2021年北京东城区一七一中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京东城区一七一中学九年级上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是
A. 2，5，10，25B. 4，7，4，7
C. 2，12，12，4D. 2，5，25，52

2. 如果一种变换是将抛物线向右平移 2 个单位或向上平移 1 个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是 y=x2+1，则原抛物线的解析式不可能是
A. y=x2−1B. y=x2+6x+5C. y=x2+4x+4D. y=x2+8x+17

3. 在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则 csB 值为
A. 12B. 22C. 32D. 33

4. 如图，⊙O 的半径等于 4，如果弦 AB 所对的圆心角等于 90∘，那么圆心 O 到弦 AB 的距离为
A. 2B. 2C. 22D. 32

5. 设正比例函数 y=mx 的图象经过点 Am,4，且 y 的值随 x 值的增大而减小，则 m=
A. 2B. −2C. 4D. −4

6. 如图，点 E 为平行四边形 ABCD 的边 AB 延长线上的一点，连接 DE 交 BC 于点 F，则下列结论一定正确的是
A. BFCF=ABBEB. DEDF=AECDC. CDBE=DABFD. CFDF=EFBF

7. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，点 P 在 x 轴的正半轴上，且 OP=1，设 M=aca+b+c，则 M 的取值范围为
A. M<−1B. −10

8. 如图，边长都为 4 的正方形 ABCD 和正三角形 EFG 如图放置，AB 与 EF 在一条直线上，点 A 与点 F 重合．现将 △EFG 沿 AB 方向以每秒 1 个单位的速度匀速运动，当点 F 与 B 重合时停止．在这个运动过程中，正方形 ABCD 和 △EFG 重叠部分的面积 S 与运动时间 t 的函数图象大致是
A. B.
C. D.

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，△ADE∽△ABC，对应边的比例式为 ．

10. 连接三角形各边中点得到的三角形，它的周长为原三角形周长的 ，面积为原三角形面积的 ．

11. 在半径为 6 cm 的圆中，120∘ 的圆心角所对的弧长为 cm．

12. 如图，点 A 在反比例函数 y=kx 的图象上，AB 垂直于 x 轴，若 S△AOB=4，那么这个反比例函数的解析式为 ．

13. 如图，正方形 ABCD 内接于 ⊙O，点 E 在 AD 上，则 ∠BEC= ．

14. 如图，等边 △OAB 的边 OA 在 x 轴上，反比例函数 y=−6x 的图象经过点 B，则 △OAB 的面积为 ．

15. 如图，一个物体沿着坡度 i=1:2 的坡面向上前进了 10 m，此时物体距离地面的高度为 m．

16. 抛物线 y=4x2−1 与 y 轴的交点坐标是 ，与 x 轴的交点坐标是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O 及 ⊙O 上一点 P．
求作：过点 P 的 ⊙O 的切线．
作法：如图，
①作射线 OP；
②在直线 OP 外任取一点 A，以点 A 为圆心，AP 为半径作 ⊙A，与射线 OP 交于另一点 B；
③连接并延长 BA 与 ⊙A 交于点 C；
④作直线 PC；
则直线 PC 即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵BC 是 ⊙A 的直径，
∴∠BPC=90∘（ ）（填推理的依据）．
∴OP⊥PC．
又 ∵OP 是 ⊙O 的半径，
∴PC 是 ⊙O 的切线（ ）（填推理的依据）．

18. 计算：3tan30∘+cs230∘−2sin60∘．

19. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=6，AC=2，CD⊥AB 于点 D．设 ∠ACD=α，求 csα 的值．

20. 如图，AD，BE 分别是钝角三角形 ABC 的边 BC，AC 上的高．求证：ADBE=ACBC．

21. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：
x⋯⋯−1014⋯⋯y⋯⋯12622⋯⋯
（1）求二次函数的解析式．
（2）直接写出不等式 ax2+bx+c−2>0 的解集是 ．

22. 已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A1,0 和 B3a,−a（a>0），且点 B 在反比例函数 y=−3x 的图象上．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点 M 是 y 轴上一点，且满足 △ABM 是直角三角形，请直接写出点 M 的坐标．

