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人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率学案及答案
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率学案及答案
10.3.1 频率的稳定性10.3.2 随机模拟【学习目标】【自主学习】一．频率的稳定性1.频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐 事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．2.频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A)．二．随机模拟1.产生随机数的方法(1)利用计算器或计算机软件产生随机数．(2)构建模拟试验产生随机数．2.随机模拟方法(蒙特卡洛方法)利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的 来估计 ，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.【小试牛刀】思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)随机事件的频率和概率不可能相等． ( )(2)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化． ( )(3)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能． ( )(4)在用计算器模拟抛硬币试验时，假设计算器只能产生0～9之间的随机数，则可以用4,5,6,7,8,9来代表正面． ( )(5)用随机模拟试验估计事件的概率时，试验次数越多，所得的估计值越接近实际值．（ ）【经典例题】题型一 频率与概率的关系点拨：(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定.(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.例1 “某彩票的中奖概率为eq \f(1,100)”意味着( )A．买100张彩票就一定能中奖 B．买100张彩票能中一次奖C．买100张彩票一次奖也不中 D．购买彩票中奖的可能性为eq \f(1,100)【跟踪训练】1下列说法正确的是( )①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率P(A)＝eq \f(m,n)；③含百分比的数是频率，但不是概率；④频率是不能脱离n次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值；⑤概率是频率的稳定值.A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤题型二 用随机事件的频率估计其概率例2 某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．【跟踪训练】2 假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率.题型三 简单的随机模拟试验的应用点拨：在设计随机模拟试验时，注意以下两点(1)要根据具体的事件设计恰当的试验，使试验能够真正地模拟随机事件．(2)注意用不同的随机数来表示不同的随机事件的发生．例3 一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．【跟踪训练】3在一个盒中装有10支圆珠笔，其中7支一级品，3支二级品，任取一支，用模拟方法求取到一级品的概率．【当堂达标】1.下列说法正确的是( )A．任何事件的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定2.利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2.小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为( )A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,5)3.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的( )A．概率为eq \f(4,5) B．频率为eq \f(4,5) C．频率为8 D．概率接近于84．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为( )A．0.45,0.45 B．0.5,0.5 C．0.5,0.45 D．0.45,0.55．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共12道选择题，某同学说：“每个选项正确的概率是eq \f(1,4)，若每题都选择第一个选项，则一定有3道题的选择结果正确”．这句话( )A．正确 B．错误 C．有一定道理 D．无法解释6.盒中有大小、形状相同的5个白球、2个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：(1)任取一球，得到白球；(2)任取三球，都是白球．【参考答案】【自主学习】稳定于 频率 概率【小试牛刀】(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√【经典例题】例1 D解析：某彩票的中奖率为eq \f(1,100)，意味着中奖的可能性为eq \f(1,100)，可能中奖，也可能不中奖．典【跟踪训练】1 A 解析: 根据频率与概率的定义，可知①正确；概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此②错误；概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误；根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确. 例2 解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝eq \f(150,1 000)＝0.15，P(B)＝eq \f(120,1 000)＝0.12，由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为eq \f(24,100)＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.【跟踪训练】2 解：(1)甲品牌产品寿命小于200 h的频率为eq \f(5＋20,100)＝eq \f(1,4)，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200 h的概率为eq \f(1,4).(2)根据抽样结果，寿命大于200 h的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大干200 h的产品是甲品牌的频率是eq \f(75,145)＝eq \f(15,29)，用频率估计概率，所以已使用了200 h的该产品是甲品牌的概率为eq \f(15,29).例3 解：用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数．因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组．如下，产生20组随机数：666 743 671 464 571 561 156 567 732 375716 116 614 445 117 573 552 274 114 662就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为eq \f(2,20)＝0.1.【跟踪训练】3 解： 设事件A：“取到一级品”．(1)用计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,10)或计算器产生1到10之间的整数随机数，分别用1,2,3,4,5,6,7表示取到一级品，用8,9,10表示取到二级品．(2)统计试验总次数N及其中出现1至7之间数的次数N1.(3)计算频率fn(A)＝eq \f(N1,N)，即为事件A的概率的近似值．【当堂达标】1.C 解析：必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，所以任何事件发生的概率总在[0,1]之间，故A错，B，D混淆了频率与概率的概念，故B，D错．2.A 解析：抛掷硬币两次，产生的随机数的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)共四种，其中随机数之和为3的情况有(1,2)，(2,1)两种，故所求概率为eq \f(2,4)＝eq \f(1,2).]3.B 解析：做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为eq \f(m,n).如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率．故eq \f(8,10)＝eq \f(4,5)为事件A的频率．4.D 解析：出现正面朝上的频率是eq \f(45,100)＝0.45，出现正面朝上的概率是0.5.故选D．5.B 解析：从四个选项中正确选择选项是一个随机事件，eq \f(1,4)是指这个事件发生的概率，实际上，做12道选择题相当于做12次试验，每次试验的结果是随机的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3个，…，12个正确．因此该同学的说法是错误的．6.解：用1,2,3,4,5表示白球，6,7表示黑球．(1)步骤：①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数，每一个数一组，统计组数n；②统计这n组数中小于6的组数m；③任取一球，得到白球的概率估计值是eq \f(m,n).(2)步骤：①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数，每三个数一组(每组数字不重复)，统计组数a；②统计这a组数中，每个数字均小于6的组数b；③任取三球，都是白球的概率估计值是eq \f(b,a). 素 养 目 标学 科 素 养1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.2.理解概率的意义，利用概率知识正确求解现实生活中的实际问题. 3.理解概率的意义及频率与概率的区别.4.能够利用古典概型或蒙特卡洛法进行求解.1.数学抽象;2.数学运算;3.数据分析赔偿金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120
