2021年北京昌平区北师大二附中未来科技城学校九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京昌平区北师大二附中未来科技城学校九年级上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=6，sinB=23，那么 AB 的长是
A. 4B. 9C. 35D. 25

2. 如图，△ABC 中 DE∥BC，若 AD=2，DE=3，BC=6，则 BD 的长为
A. 2B. 3C. 4D. 5

3. 下列关于 y=x2 和 y=−x2 的关系的说法错误的是
A. 它们有共同的顶点和对称轴B. 它们的形状相同，开口方向相反
C. 它们都关于 y 轴对称D. 它们都经过点 −2,4

4. 如图，AB 为 ⊙O 直径，已知为 ∠DCB=20∘，则 ∠DBA 为
A. 50∘B. 20∘C. 60∘D. 70∘

5. 已知 y 与 x 成反比例，当 x 增加 20% 时，y 将
A. 减少 20%B. 增加 20%C. 减少 80%D. 约减少 16.7%

6. 如图，在半径为 5 cm 的 ⊙O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3 cm，则弦 AB 的长是
A. 4 cmB. 6 cmC. 8 cmD. 10 cm

7. 如图，已知梯形 ABCD 中，AB∥CD，如果 S△ODC:S△BDC=1:3．那么 S△ODC:S△ABC 为
A. 1:5B. 1:6C. 1:7D. 1:9

8. 烟花厂为扬州 4.18 烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度 hm 与飞行时间 ts 的关系式是 h=−52t2+20t+1 ，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为
A. 3sB. 4sC. 5sD. 6s

二、填空题（共4小题；共20分）
9. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，连接 DE．
（1）若 ADDB=AEEC，则 DE BC（填“∥”或“=”）；
（2）若 ACAB= ，则 DE∥BC．

10. 如图，正三角形 ABC 的边长为 2，D，E，F 分别为 BC，CA，AB 的中点，以 A，B，C 三点为圆心，半径为 1 作圆，则圆中阴影部分的面积是 ．

11. 如图，直线 AB 与半径为 2 的 ⊙O 相切于点 C，点 D，E，F 是 ⊙O 上三个点，EF∥AB，若 EF=2 3，则 ∠EDC 的度数为 ．

12. 如图，一段抛物线：y=−xx−3（0≤x≤3），记为 C1，它与 x 轴交与点 O，A1：
将 C1 绕点 A1 旋转 180∘ 得 C2，交 x 轴于点 A2；
将 C2 绕点 A2 旋转 180∘ 得 C3，交 x 轴于点 A3；
⋯
如此进行下去，直至得 C13．若 P37,m 在第 13 段抛物线 C13 上，则 m= ．

三、解答题（共13小题；共169分）
13. 如图，BC=6，∠ABC=45∘，∠ACB=30∘，求 △ABC 的高 AD 的长．

14. 计算：−13−1−2sin60∘+3−1+3−π0．

15. 如图，在正方形网格中有两个三角形 △A1B1C1 和 △A2B2C2，试说明 △A1B1C1∽△A2B2C2．

16. 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 1,0 和 0,1．求这个二次函数的解析式，并求出它的图象的顶点坐标．

17. 如图所示，在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧 A，B 两个凉亭之间的距离，现测得 AC=30 m，BC=70 m，∠CAB=120∘，请计算 A，B 两个凉亭之间的距离．

18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于 A，B 两点．
（1）根据图象，分别写出点 A，B 的坐标．
（2）求出这两个函数的解析式．

19. 已知：抛物线 y=ax2+a−2x−2 过点 A3,4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线 y=ax2+a−2x−2 在直线 y=−1 下方的部分沿直线 y=−1 翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新图象记为 G．点 Mm,y1 在图象 G 上，且 y1≤0．
① 求 m 的取值范围；
②若点 Nm+k,y2 也在图象 G 上，且满足 y2≥4 恒成立，则 k 的取值范围为 ．

20. 已知 AB 是 ⊙O 的直径，CD 是 ⊙O 的弦，AB 与 CD 交于 E，CE=DE，过 B 作 BF∥CD，交 AC 的延长线于点 F，求证：BF 是 ⊙O 的切线．

21. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，BC⊥AB，连接 OC，弦 AD∥OC，直线 CD 交 BA 的延长线于点 E．
（1）求证：直线 CD 是 ⊙O 的切线；
（2）若 DE=2BC，求 AD:OC 的值．

22. 现规定一种新的运算“ ⋇ ”：a⋇b=ab，如 3⋇2=32=9，计算：
（1）12⋇3；
（2）−3.5÷−78×−34⋇−2+4．

23. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交于点 A−3,0，与 y 轴交于点 B，且与正比例函数 y=43x 的图象的交点为 Cm,4．
（1）求一次函数 y=kx+b 的解析式；
（2）D 是平面内一点，以 O 、 C 、 D 、 B 四点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点 D 的坐标．（不必写出推理过程）．

24. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 为圆周上的一点，过点 C 的直线 MN 满足 ∠MCA=∠CBA．
（1）求证：直线 MN 是 ⊙O 的切线；
（2）过点 A 作 AD⊥MN 于点 D，交 ⊙O 于点 E．已知 AB=6，BC=3，求阴影部分的面积．

25. 已知抛物线 y=12x2−m−3x+5−4m2．
（1）求证：无论 m 为任何实数，抛物线与 x 轴总有两个交点；
（2）若 An−3, n2+2 、 B−n+1, n2+2 是抛物线上的两个不同点，求抛物线的解析式和 n 的值；
（3）若反比例函数 y=kxk>0, x>0 的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为 x0，且满足 20．
∴ 不论 m 为任何实数，抛物线与 x 轴总有两个交点．
（2） 抛物线 y=12x2−m−3x+5−4m2 的对称轴为 x=−−m−32×12=m−3．
∵ 抛物线上两个不同点 An−3, n2+2 、 B−n+1, n2+2 的纵坐标相同，
∴ 点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称，则 m−3=n−3+−n+12=−1．
∴m=2．
∴ 抛物线的解析式为 y=12x2+x−32．
∵An−3, n2+2 在抛物线 y=12x2+x−32 上，
∴12n−32+n−3−32=n2+2．
化简，得 n2+4n+4=0．
∴n=−2．
（3） 当 20，y 随着 x 的增大而减小．
所以当 x0=2 时，由反比例函数图象在二次函数图象上方，
得 k2>12×22+2−32，解得 k>5．
当 x0=3 时，由二次函数图象在反比例函数图象上方，
得 12×32+3−32>k3，解得 k