23. 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲乙两人分别在相距8米的A、B两处测得D点和C点的仰角分别为45∘和60∘，且A、B、E三点在一条直线上，若BE=15米，求这块广告牌的高度．取3≈1.73，计算结果保留整数

24. 求函数 y=x−22−1 的图象与 y 轴的交点坐标，与 x 轴的交点坐标以及顶点坐标．

25. 如图，BC 是 ⊙O 的直径，CE 是 ⊙O 的弦，过点 E 作 ⊙O 的切线，交 CB 的延长线于点 G，过点 B 作 BF⊥GE 于点 F，交 CE 的延长线于点 A．
（1）求证：∠ABG=2∠C；
（2）若 GF=33，GB=6，求 ⊙O 的半径．

26. 如图，直线 y=−x+3 与抛物线 y=−x2+2x+3 交于点 A0,3，B3,0．
（1）点 F 是线段 AB 上的点，FE⊥x 轴，E 在抛物线上，若点 F 的横坐标为 m，请用含 m 的代数式表示 EF 的长；
（2）求 EF 的最大值．

27. 如图 1 所示，将直尺摆放在三角板 ABC 上，使直尺与三角板的边分别交于点 D，E，F，G，量得 ∠CGD=42∘．（参考数据：sin42∘≈0.67，cs42∘≈0.74，tan42∘≈0.90）
（1）求 ∠CEF 的度数；
（2）将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角板的顶点 B，交 AC 边于点 H，如图 2 所示，点 H，B 在直尺上的读数分别为 4，13.4，求 BC 的长（结果保留两位小数）．

