 cm（结果保留一位小数）．

26. 已知抛物线 l1 与 l2 形状相同，开口方向不同，其中抛物线 l1:y=ax2−8ax−72 交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且 AB=6；抛物线 l2 与 l1 交于点 A 和 C5,n．
（1）求抛物线 l1，l2 的表达式；
（2）当 x 的取值范围是 时，抛物线 l1 与 l2 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；
（3）直线 MN∥y 轴，与 x 轴，l1，l2 分别相交于 Pm,0，M，N，当 1≤m≤7 时，求线段 MN 的最大值．

27. 在平面直角坐标系 xOy 中，A0,6，点 B 在 x 轴的正半轴上．若点 P，Q 在线段 AB 上，且 PQ 为某个一边与 x 轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点 P，Q 的“X 矩形”．如图为点 P，Q 的“X 矩形”的示意图．
（1）若 B4,0，点 C 的横坐标为 2，则点 B，C 的“X 矩形”的面积为 ．
（2）点 M，N 的“X 矩形”是正方形，
①当此正方形面积为 4，且点 M 到 y 轴的距离为 3 时，写出点 B 的坐标，点 N 的坐标及经过点 N 的反比例函数的表达式；
②当此正方形的对角线长度为 3，且半径为 r 的 ⊙O 与它没有交点，直接写出 r 的取值范围．

28. 如图，在 △ABC 与 △ADE 中，ABAD=ACAE 且 ∠EAC=∠DAB．
求证：△ABC∽△ADE．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. A
4. B
5. B
【解析】S△ABC=12AB⋅AC=8，
S扇形ACAʹ=18×π×42=2π，
S△AʹBʹC=S△ABC=8，
S扇形BCBʹ=18×π×422=4π，
所以 S阴影=8+4π−8−2π=2π．
6. C【解析】当 P 与 B 重合时，点 N 的横坐标最大为 4，且 B1,3；
当 P 与 A 重合时，点 M 的横坐标最小，且 A−2,3，
∴ M 的横坐标的最小值为 −5．
7. D【解析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180∘，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
轴对称图形的定义为：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义可知：
A选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误；
B选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误；
C选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误；
D选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，故此选项正确．
8. C
第二部分
9. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
10. 90∘−α2
11. m<32
12. 3
13. x214. （答案不唯一）以原点 O 为位似中心，位似比为 12，在原点 O 同侧将 △AOB 缩小，再将得到的三角形沿 y 轴翻折得到 △COD．
15. 设正方形的边长为 a，则 mn=π⋅a22a2=πa24⋅1a2=π4，
∴π=4mn，蕴含了用频率估计概率的原理．
16. 到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；等边三角形的判定；圆的定义
第三部分
17. ∵ AC 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠ABC=90∘．
∵ ∠ADB=45∘，
∴ ∠ACB=∠ADB=45∘．
∵ AB=2，
∴ BC=AB=2．
∴ AC=AB2+BC2=22．
∴ ⊙O 半径的长为 2．
18. （1） 如图．
（2） ① 5π2；② −1,3
19. 方法一：y=−14x2+2x；
方法二：y=−14x2；−1
20. （1） 设两盏节能灯分别记为灯 1，灯 2．
（2） 由（1）可知，所有可能出现的情况共有 4 种，它们出现的可能性相等，至少有一盏灯可以发亮的情况有 3 种．
所以，P至少有一盏灯可以发亮=34．
21. （1） 把 Ma,2 代入 y=−2x−3，得 2=−2a−3，
∴ a=−2.5．
把 N1,b 代入 y=−2x−3，
∴ b=−5．
把 M−2.5,2 代入 y=kx，得 2=k−2.5，
∴ k=−5．
（2） 0,1 或 0,−7
22. （1） 在正方形 ABCD 中，∠D=90∘，CD∥AB，
∴∠DEA=∠PAE，
∵PF⊥AE，
∴∠D=∠AFP，
∴△PAF∽△AED．
（2） 1 或 52
23. （1） 连接 OD，如图 1，
∵ ∠C=90∘，BC 为 ⊙O 的直径，
∴ EC 为 ⊙O 的切线，∠A+∠B=90∘．
∵ DE 为 ⊙O 的切线，
∴ EC=DE，DE⊥OD．
∴ ∠EDA+∠ODB=90∘．
∵ OD=OB，
∴ ∠ODB=∠B．
∴ ∠EDA=∠A．
∴ EA=DE．
∴ EA=EC．
即 E 是 AC 中点．
（2） 如图 2，
∵ EC，DE 是 ⊙O 的切线，
∴ EO 平分 ∠CED．
∴ EO⊥CD，F 是 CD 中点．
∵ 点 E，O 分别是 AC，BC 的中点，
∴ OE=12AB=5．
Rt△ABC 中，AB=10，BC=6，
∴ AC=8．
∴ ED=12AC=4．
Rt△DOE 中，OD=12BC=3，
∴ DF=ED×DOOE=125，
Rt△OFD 中，由勾股定理得，
OF=95．
24. （1） 120∘
（2） ①如图 1．
② CF=33AC．
证明：如图 2，连接 AF，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠EAD=∠CAB，
在 △ADE 和 △ABC 中，
AD=AB,∠EAD=∠CAB,AE=AC,
∴△ADE≌△ABC．
∴∠AED=∠C=90∘．
∴∠AEF=90∘，
在 Rt△AEF 和 Rt△ACF 中，
AF=AF,AE=AC,
∴Rt△AEF≌Rt△ACF．
∴∠CAF=12∠CAE=30∘．
Rt△ACF 中，CF=12AF，且 AC2+CF2=AF2．
∴CF=33AC．
25. （1） 如图．
（2） 答案不唯一，如：①4.0
② 如图．
③5.2
26. （1） 由题意可知，抛物线 l1 的对称轴为直线 x=−−8a2a=4．
∵ 抛物线 l1 交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），且 AB=6，
∴A1,0，B7,0，
把 A1,0 代入 y=ax2−8ax−72，解得 a=−12．
∴ 抛物线 l1 的表达式为 y=−12x2+4x−72．
把 C5,n 代入 y=−12x2+4x−72，解得 n=4．
∴C5,4．
∵ 抛物线 l1 与 l2 形状相同，开口方向不同，
∴ 设抛物线 l2 的表达式为 y=12x2+bx+c．
把 A1,0，C5,4 代入 y=12x2+bx+c，得 0=12+b+c,4=252+5b+c, 解得 b=−2,c=32.
∴ 抛物线 l2 的表达式为 y=12x2−2x+32．
（2） 2≤x≤4
（3） ∵ 直线 MN∥y 轴，交 x 轴，l1，l2 于点 Pm,0，M，N，
∴Mm,−12m2+4m−72，Nm,12m2−2m+32．
①如图 1，
当 1≤m≤5 时，MN=−m2+6m−5=−m−32+4，
∴ 当 m=3 时，MN 的最大值为 4；
②如图 2，
当 5 5 ∴ 当 m=7 时，MN 的最大值是 12．
综上所述，线段 MN 的最大值是 12．
27. （1） 6
（2） ①由“X 矩形”是正方形可知 B6,0，
由正方形面积为 4 可知 N1,5 或 N5,1，
由点 N 在反比例函数图象上可知 y=5x；
② 0922．
28. ∵∠EAC=∠DAB，
∴∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE．
∴∠BAC=∠DAE．
又 ABAD=ACAE，
∴△ABC∽△ADE．