10.3.1 频率的稳定性10.3.2 随机模拟【学习目标】【自主学习】一．频率的稳定性1.频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐 事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．2.频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A)．二．随机模拟1.产生随机数的方法(1)利用计算器或计算机软件产生随机数．(2)构建模拟试验产生随机数．2.随机模拟方法(蒙特卡洛方法)利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的 来估计 ，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.【小试牛刀】思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)随机事件的频率和概率不可能相等． ( )(2)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化． ( )(3)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能． ( )(4)在用计算器模拟抛硬币试验时，假设计算器只能产生0～9之间的随机数，则可以用4,5,6,7,8,9来代表正面． ( )(5)用随机模拟试验估计事件的概率时，试验次数越多，所得的估计值越接近实际值．（ ）【经典例题】题型一 频率与概率的关系点拨：(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定.(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.例1 “某彩票的中奖概率为eq \f(1,100)”意味着( )A．买100张彩票就一定能中奖 B．买100张彩票能中一次奖C．买100张彩票一次奖也不中 D．购买彩票中奖的可能性为eq \f(1,100)【跟踪训练】1下列说法正确的是( )①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率P(A)＝eq \f(m,n)；③含百分比的数是频率，但不是概率；④频率是不能脱离n次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值；⑤概率是频率的稳定值.A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤题型二 用随机事件的频率估计其概率例2 某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．【跟踪训练】2 假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率.题型三 简单的随机模拟试验的应用点拨：在设计随机模拟试验时，注意以下两点(1)要根据具体的事件设计恰当的试验，使试验能够真正地模拟随机事件．(2)注意用不同的随机数来表示不同的随机事件的发生．例3 一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．【跟踪训练】3在一个盒中装有10支圆珠笔，其中7支一级品，3支二级品，任取一支，用模拟方法求取到一级品的概率．【当堂达标】1.下列说法正确的是( )A．任何事件的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定2.利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2.小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为( )A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,5)3.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的( )A．概率为eq \f(4,5) B．频率为eq \f(4,5) C．频率为8 D．概率接近于84．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为( )A．0.45,0.45 B．0.5,0.5 C．0.5,0.45 D．0.45,0.55．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共12道选择题，某同学说：“每个选项正确的概率是eq \f(1,4)，若每题都选择第一个选项，则一定有3道题的选择结果正确”．这句话( )A．正确 B．错误 C．有一定道理 D．无法解释6.盒中有大小、形状相同的5个白球、2个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：(1)任取一球，得到白球；(2)任取三球，都是白球．【参考答案】【自主学习】稳定于 频率 概率【小试牛刀】(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√【经典例题】例1 D解析：某彩票的中奖率为eq \f(1,100)，意味着中奖的可能性为eq \f(1,100)，可能中奖，也可能不中奖．典【跟踪训练】1 A 解析: 根据频率与概率的定义，可知①正确；概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此②错误；概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误；根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确. 例2 解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝eq \f(150,1 000)＝0.15，P(B)＝eq \f(120,1 000)＝0.12，由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为eq \f(24,100)＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.【跟踪训练】2 解：(1)甲品牌产品寿命小于200 h的频率为eq \f(5＋20,100)＝eq \f(1,4)，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200 h的概率为eq \f(1,4).(2)根据抽样结果，寿命大于200 h的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大干200 h的产品是甲品牌的频率是eq \f(75,145)＝eq \f(15,29)，用频率估计概率，所以已使用了200 h的该产品是甲品牌的概率为eq \f(15,29).例3 解：用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数．因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组．如下，产生20组随机数：666 743 671 464 571 561 156 567 732 375716 116 614 445 117 573 552 274 114 662就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为eq \f(2,20)＝0.1.【跟踪训练】3 解： 设事件A：“取到一级品”．(1)用计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,10)或计算器产生1到10之间的整数随机数，分别用1,2,3,4,5,6,7表示取到一级品，用8,9,10表示取到二级品．(2)统计试验总次数N及其中出现1至7之间数的次数N1.(3)计算频率fn(A)＝eq \f(N1,N)，即为事件A的概率的近似值．【当堂达标】1.C 解析：必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，所以任何事件发生的概率总在[0,1]之间，故A错，B，D混淆了频率与概率的概念，故B，D错．2.A 解析：抛掷硬币两次，产生的随机数的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)共四种，其中随机数之和为3的情况有(1,2)，(2,1)两种，故所求概率为eq \f(2,4)＝eq \f(1,2).]3.B 解析：做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为eq \f(m,n).如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率．故eq \f(8,10)＝eq \f(4,5)为事件A的频率．4.D 解析：出现正面朝上的频率是eq \f(45,100)＝0.45，出现正面朝上的概率是0.5.故选D．5.B 解析：从四个选项中正确选择选项是一个随机事件，eq \f(1,4)是指这个事件发生的概率，实际上，做12道选择题相当于做12次试验，每次试验的结果是随机的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3个，…，12个正确．因此该同学的说法是错误的．6.解：用1,2,3,4,5表示白球，6,7表示黑球．(1)步骤：①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数，每一个数一组，统计组数n；②统计这n组数中小于6的组数m；③任取一球，得到白球的概率估计值是eq \f(m,n).(2)步骤：①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数，每三个数一组(每组数字不重复)，统计组数a；②统计这a组数中，每个数字均小于6的组数b；③任取三球，都是白球的概率估计值是eq \f(b,a). 素 养 目 标学 科 素 养1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.2.理解概率的意义，利用概率知识正确求解现实生活中的实际问题. 3.理解概率的意义及频率与概率的区别.4.能够利用古典概型或蒙特卡洛法进行求解.1.数学抽象;2.数学运算;3.数据分析赔偿金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120
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