28. 如图，点 A3,m 是正比例函数 y=43x 的图象上的点，AB⊥x 轴于点 B，直线 y=kx 平分 ∠AOB，求 k 的值．
答案
第一部分
1. C
2. B【解析】因为抛物线 y=x2−1 可以向上平移两次得到 y=x2+1，所以 A可能．
因为抛物线 y=x2+4x+4=x+22 可以先向右平移一次再向上平移一次得到 y=x2+1，所以C可能．
因为抛物线 y=x2+8x+17=x+42+1 可以向右平移两次得到 y=x2+1，所以D可能．
因为抛物线 y=x2+6x+5=x+32−4，所以经过任意两次简单变换都不能得到 y=x2+1．
3. B
4. C【解析】过点 O 作 OC⊥AB 于 C，
∵OA=OB=4，∠AOB=90∘，
∴AB=OA2+OB2=42，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC，
∴OC=12AB=22，
即 O 到 AB 距离为 22．
5. B
6. B【解析】因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 AD∥BC，AB=CD，
所以 △BEF∽△CDF，
所以 BFCF=BECD，
所以 BFCF=BEAB，故A错误；
因为 BF∥AD，
所以 DEDF=AEAB，
所以 DEDF=AECD，故B正确；
因为 CD∥BE，
所以 CDBE=CFBF，故C错误；
CFDF=BFEF，故D错误．
7. D【解析】方法一：
∵OP=1，P 不在抛物线上，
∴ 当抛物线 y=ax2+bx+ca≠0，
x=1 时，y=a+b+c<0，
当抛物线 y=0 时，得 ax2+bx+c=0，
由图象知 x1x2=ca<0，
∴ac<0，
∴aca+b+c>0，
即 M>0．
方法二：
∵ 抛物线开口向下，
∴a<0；
∵ 与 y 轴的交点在正半轴，
∴c>0；
由图象观察知，当 x=1 时，函数值为负，
即 a+b+c>0，
∴M=aca+b+c>0．
8. C
第二部分
9. ADAB=AEAC=DEBC
10. 12，14
11. 4π
12. y=−8x
13. 45∘
【解析】连接 OB，OC，
则 ∠E=12∠BOC，
∵O 是正方形外接圆的圆心，
∴∠BOC=90∘，
∴∠BEC=12∠BOC=45∘
14. 6
15. 25
【解析】因为 AB=10 米，tanA=BCAC=12.
所以设 BC=x，AC=2x，
由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即 100=x2+4x2，解得 x=25，
所以 AC=45，BC=25 米．
16. 0,−1，12,0 和 −12,0
第三部分
17. （1） 补全的图形如图所示：
（2） 直径所对的圆周角是直角；
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
18. 原式=3×33+322−2×32=3+34−3=34.
19. ∵∠C=90∘，AB=6，AC=2，
∴BC=AB2−AC2=42．
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90∘．
∴∠A+∠ACD=∠A+∠B=90∘．
∴∠ACD=∠B=α．
∴csα=csB=BCAB=426=223．
20. ∵AD，BE 分别是钝角三角形 ABC 的边 BC，AC 上的高，
∴∠D=∠E=90∘．
又 ∵∠ACD=∠BCE，
∴△ADC∽△BEC，
∴ADBE=ACBC．
21. （1） 把 −1,12，0,6，1,2 代入 y=ax2+bx+c，
得 a−b+c=12,c=6,a+b+c=2,
解得 a=1,b=−5,c=6.
∴ 抛物线解析式为 y=x2−5x+6．
（2） x<1 或 x>4
【解析】∵ 抛物线经过点 1,2，4,2，
∴ 当 x<1 或 x>4 时，ax2+bx+c>2，
即不等式 ax2+bx+c−2>0 的解集为 x<1 或 x>4．
22. （1） ∵ 点 B3a,−a 在反比例函数 y=−3x 的图象上，
∴−a=−33a，a=±1，
∵a>0，
∴a=1，
∴B3,−1．
∵A1,0 和 B3,−1 在一次函数 y=kx+b 的图象上，
∴k+b=0,3k+b=−1. 解得
k=−12,b=12.
∴ 一次函数的解析式为 y=−12x+12．
（2） M10,−7，M20,−2．
【解析】
如图所示，在 y 轴上存在点 M1，M2，满足 △ABM 为直角三角形，
设 M 点坐标为 0,m，
在 Rt△AOM1 与 Rt△ABM2 中利用勾股定理可得 m1=−2，m2=−7．
23. 同解析
【解析】【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．
【解析】解：∵AB=8米，BE=15米，
∴AE=23米，在Rt△AED中，∠DAE=45∘
∴DE=AE=23米．
在Rt△BEC中，∠CBE=60∘
∴CE=BE•tan60∘=153米，
∴CD=CE−DE=153−23≈2.95≈3米．
即这块广告牌的高度约为3米．
【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
24. 与 y 轴的交点坐标为 0,3，与 x 轴的交点坐标为 1,0，3,0，顶点坐标为 2,−1．
25. （1） 如图，连接 OE，
∵EG 为 ⊙O 的切线，
∴OE⊥GE．
∵BF⊥GE，
∴OE∥BF．
∴∠ABG=∠EOG．
∵OE=OC，
∴∠C=∠CEO．
∴∠EOG=2∠C．
∴∠ABG=2∠C．
（2） ∵AB⊥GE，GF=33，GB=6，
∴ 在 Rt△GBF 中，BF=GB2−GF2=62−332=3．
由（1）得 OE∥BF，
∴GBGO=BFOE，
设 ⊙O 的半径为 r，即 GBGB+r=BFr，
∴66+r=3r．解得 r=6，即 ⊙O 半径为 6．
26. （1） ∵E 点坐标为 m,−m2+2m+3，
F 点坐标为 m,−m+3，
∴EF=−m2+2m+3−−m+3=−m2+3m．
（2） EF=−m2+3m=−m−322+94，
当 m=32 时，EF 取最大值，为 94．
27. （1） ∵∠CGD=42∘，∠C=90∘，
∴∠CDG=90∘−42∘=48∘，
∵DG∥EF，
∴∠CEF=∠CDG=48∘．
（2） ∵ 点 H，B 的读数分别为 4，13.4，
∴HB=13.4−4=9.4，
∴BC=HB⋅cs42∘≈9.4×0.74≈6.96m
答：BC 的长为 6.96 m．
28. 设直线 y=kx 交 AB 于点 E，
过点 E 作 EF⊥AO 于点 F，
则 OB=OF=3，AB=4，OA=5，
∴AF=2，
设 BE=EF=a，
∴a2+22=4−a2，
∴a=32，
∴E3,32，
∴k=12．