专题提升(15)　巧用旋转进行证明与计算学案

这是一份专题提升(15)　巧用旋转进行证明与计算学案，共4页。学案主要包含了思想方法，问题解决，类比探究，教材母题，中考变形，中考预测等内容，欢迎下载使用。

如图，△ABD，△AEC都是等边三角形．BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？
【思想方法】 旋转前、后的图形全等，借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于疏通解题思路，找出解题突破口．
1．[2020·中考预测]如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，有以下结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④PQ∥AC.
其中结论正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．[2019·北京]如图，已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝eq \r(3)＋1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON.
(1)依题意补全图；
(2)求证：∠OMP＝∠OPN；
(3)点M关于点H的对称点为Q，连接QP.写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．
3．[2018·烟台]
【问题解决】
一节数学课上，老师提出了一个这样问题：如图①，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，你能求出∠APB的度数吗？
小明他通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
【类比探究】
如图②，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝eq \r(11)，求∠APB的度数．
①
②
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.
(1)如图①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；
(2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状，并加以证明；
(3)如图③，在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．
参考答案
【教材母题】 BE＝DC，理由略
【中考变形】 1.D
2．(1)略 (2)略 (3)OP＝2，证明略．
3．【问题解决】 ∠APB＝135°，解答过程略
【类比探究】 ∠APB＝45°
【中考预测】
(1)∠ABD＝30°－eq \f(1,2)α (2)△ABE为等边三角形，证明略 (3)30°