2021年北京西城区北京教育学院附属中学（初中部）九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京西城区北京教育学院附属中学（初中部）九年级上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 抛物线 y=−4x−m2+n（m，n 是常数）的顶点坐标是
A. −m,nB. m,nC. m,−nD. −m,−n

2. 小张掷一枚硬币，结果是一连 9 次掷出正面向上，那么他第 10 次掷硬币时，出现正面向上的概率是
A. 0B. 1C. 0.5D. 不能确定

3. 如图，A，B，C 三点在 ⊙O 上，∠AOB=80∘，则 ∠ACB 的度数为
A. 40∘B. 60∘C. 80∘D. 100∘

4. 如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定

5. 如果一种变换是将抛物线向右平移 2 个单位或向上平移 1 个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是 y=x2+1，则原抛物线的解析式不可能是
A. y=x2−1B. y=x2+6x+5C. y=x2+4x+4D. y=x2+8x+17

6. 如图，在 △ABC 中，D，E 分别是 AB 和 AC 的中点，S四边形BCED=15，则 S△ABC=
A. 30B. 25C. 22.5D. 20

7. 已知圆锥的母线为 5 cm，底面直径为 4 cm，这个圆锥的侧面积为
A. 20π cm2B. 20 cm2C. 10π cm2D. 10 cm2

8. 已知 ⊙O 是 △ABC 的外接圆，若 AB=AC=5，BC=6，则 ⊙O 的半径为
A. 4B. 3.25C. 3.125D. 2.25

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则 sinA 的值为 ．

10. 如果点 A2,−4 与点 B6,−4 在抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 上，那么该抛物线的对称轴为直线 ．

11. 已知反比例函数 y=k−3x（k 是常数，k≠3）的图象有一支在第二象限，那么 k 的取值范围是 ．

12. n∘ 圆心角所对的弧长是圆周长的 ．（填分数）

13. 如图，小明同学站在离墙 BC5 m 的 A 处，发现小强同学在离墙 BC20 m 远且与墙平行的一条公路 l 上骑车，已知墙 BC 长为 24 m，则小明看不见小强的距离为 m．

14. 如图，△ABC 是 ⊙O 的内接三角形，若 ⊙O 的半径为 2，∠BOC 与 ∠A 互补，则 BC 的长为 ．

15. 二次函数 y=ax2+bx 的图象如图所示，若关于 x 的方程 ax2+bx=m 有实根，则 m 的取值范围是 ．

16. 如图，在 Rt△ABC 中，∠CAB=90∘，AD 是 ∠CAB 的平分线，tanB=12，则 CD:DB= ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算： 20−2sin45∘+13−2−∣−2∣

18. 已知二次函数 y=−12x2−x+72 .
（1）用配方法把该二次函数的解析式化为 y=ax+m2+k 的形式；
（2）写出该二次函数图象的开口方向，顶点坐标和对称轴，并说明函数值 y 随自变量 x 的变化而变化的情况．

19. 已知反比例函数 y=kxx>0 的图象与一次函数 y=−12x+4 的图象交于 A 和 B6,n 两点，求 k 和 n 的值．

20. 如图，AB 是 ⊙O 的弦，点 C，D 是直线 AB 上的点，且 OC=OD．求证：AC=BD．

21. 甲、乙两人用如图所示的两个分格均匀的转盘做游戏：分别转动两个转盘，若转盘停止后，指针指向一个数字（若指针恰好停在分格线上，则重转一次），用所指的两个数字作乘积，如果积大于 10，那么甲获胜；如果积不大于 10，那么乙获胜．请你解决下列问题：
（1）利用树状图（或列表）的方法表示游戏所有可能出现的结果；
（2）求甲、乙两人获胜的概率．

22. 如图，某拱桥的截面是抛物线形，在图中建立适当的平面直角坐标系，已知抛物线的解析式为 y=−14x2，当水面宽 AB 为 12 米时，求水面到拱桥顶点 O 的距离．

23. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，求 cs∠CAD 的值．

24. 有这样一个问题：
探究函数 y=∣x−3∣−x+12 的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数 y=∣x−3∣−x+12 的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）填表
x⋯−10123456⋯y⋯32−1−1⋯
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数 y=∣x−3∣−x+12 的图象；
（3）结合函数图象，请写出该函数的一条性质．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．给出如下定义：对于任意两个整点 Mx1,y1，Nx2,y2，M 与 N 的“直角距离”记为 dMN，dMN=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣．例如，点 M1,5 与 N7,2 的“直角距离”dMN=∣1−7∣+∣5−2∣=9．
（1）已知点 A4,−1．
①点 A 与点 B1,3 的“直角距离”dAB= ；
②若点 A 与整点 C−2,m 的“直角距离”dAC=8，则 m 的值为 ；
（2）小明有一项设计某社区规划图的实践作业，这个社区的道路都是正南正北，正东正西方向，并且平行的相邻两条路之间的距离都是相等的，可近似看作正方形的网格．小明建立平面直角坐标系画出了此社区的示意图（如图所示）．
为了做好社区消防，需要在某个整点处建一个消防站 P，要求是：消防站与各个火警高危点的“直角距离”之和最小．目前该社区内有两个火警高危点，分别是 D−2,−1 和 E2,2．
①若对于火警高危点 D 和 E，消防站 P 不仅要满足上述条件，还需要消防站 P 到 D，E 两个点的“直角距离”之差的绝对值最小，则满足条件的消防站 P 的坐标可以是 （写出一个即可），所有满足条件的消防站 P 的位置共有 个；
②在设计过程中，如果社区还有一个火警高危点 F4,−2，那么满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小的消防站 P 的坐标为 ．

26. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=4，点 D 的坐标是 0,8，以点 C 为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c 经过 x 轴上的点 A，B．
（1）求点 A，B，C 的坐标；
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点 D，求平移后抛物线的表达式．

27. 如图 1，已知平行四边形 ABCD，AB∥x 轴，AB=6，点 A 的坐标为 (1,−4)，点 D 的坐标为 (−3,4)，点 B 在第四象限，点 P 是平行四边形 ABCD 边上的一个动点．
（1）若点 P 在边 BC 上，PD=CD，求点 P 的坐标；
（2）若点 P 在 AB，AD 上，点 P 关于坐标轴对称的点 Q 落在直线 y=x−1 上，求点 P 的坐标；
（3）若点 P 在 CD 上，点 G 是 AD 与 y 轴的交点，如图 2，过点 P 作 y 轴的平行线 PM，过点 G 作 x 轴的平行线 GM，它们相交于点 M，将 △PGM 沿直线 PG 翻折，当点 M 的对应点落在坐标轴上时，求点 P 的坐标（直接写出答案）．

28. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，点 D 在边 BC 上，且为 BC 的中点，点 E 为边 BC 延长线上的一点，连接 AE，且 ∠AEB=45∘，过 D 作 DF⊥AC，垂足为点 G，交 AE 于点 F，在边 BE 上取一点 H，连接 FH．
（1）若 ∠CDF=20∘，求 ∠BAE 的度数；
（2）若 ∠DFE=∠AFH，求证：BC=2EH．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. A【解析】∵∠ABO=80∘，
∴∠ACB=12∠AOB=12×80∘=40∘．
4. C
5. B
【解析】因为抛物线 y=x2−1 可以向上平移两次得到 y=x2+1，所以 A可能．
因为抛物线 y=x2+4x+4=x+22 可以先向右平移一次再向上平移一次得到 y=x2+1，所以C可能．
因为抛物线 y=x2+8x+17=x+42+1 可以向右平移两次得到 y=x2+1，所以D可能．
因为抛物线 y=x2+6x+5=x+32−4，所以经过任意两次简单变换都不能得到 y=x2+1．
6. D【解析】因为 D，E 分别是 AB 和 AC 的中点，
所以 DE 是 △ABC 的中位线，
所以 DE∥BC，DE=12BC．
因为 DE∥BC，
所以 △ADE∽△ABC，
所以 S△ADES△ABC=DEBC2=14，
所以 S△ADE=14S△ABC，
所以 S四边形BCED=34S△ABC，
因为 S四边形BCED=15，
所以 S△ABC=20．
7. C
8. C【解析】作 OD⊥BC 于点 D，连接 AO，BO，
则 AO，OD 共线，且 AD=4．
设 ⊙O 半径为 r，则 OD=4−r．
在 Rt△ODB 中，4−r2+32=r2，
解得 r=258．
第二部分
9. 45
【解析】由勾股定理，得：AC=AB2+BC2=32+42=5，
∴sinA=BCAC=45．
10. x=4
【解析】根据函数值相等的点到抛物线对称轴的距离相等，可由点 A2,−4 和点 B6,−4 都在抛物线 y=ax2+bx+c 的图象上，得到其对称轴为 x=2+62=4．
11. k