2022春思维训练第十一周

第十一周　抽屉原理知识要点：把 4 个苹果放入 3 只抽屉里, 至少有一只抽屉里要放 2 个或更多的苹果；把 10 个苹果放入 3 只抽屉里, 至少有一只抽屉里要放 4 个或更多的苹果。这些都是极为明显的事实, 其实质无非就是有余数的除法。可是，运用这么一个简单的规律，却可以解决许多颇费思考的问题。这个规律就叫做“抽屉原理”。例1、在一个衣柜里，有10件绿色的衣服、6件白色的衣服、7件红色的衣服、2件蓝色的衣服。如果闭着眼睛取衣服，那么，至少要取多少件，才能保证取出的衣服中，最少有两件颜色是相同的？解析：可以这样想：如果把4种颜色看作4个抽屉，当衣服的件数超过4件时，就至少有一个抽屉里要放入两件或两件以上的衣服，所以最少要取出5件，才能保证取出的衣服中有两件的颜色是相同的。例、2 在自然数1、2、3、…、n中，要使任意取出的50个数中，一定有两个数的差等于7，这样的n最大是多少？ 解析：可以这样想：相邻的7个自然数中，任意两个数的差都不等于7，可是，当我们把自然数1、2、3、…、n，从1开始，每7个数分成一组时，相邻两组中总会有某两个数的差等于7。现在，要使任意取出的50个数中，一定有两个数的差等于7，不妨从最不利的情况考虑，也许取了7组，虽然取了7×7＝49(个)数，可是这7组都是不相邻的组，比如说，可能是第1、3、5、7、9、11、13组，或者第2、4、6、8、10、12、14组。这时，最大的数已经取到7×14＝98，只要从这98个数中再取1个数，这个数一定和前面所取的7组数中的某一组属于相邻组，于是这个数与相邻组中的某个数的差就一定会等于7。如果第50个数大于98，就不会发生这种情况，所以n最大是98。     例3、一次测验共10道题，每题评分标准是：回答完全正确，得5分，回答不完全正确，得3分，回答错误或未答，得0分。若保证至少有4人得分相同，参加这次测验的至少要有多少人？解析：按照评分办法，得分最少是0分，最大是5×10＝50(分)，在从0分到50分这51个分数中，得1分、2分、4分、7分、47分、49分这6种情况是不可能发生的，所以可能的得分只有51－6＝45种情况，因此，如果要保证至少有4人得分相同，参加这次测验的就至少要有45×3＋1＝136(人)。例4、在23×23方格纸中将1、2、3、…、9这9个数字填入每个小方格中，并对所有形如图示阴影的“十字”中的5个数求和。对于小方格中数字的任意一种填法，其中和数相等的“十字”图形至少有多少个？   ………… 解析：如何找出在这23×23的方格纸中共有多少个“十字形”是解决问题的关键。因为每个“十字形”都有一个中心格，显然中心格只能位于除了四周一圈之外的所有小方格中。这样的方格共有21×21＝441(个)，也就是说“十字形”共有441个。而每个“十字形”中5个数的和，最小是1×5＝5，最大是9×5＝45，共有45－5＋1＝41(种)情况。如果把这41种情况看作是41个“抽屉”；把441个“十字形”看作“苹果”，441÷41商10有余，因此，至少有一个抽屉里放了10＋1＝11(个)苹果。这就是说，无论怎样填数，总能找到至少11个“十字形”，在这11个“十字形”中，5个数的和是相等的。     课后练习 （十一）1、玫瑰园小学共有 374 名同学, 这些同学中至少有几名同学的生日是相同的?  2、某班有 54 名同学,(1)至少有几个同学的生日在同一个星期?(2)至少有几个同学的生日在同一个月?  3、有语文、数学、自然、音乐课本各若干本, 每个学生可以任意从中取两本, 那么至少要多少学生才能保证至少有 2 人取的课本完全一样?  4、六一班有 37 个同学, 每人都订阅了《小朋友》、《儿童时代》、《少年报》三种杂志中的一种、两种或三种, 那么，至少有几个同学订的报刊是相同的?     5、据科学家研究, 人的头发最多不会超过 20 万根。某城市的人口有 160 多万人, 这些人中至少有几个人头发的根数是相同的?  6、小华和小朋友玩“剪刀、石头、布”游戏。他一共出了20 次, 至少有多少次的手形是相同的?   7、袋子里有黑色、白色、黄色的筷子各 8 根, 混杂地放在一起。从中摸出两双不同颜色的筷子 (每双的颜色相同), 至少要取出多少根才能保证达到要求？    8、在图中的格子里任意涂上黑色或白色,至少有几列的颜色相同?    9、新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个玻璃球，这些玻璃球给人的手感相同，只是颜色不同，分别是红、黄、白、蓝、绿五种颜色，结果发现总有两个人摸出的球相同，参加摸球的至少有多少人？   10、布袋里有5种不同颜色的球，每种都有20个，最少取出多少个，才能保证其中一定有3个颜色相同的球？(南京市第三届“兴趣杯”数学邀请赛预赛题)   11、现在有64个乒乓球、18个乒乓球盒，每个盒子最多可以放6个乒乓球，如果把这些乒乓球全部装入盒内，不许有空盒，那么至少有多少个乒乓球盒里的乒乓球数目相同？   12、能否在8行8列的方格表(如图)的每一个空格中分别填上1、2、3这三个数中的任一个数，使得每行、每列及对角线AC、BD上各个数的和互不相同？(北京市“迎春杯”赛题)　　　　　　　　　　　　 　 A　　　 　　　　　B    　　　　　　　　　　  　　　D　　　　 　　　　C